فيديو الدرس: حساب الكثافة الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، موضوعنا هو حساب الكثافة. ترتبط الكثافة بمقدار الكتلة التي تشغل حيزًا معينًا. فكلما زادت الكتلة، زادت كثافة الجسم. كل المواد لها كثافة، ويمكننا استخدام هذه الخاصية للمقارنة بين المواد. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا حوض مياه. وألقينا في هذا الحوض مكعبًا مصمتًا من الحديد ومكعبًا مصمتًا من الخشب. عندما تسقط هاتان المادتان في الماء، يغوص الحديد إلى الأسفل بينما يطفو الخشب على السطح. قد نفكر في هذه النتيجة من طفو الخشب وغوص الحديد، ونعتقد أنه يمكننا تغييرها باستخدام أحجام مختلفة من هاتين المادتين.

قد نتخيل أننا إذا استخدمنا مكعبًا أكبر من الخشب وقطعة أصغر من الحديد، فربما يغوص الخشب ويطفو الحديد. لكن بدلًا من ذلك، نجد أن الشيء نفسه يحدث كما حدث من قبل؛ إذ يطفو مكعب الخشب الكبير جدًّا على السطح وتغوص قطعة الحديد الصغيرة جدًّا. ما نستنتجه هو أن الفرق بين هذه المواد الثلاث، أي الخشب والماء والحديد، لا علاقة له بحجمها، أي مقدار الحيز الذي تشغله. لكن الأمر يتعلق بخاصية أخرى للمادة. هذه الخاصية تسمى كثافة المادة. تشمل الكثافة كتلة الجسم وحجمه. فالكثافة نسبة تصف مقدار ما تحتويه مادة معينة من كتلة في حجم معين.

إذا نظرنا إلى المكعبين الخشبيين، المكعب الكبير والمكعب الصغير، فسنجد أن كتلة المكعب الخشبي الكبير أكبر من كتلة المكعب الخشبي الصغير. لكن يمكننا أن نلاحظ أن حجمه أكبر أيضًا. وهذا يعني أنه يشغل حيزًا أكبر. ولأن الكثافة هي نسبة كتلة الجسم إلى حجمه، فعلى الرغم من اختلاف كتلتي هذين المكعبين الخشبيين وحجمهما، فكثافتهما متساوية تمامًا. هذا يعني أننا إذا قسمنا كتلة هذا المكعب الخشبي على حجمه، فإن هذه النسبة تساوي تمامًا كتلة هذا المكعب الخشبي الأكبر مقسومة على حجمه.

وهذا هو السبب في أن هذين المكعبين يظهران السلوك نفسه، أي أنهما يطفوان، على الرغم من اختلاف حجميهما اختلافًا كبيرًا. والسبب في ذلك هو أنه مقارنة بالمياه التي يطفوان فيها، فإن لهما الكثافة نفسها. وينطبق الأمر نفسه على قطعتي الحديد. فعلى الرغم من أن هاتين القطعتين لهما حجمان مختلفان وكتلتان مختلفتان، إذا قسمنا كتلة هذه القطعة الصغيرة من الحديد على حجمها، فسنجد أن هذه النسبة ستساوي تمامًا كتلة هذه القطعة الأكبر مقسومة على حجمها.

ومن ثم فإن كثافة أي جسم، وكل الأجسام لها كثافة، لا تعتمد على حجمه فقط ولا كتلته فقط. فهي تعتمد على الكتلة والحجم معًا. على وجه التحديد، الكثافة هي نسبة الكتلة إلى الحجم. يمكننا كتابة ذلك في صورة معادلة. فيمكننا القول إن الكثافة، التي سنعبر عنها باستخدام الحرف اليوناني ‪𝜌‬‏، تساوي نسبة كتلة جسم إلى حجمه. باستخدام هذه المعادلة، لدينا الآن طريقة يمكن الاعتماد عليها لحساب كثافة أي جسم. إذا عرفنا أو استطعنا إيجاد كتلته وكذلك حجمه، فيمكننا حساب كتلته لكل وحدة حجم، أي كثافته.

