نسخة الفيديو النصية
يمر ضوء طوله الموجي 588 نانومترًا عبر صفيحة بها شقان ضيقان متوازيان تفصل بينهما مسافة 12.6 ميكرومترًا. يسقط الضوء من الشقين على شاشة توازي الصفيحة، وتبعد عنها مسافة 1.52 متر؛ حيث يلاحظ نمط من الهدب المضيئة والمظلمة. طول الشاشة 2.24 متر، ويقع مركزها مقابلًا لنقطة المنتصف بين الشقين في الصفيحة. ما عدد الهدب المضيئة الملاحظة على الشاشة؟
حسنًا، يطلب منا هذا السؤال تحديد عدد الهدب المضيئة الملاحظة على هذه الشاشة المحدودة الحيز التي يبلغ طولها 2.24 متر؛ إذ إنه من الممكن لموجات الضوء القادمة من الشقين أن تتجاوز الشاشة، ما يعني بالطبع أن هذه الموجات تحديدًا لن تكون أي هدب مضيئة على الشاشة. إذن، لمعرفة العدد الإجمالي الذي تتسع له الشاشة، دعونا نفكر في مقارنة الطول الكلي للشاشة بالمسافة الواحدة بين أي هدبتين، والفكرة الأساسية هي أننا سنقسم هذا الطول الكلي للشاشة على مسافة واحدة بين أي هدبتين، آملين أن يعطينا ذلك عدد الهدب الموجودة.
قد يبدو هذا الأمر سهلًا؛ لأننا نعلم بالفعل الطول الكلي للشاشة. لكن المسافة بين الهدب المضيئة تعتمد على عوامل عدة؛ الطول الموجي للضوء القادم من الشقين، والمسافة بين الشقين، والمسافة من الشقين إلى الشاشة.
لمعرفة مدى ارتباط جميع هذه العوامل بعضها ببعض، دعونا نبدأ بالنظر إلى هذين الشقين عن قرب. عندما تخرج موجتان ضوئيتان من هذين الشقين تلتقيان على الشاشة وتشكلان هدبة مضيئة، فإنهما تخرجان من الشقين كل منهما بزاوية مختلفة عن الأخرى عمليًّا؛ نظرًا لأنهما تلتقيان في النهاية لتكونا إحدى هذه الهدب المضيئة بدلًا من أن تظلا متوازيتين على طول المسار، لكنهما تختلفان اختلافًا طفيفًا للغاية حتى يمكن اعتبارهما زاويتين متماثلتين. ويرجع ذلك إلى أن المسافة بين الشقين صغيرة للغاية، مقارنة بالمسافة بين الصفيحة والشاشة. ومن ثم يمكننا قول إن الفرق بين قياسي الزاويتين اللتين تصنعانهما هاتان الموجتان سيكون طفيفًا للغاية، ما يعني أنه يمكننا قول إنهما متساويتا القياس.
قد تبدو هاتان الزاويتان هنا مختلفتين قليلًا، ولكن تذكر أن ذلك يرجع إلى أن هذا مجرد رسم توضيحي ليس مرسومًا بمقياس رسم. تظهر هاتان الزاويتان هنا بوضوح أكثر. حسنًا، وفقًا لهذا المنطق نفسه الذي يخبرنا بأن الفرق بين هاتين الزاويتين طفيف للغاية، فإذا رسمنا خطًّا قادمًا من منتصف المسافة بين الشقين تمامًا، ورسمنا أيضًا موجة ضوئية قادمة من منتصف المسافة بين الشقين وتنتهي عند هدبة مضيئة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين هذا الخط وهذه الموجة الضوئية لن يختلف أيضًا. وعندما نريد الإشارة إلى أي من هذه الزوايا الثلاث، نستخدم دائمًا الزاوية 𝜃 نفسها.