كما ذكرنا سابقًا، الكثافة هي إحدى خواص المادة. أي جسم له حجم مصنوع بالكامل من مادة معينة يكون له نفس الكثافة، بغض النظر عن حجمه صغيرًا كان أو كبيرًا. وذلك لأنه مع زيادة حجم جسم مصنوع من مادة معينة، تزيد كتلة الجسم بالنسبة نفسها. هذه المكعبات الأربعة مصنوعة جميعها من المادة نفسها. ولنفترض أنه إذا كان حجم هذا المكعب الصغير جدًّا هو ‪𝑉‬‏، فإن حجم هذا المكعب الموجود هنا يساوي ضعف المكعب الصغير. فهو يساوي اثنين ‪𝑉‬‏. لكن كثافة هذين المكعبين، وكذلك المكعبان الآخران، متساوية؛ لأنها كلها مصنوعة من المادة نفسها، وهو ما يعني أنه إذا كانت كتلة هذا المكعب الأصغر تساوي ‪𝑚‬‏، فإن كتلة المكعب التالي يجب أن تكون اثنين ‪𝑚‬‏.

بعد ذلك، عندما نحسب كثافة المكعب الأول، التي سنسميها ‪𝜌‬‏ واحد، نجد أنها تساوي كتلة المكعب مقسومة على حجمه، ‪𝑚‬‏ على ‪𝑉‬‏. وإذا حسبنا كثافة المكعب الثاني، التي سنسميها ‪𝜌‬‏ اثنين، نجد أنها تساوي اثنين ‪𝑚‬‏ على اثنين ‪𝑉‬‏؛ لأن كتلة هذا المكعب ضعف كتلة المكعب الأصغر وكذلك حجمه ضعف حجم المكعب الأصغر. إذن الاثنان في البسط والاثنان في المقام يلغي كل منهما الآخر. وتتبقى لدينا كثافة المكعب الثاني التي تساوي كثافة المكعب الأول. وهذا ما توقعناه؛ لأن هذين المكعبين مصنوعان من المادة نفسها. وبالتالي، لا بد أن تكون كثافتهما واحدة.

نظرًا لأن كثافة أي مادة معينة ثابتة دائمًا بغض النظر عن حجم الجسم المصنوع من هذه المادة، فإن الكثافة مفيدة في المقارنة بين المواد. على سبيل المثال، لنفترض أن هذين المكعبين الموجودين هنا مصنوعان من مادتين مختلفتين؛ سنسميهما ‪A‬‏ و‪B‬‏. لنفترض أننا نريد معرفة أي هاتين المادتين أكثر كثافة. يمكننا أن ندرك بالعين المجردة أن حجم المادة ‪B‬‏ أكبر من حجم المادة ‪A‬‏. لكن هذا لا يعني أنها أكثر أو أقل كثافة.

لمعرفة ذلك، علينا معرفة كثافتيهما. لنفترض أن كلا هذين الجسمين على شكل مكعب، وأن طول ضلع الجسم المصنوع من المادة ‪A‬‏ يساوي مترين، بينما طول ضلع الجسم الأكبر يساوي أربعة أمتار. ولنفترض أيضًا أن كتلة الجسم الأصغر تساوي 16 كيلوجرامًا، بينما كتلة الجسم الأكبر تساوي أربعة أمثال ذلك، أي 64 كيلوجرامًا. لمقارنة كثافة هذين المكعبين، فلنحسب أولًا هذه القيم. سنفترض أن ‪𝜌A‬‏ هي كثافة المادة ‪A‬‏، وأن ‪𝜌B‬‏ هي كثافة المادة ‪B‬‏.

يمكننا أن نلاحظ أنه وفقًا لمعادلة الكثافة، تساوي الكثافة كتلة الجسم مقسومة على حجمه. نعرف هنا مقدار كتلتي الجسمين الأصغر والأكبر. وبالتعويض بهذين المقدارين، تكون مهمتنا التالية هي إيجاد حجمي هذين الجسمين. بما أن الجسمين على شكل مكعب، فإن هذا يعني أن حجم كل منهما يساوي مكعب طول أحد أضلاعهما. هناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أنه إذا كان لدينا مكعب طول ضلعه ‪𝐿‬‏، فإن حجم ذلك المكعب يساوي ‪𝐿‬‏ في ‪𝐿‬‏ في ‪𝐿‬‏، أو ‪𝐿‬‏ تكعيب.

إذن عند النظر إلى حجم المكعبين المصنوعين من المادتين ‪A‬‏ و‪B‬‏، فإن حجم الجسم الأصغر المكون من المادة ‪A‬‏ يساوي طول ضلعه تكعيب، أي مترين تكعيب، وحجم الجسم الأكبر يساوي طول ضلعه تكعيب، أي أربعة أمتار تكعيب. عند إجراء هذه العملية الحسابية، أي عند تكعيب هذين الطولين، فمن المهم تطبيق هذا التكعيب على كل من الوحدات والأعداد. هذا يعني أننا سنكعب المتر للحصول على المتر المكعب، ونكعب العدد الموجود قبل الوحدة. إذن حجم الجسم الأصغر يساوي اثنين في اثنين في اثنين متر مكعب. وهذا يساوي ثمانية أمتار مكعبة. وحجم الجسم الأكبر يساوي أربعة في أربعة في أربعة أمتار مكعبة، أو 64 مترًا مكعبًا.

قبل حساب هاتين الكثافتين، لاحظ الوحدات المستخدمة فيهما. لدينا وحدة النظام الدولي الأساسية للكتلة، وهي الكيلوجرام، مقسومة على وحدة النظام الدولي الأساسية للطول، وهي المتر، لكنه مكعب هنا ليمثل وحدة النظام الدولي الأساسية للحجم. هذه المجموعة من الوحدات، كيلوجرام لكل متر مكعب، هي الطريقة القياسية للتعبير عن كثافات المواد. بمعلومية ذلك، ما مقدار هاتين الكثافتين، ‪𝜌A‬‏ و‪𝜌B‬‏؟ نلاحظ أن ‪𝜌A‬‏ تساوي 16 على ثمانية أو كيلوجرامين لكل متر مكعب، بينما ‪𝜌B‬‏ تساوي 64 على 64 أو كيلوجرامًا واحدًا لكل متر مكعب. إذن بناء على هذه العملية الحسابية، تكون المادة ‪B‬‏ أقل كثافة من المادة ‪A‬‏، وهو ما يعني، على سبيل المثال، أننا إذا ألقينا هذين الجسمين في سائل معين، فإن احتمالية طفو الجسم المصنوع من المادة ‪B‬‏ أكبر في هذا السائل على الرغم من أنه أكبر حجمًا.

وذلك لأن كثافته أقل مقارنة بالمادة ‪A‬‏. وعلى الرغم من أن هذين الجسمين مكعبا الشكل، وبالتالي يمكننا إيجاد حجمهما باستخدام هذه العلاقة، فلا بد أن نعلم أن هذا لا ينطبق دائمًا على الأجسام التي نريد حساب كثافتها. على سبيل المثال، قد يكون لدينا جسم كروي نصف قطره ‪𝑟‬‏، أو يكون لدينا جسم آخر غير منتظم الشكل له طول وعرض وارتفاع محدد. في حالة حدوث ذلك، يمكننا تذكر القوانين المختلفة لحساب حجم الشكل الذي لدينا. حجم الكرة يساوي أربعة على ثلاثة في ‪𝜋‬‏ في نصف قطر الكرة تكعيب. وجسم كهذا الموجود هنا، الذي يسمى متوازي المستطيلات، حجمه يساوي طوله في عرضه في ارتفاعه.

يمكن أن تصبح هذه القوانين مفيدة عندما نحسب الحجم لكي نوجد الكثافة. ولعل أفضل طريقة للتمرين على حساب الكثافة هي حل بعض الأمثلة. فلنجرب أحد الأمثلة الآن.