وقد رسمنا هذا الخط الأوسط هنا؛ حتى نحصل على هذا المثلث القائم الزاوية. وإذا عدلنا المثلث؛ بحيث يصبح طول ضلعه هذا مساويًا للمسافة بين هدبتين مضيئتين، يمكننا بدء استخدام حساب المثلثات. هذا المثلث هنا هو نفسه هذا المثلث هنا. دعونا نذكر ما نعرفه عن هذا المثلث. هو مثلث قائم الزاوية وبه زاوية أخرى هنا نعلم أنها 𝜃. ونعلم بالفعل أن طول الضلع السفلي يساوي 1.52 متر. لكن حتى لا نخلط بين المعادلات، سنسميه 𝐿 مؤقتًا. أما طول الضلع العلوي، أو الوتر، فسنسميه 𝐻. والضلع البعيد، سنقول إن طوله 𝑌𝑛، ويمثل المسافة بين الهدبتين المضيئتين، وهما في هذه الحالة الهدبة المضيئة المركزية والهدبة المضيئة التي تعلوها مباشرة.
حسنًا، لقد استخدمنا الحرف السفلي 𝑛؛ لأننا عادة ما نعبر عن الهدب المضيئة بقيم محددة لـ 𝑛، إشارة إلى المسافة التي تفصل كلًّا منها عن الهدبة المضيئة المركزية، التي قيمة 𝑛 عندها تساوي صفرًا. وكل هدبة مضيئة، سواء كانت تقع أعلى الهدبة المضيئة المركزية أو أسفلها، تكون قيمة 𝑛 عندها أكبر بمقدار واحد من قيمة الهدبة المضيئة التي تسبقها. يمثل 𝑌𝑛 هنا المسافة بين أي هدبتين من هذه الهدب المضيئة. ولكن لتبسيط الأمر، سنستخدم المسافة بين 𝑛 يساوي صفرًا و𝑛 يساوي واحدًا؛ لأن ذلك يعطينا مثلثًا قائم الزاوية. المسافة بين الهدبتين المضيئتين، أو لنقل قيمة 𝑌𝑛، تساوي المسافة بين أي هدبتين مضيئتين متجاورتين. لكن المثلث الناتج لن يكون قائم الزاوية، ما يزيد الأمور تعقيدًا. ولذا سنلتزم باستخدام 𝑛 يساوي صفرًا و𝑛 يساوي واحدًا.
حسنًا، دعونا الآن نبدأ تحديد العلاقة بين هذه الزاوية 𝜃 والأجزاء الأخرى من هذا المثلث القائم الزاوية. وباسترجاع بعض القواعد المثلثية، نعلم أن sin 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل للزاوية على طول الوتر، ما يساوي في هذه الحالة 𝑌𝑛 على 𝐻. والسبب في أننا أردنا إيجاد النسبة المثلثية sin 𝜃 هذه هو أن sin 𝜃 مستخدم في هذه المعادلة، التي تعبر عن فرق المسار بين النقطتين اللتين ينتج عنهما تداخل بناء، أو إن صح القول، بين الهدبتين المضيئتين. سنتناول المتغيرات الواردة في هذه المعادلة بعد قليل. ولكن دعونا الآن نركز على دالة الجيب.
نحن نريد التعويض بقيمة النسبة المثلثية sin 𝜃 هذه، ولكن يتعذر علينا فعل ذلك بصيغتها الحالية؛ لأننا لا نعلم الطول 𝐻، أي الوتر. ولهذا السبب، سنلجأ إلى حيلة ذكية تتضمن استخدام النسبة المثلثية tan 𝜃. لأي مثلث قائم الزاوية، tan 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، ما يساوي في هذه الحالة 𝑌𝑛 على 𝐿. وهذا يسهل علينا المسألة؛ لأن لدينا الآن متغيرًا معلومًا وهو 𝐿، وهذا أفضل بكثير من استخدام النسبة المثلثية sin 𝜃، التي تشتمل على متغيرين مجهولين هما 𝑌𝑛 و𝐻.