كرتان لهما نفس الكتلة، لكن حجم الكرة الثانية نصف حجم الكرة الأولى. كم مثلًا تساوي كثافة الكرة الثانية بالنسبة إلى كثافة الكرة الأولى؟

حسنًا، في هذا التمرين لدينا كرتان مختلفتان. سنسميهما الكرة واحدًا، والكرة اثنين. فيما يتعلق بكتلتي هاتين الكرتين، تشير المعطيات إلى أن الكرتين لهما نفس الكتلة. يمكننا كتابة ذلك بهذه الطريقة. يمكننا القول إن ‪𝑚‬‏ واحد، وهي كتلة الكرة الأولى، تساوي كتلة الكرة الثانية ‪𝑚‬‏ اثنين. لكن بعد ذلك تخبرنا المسألة أن حجم الكرة الثانية يساوي نصف حجم الكرة الأولى. هناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن حجم الكرة الأولى، الذي يمكننا أن نسميه ‪𝑉‬‏ واحدًا، يساوي ضعف حجم الكرة الثانية، ‪𝑉‬‏ اثنين.

هذا يعني بالضبط أن نقول إن حجم الكرة الثانية يساوي نصف حجم الكرة الأولى. والآن بعد أن عرفنا الفرق بين كتلتي هاتين الكرتين وحجميهما، نريد أن نعرف كثافة الكرة الثانية مقارنة بالكرة الأولى. وعلى وجه التحديد، نريد أن نعرف كم مثلًا تساوي كثافة هذه الكرة الثانية مقارنة بكثافة الكرة الأولى. ولمعرفة ذلك، يمكننا أن نتذكر بوجه عام أن الكثافة ‪𝜌‬‏ لجسم ما تساوي كتلة هذا الجسم مقسومة على حجمه.

إذن فلنطبق ذلك. لنفترض أن ‪𝜌‬‏ واحدًا هي كثافة الكرة الأولى، و‪𝜌‬‏ اثنين هي كثافة الكرة الثانية. نعلم من معادلة الكثافة أن كثافة الكرة واحد تساوي ‪𝑚‬‏ واحد على ‪𝑉‬‏ واحد. وكثافة الكرة اثنين تساوي ‪𝑚‬‏ اثنين على ‪𝑉‬‏ اثنين. نريد عقد مقارنة بين هاتين الكثافتين، ‪𝜌‬‏ واحد و‪𝜌‬‏ اثنين. ولكي نفعل ذلك، سنعبر عن كثافة الكرة اثنين بالكامل بدلالة المتغيرات المتعلقة بالكرة واحد. إليكم ما نعنيه بهذا.

أولًا وقبل كل شيء، سنستخدم حقيقة أن ‪𝑚‬‏ اثنين، كتلة الكرة الثانية، تساوي كتلة الكرة الأولى. هذا يعني أنه يمكننا التعويض عن ‪𝑚‬‏ اثنين بـ ‪𝑚‬‏ واحد. فالكتلتان متماثلتان. بعد ذلك، بالنظر إلى حجمي الكرتين، لدينا هذه المعادلة التي تقول إن ‪𝑉‬‏ واحدًا يساوي اثنين ‪𝑉‬‏ اثنين. إذا قسمنا طرفي هذه المعادلة على اثنين، فسنجد أن العددين اثنين يلغي كل منهما الآخر في الطرف الأيمن. ونجد أن ‪𝑉‬‏ اثنين يساوي ‪𝑉‬‏ واحدًا على اثنين. إذن، يمكننا أخذ ‪𝑉‬‏ واحد على اثنين والتعويض به عن ‪𝑉‬‏ اثنين في معادلة ‪𝜌‬‏ اثنين. عندما نفعل ذلك، يصبح لدينا هذا الكسر: ‪𝑚‬‏ واحد على ‪𝑉‬‏ واحد على اثنين.

إذا ضربنا هذا الكسر في اثنين على اثنين، فلن نغير العدد على الإطلاق؛ لأننا في الواقع نضرب في واحد. لكننا نرى أنه في المقام، يحذف العددان اثنان واثنان كل منهما الآخر. ونحصل على النتيجة: اثنين في ‪𝑚‬‏ واحد على ‪𝑉‬‏ واحد. وبهذا نكون قد عبرنا عن كثافة الكرة الثانية بشكل كامل بدلالة كتلة الكرة الأولى وحجمها. بما أن ‪𝜌‬‏ واحدًا، أي كثافة الكرة الأولى، تساوي ‪𝑚‬‏ واحدًا على ‪𝑉‬‏ واحد، فيمكننا التعويض عن ‪𝑚‬‏ واحد على ‪𝑉‬‏ واحد هنا بـ ‪𝜌‬‏ واحد. ونجد أن ‪𝜌‬‏ اثنين، أي كثافة الكرة الثانية، تساوي ضعف ‪𝜌‬‏ واحد، أي كثافة الأولى. والسؤال المطروح هو: «كم مثلًا تساوي كثافة الكرة الثانية بالنسبة إلى كثافة الكرة الأولى؟» وهذه هي الإجابة. إنها أكبر مرتين، أي ضعفها.