وهنا تتضح لنا طريقة للجمع بين هاتين القيمتين باستخدام قاعدة تسمى تقريب الزاوية الصغيرة. تقريب الزاوية الصغيرة هو في الأساس قاعدة تنص على أنه في حالة الزاوية الصغيرة للغاية، مثل تلك التي لدينا في هذا المثلث، فإن sin 𝜃 وtan 𝜃 لتلك الزاوية متساويان في الأساس، ما يعني أن sin 𝜃 يساوي 𝑌𝑛 على 𝐻 في هذا المثلث، ما يساوي 𝑌𝑛 على 𝐿 تقريبًا. إذن، عند التعويض بقيمة tan 𝜃 في هذه المعادلة، يمكننا استخدام 𝑌𝑛 على 𝐿. ومن ثم، يمكننا الآن بدء التعويض هنا. ولكن علينا أولًا أن نفكر، لماذا نستخدم هذه المعادلة؟ وكيف ستساعدنا هذه المعادلة في إيجاد عدد الهدب المضيئة الملاحظة على الشاشة؟ حسنًا، دعونا نستعرض المتغيرات التي تظهر هنا.
𝑑 هو المسافة بين الشقين، وتساوي 12.6 ميكرومترًا. 𝜆، في الطرف البعيد هنا، هو الطول الموجي للضوء، ويساوي 588 نانومترًا. ولكن هذا المتغير 𝑛 هو ما نسعى بالفعل لإيجاد قيمته. يمثل المتغير 𝑛 الهدبة المضيئة رقم 𝑛 التي تلتقي عندها موجتان على امتداد الهدبة المضيئة المركزية. إذن، بمعلومية جميع المتغيرات الأخرى، يمكننا إيجاد قيمة 𝑛 لأقصى هدبة مضيئة موجودة على الشاشة. وإذا علمنا قيمة 𝑛 لأقصى هدبة مضيئة، فهذا بالتأكيد يعني أن جميع الهدب المضيئة الأخرى تقع أسفلها أيضًا، ما يعني أنه يمكن استخدام 𝑛 لإيجاد إجمالي عدد الهدب المضيئة الموجودة على الشاشة. دعونا إذن نواصل لإيجاد هذه القيمة.
أول ما علينا فعله هو عزل هذه القيمة 𝑛 في طرف بمفردها، وذلك بقسمة الطرفين على 𝜆، فيحذف بذلك الحدان 𝜆 من الطرف الأيمن، ليتبقى لدينا 𝑛 فقط. بعد ذلك، يمكننا التعويض عن sin 𝜃 بـ 𝑌𝑛 على 𝐿، ما يعطينا 𝑑𝑌𝑛 على 𝐿 على 𝜆، وهذا يمكن تبسيطه إلى 𝑑𝑌𝑛 على 𝜆𝐿. والآن، بعد أن حصلنا على المعادلة بأكملها بدلالة 𝑛 باستخدام المتغيرات المعلومة لدينا، دعونا نبدأ النظر إلى هذه المتغيرات.
𝑑 هو المسافة بين الشقين وتساوي 12.6 ميكرومترًا. ولكن دعونا نكتب ذلك بالصيغة العلمية لتسهيل العمليات الحسابية لاحقًا. 12.6 ميكرومترًا بالصيغة العلمية يساوي 1.26 في 10 أس سالب خمسة متر. بعد ذلك، الطول الموجي للضوء القادم من الشقين يساوي 588 نانومترًا أو 5.88 في 10 أس سالب سبعة متر بالصيغة العلمية. بعد ذلك، لدينا 𝐿، وهو المسافة من الشاشة إلى الصفيحة، ويساوي 1.52 متر. يتبقى لدينا الآن 𝑌𝑛، وهو المسافة بين الهدبتين المضيئتين، التي يبدو أنها مجهولة لنا. لكن ليس من الضروري أن تعبر قيمة 𝑌𝑛 عن المسافة بين هدبتين مضيئتين متجاورتين تمامًا. ذلك لأنها قد تمثل المسافة من الهدبة المضيئة المركزية، وصولًا إلى أقصى هدبة مضيئة ممكنة، ما ينتج عنه في هذه الحالة مثلث يكون فيه 𝑌𝑛 مساويًا لنصف طول الشاشة البالغ 2.24 متر، أي ما يساوي 1.12 متر.