لنلق نظرة الآن على مثال تدريبي آخر.

مكعب حديدي صغير طول كل ضلع من أضلاعه 0.15 متر. إذا كانت كتلة المكعب 26.6 كيلوجرامًا، فما كثافته؟ اكتب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

حسنًا، في هذا المثال، لدينا مكعب مصنوع من الحديد. وجميع أضلاعه لها نفس الطول، وهو 0.15 متر. إلى جانب ذلك، علمنا كتلة المكعب التي يمكننا أن نشير إليها بـ ‪𝑚‬‏. وهي تساوي 26.6 كيلوجرامًا. بناء على ذلك، نريد حساب كثافة المكعب. لحساب ذلك، دعونا نتذكر العلاقة الرياضية بين الكثافة والكتلة والحجم. الكثافة ‪𝜌‬‏ للجسم تساوي كتلته مقسومة على حجمه. إذن في هذه الحالة، كثافة المكعب، التي يمكن أن نسميها ‪𝜌c‬‏، تساوي كتلة المكعب، 26.6 كيلوجرامًا، مقسومة على حجمه.

ولإيجاد حجمه، يمكننا أن نتذكر أنه بما أننا نتعامل مع مكعب، فإن حجم المكعب يساوي طول أحد أضلاعه تكعيب. وفي حالتنا هذه، طول الضلع يساوي 0.15 متر. إذن الحجم يساوي 0.15 متر الكل تكعيب. هذان القوسان مهمان لأنهما يوضحان أننا سنطبق هذا التكعيب على وحدة المتر وكذلك العدد، 0.15. إذن حجم المكعب يساوي 0.15 تكعيب متر مكعب. عندما نحسب هذه الكثافة، نجد أنها تساوي 7881.48 وهكذا مع توالي الأرقام، كيلوجرامًا لكل متر مكعب.

لكن المسألة تطلب منا أن نكتب الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. إذن فلنبدأ من بداية الحل ونعد ثلاثة. ها هو الرقم المعنوي الأول، وهذا الثاني، وهذا الثالث. والآن لمعرفة ما إذا كانت الثمانية الثانية الموجودة هنا، أي الرقم المعنوي الثالث، ستقرب لأعلى أم ستظل كما هي، فسننظر إلى الرقم التالي في الحل. هذا الرقم هو واحد، أي أصغر من خمسة. وبالتالي، فلن تقرب الثمانية إلى تسعة. وستبقى كما هي. إذن الكثافة، لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، تساوي 7880 كيلوجرامًا لكل متر مكعب. هذه هي كثافة المكعب الحديدي.

والآن، فلنلخص ما تعلمناه عن حساب الكثافة. في البداية، تعلمنا أن الكثافة هي خاصية للمادة تعتمد على الكتلة والحجم. بالنسبة إلى أي مادة معينة، تظل الكثافة ثابتة دائمًا بغض النظر عن حجم القطعة المصنوعة من هذه المادة، صغيرًا كان أم كبيرًا. وفي صورة معادلة، كثافة الجسم، التي يرمز لها بالحرف اليوناني ‪𝜌‬‏، تساوي كتلته مقسومة على حجمه.

وأخيرًا، رأينا أن حجم الجسم يعتمد على شكله. فيساوي حجم المكعب طول ضلعه تكعيب، ويساوي حجم الكرة أربعة على ثلاثة في ‪𝜋‬‏ في نصف قطر الكرة تكعيب. وحجم الشكل الذي يسمى متوازي المستطيلات يساوي طوله في عرضه في ارتفاعه. هذا ملخص حساب الكثافة.