لكن الهدب المضيئة لا تقع أعلى الهدبة المضيئة المركزية فحسب، بل تقع أسفلها أيضًا، ما يعني أنه عند القياس بداية من الهدبة المضيئة المركزية، ستكون لدينا قيمتان لـ 𝑌𝑛، إحداهما لتلك الهدب التي تقع أعلى الهدبة المضيئة المركزية والأخرى لتلك التي تقع أسفلها. وهذا يعني أننا سنجمع هاتين القيمتين معًا لإيجاد المساحة الكلية التي ستظهر عليها الهدب المضيئة، التي تساوي ببساطة الطول الأصلي للشاشة البالغ 2.24 متر. وبعد أن علمنا أنه يمكننا اعتبار 𝑌𝑛 طول الشاشة بأكمله، فإن المتغير 𝑛، الذي يعبر عن عدد الهدب المضيئة التي تقع على امتداد الطول 𝑌𝑛، سيخبرنا بإجمالي عدد الهدب المضيئة الموجودة على الشاشة.
والآن، عندما نفعل ذلك، قد نجد أنفسنا أمام مشكلة، وتحديدًا بسبب طريقة استخدامنا لـ sin 𝜃 في هذه المعادلة. لكي نفترض أن sin 𝜃 يساوي تقريبًا tan 𝜃 للحصول على المتغير 𝐿 بدلًا من 𝐻، استخدمنا قاعدة تقريب الزاوية الصغيرة التي لا تنطبق إلا إذا كانت 𝜃 صغيرة للغاية. ويتضح لنا أن الزاويتين اللتين نحصل عليهما، قياسًا على الشاشة بأكملها، ليستا صغيرتين بأي حال. ولكن لا يمثل ذلك في الواقع أي مشكلة؛ لأن كل ما تفعله هذه المعادلة بالفعل هو قياس المسافة بين كل هدبتين مضيئتين متجاورتين، ثم ببساطة جمع كل هذه القيم معًا، وبذلك نحصل في كل مرة على زاوية صغيرة، ما يعني أن قاعدة تقريب الزاوية الصغيرة التي استخدمناها لا تزال تجدي نفعًا.
حسنًا. والآن بعد أن تجاوزنا هذه العقبة، دعونا نبدأ التعويض بالمتغيرات التي لدينا، التي يجب أن تبدو على هذا النحو. وبما أن لدينا وحدة المتر مرتين في البسط ومرتين في المقام، فيجب حذفها جميعًا. إذن، بحساب كل ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على 31.579 تقريبًا. ولكننا نريد معرفة عدد الهدب المضيئة الكاملة الموجودة على الشاشة. ذلك لأنه لا يمكننا حساب جزء من هدبة مضيئة. وهكذا، فلن نقرب لأعلى في هذه الحالة، على الرغم من أن الرقم الذي يلي العلامة العشرية هو خمسة. والسبب في ذلك مرة أخرى هو أنه لا يمكننا حساب نصف هدبة مضيئة؛ لأن ما نريد معرفته فقط هو إجمالي عدد الهدب المضيئة الكاملة الموجودة على الشاشة. وحتى إذا حصلنا على العدد 31.99، فإننا نقول أيضًا إن لدينا 31 هدبة مضيئة فقط على الشاشة. إذن، هذا النظام تحديدًا، الذي يمر فيه الضوء عبر الشقين إلى الشاشة المقابلة، سينتج عنه 31 هدبة مضيئة.
