فيديو الدرس: المتباينات المتعددة الخطوات الرياضيات • الصف الأول الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

سنتناول في هذا الدرس كيفية حل المتباينات المتعددة الخطوات. وهذا هو ما تبدو عليه المتباينات التي يتطلب حلها خطوات متعددة. وعندما نتعامل مع المتباينات يكون لدينا مجموعة من العلامات. ولقد أشرت هنا بالسهم الوردي إلى علامات مثل أصغر من وأكبر من وأصغر من أو يساوي وأكبر من أو يساوي. وسنلقي نظرة سريعة على كيفية استخدام هذه العلامات.

حسنًا، عند التعامل مع أمر كهذا، ربما تفكر «من أين نبدأ؟ وماذا نفعل إذا أردنا حل متباينة متعددة الخطوات؟» في الحقيقة الأمر شبيه تمامًا بحل المعادلات. إذ نتبع الكثير من الخطوات نفسها. لكننا نستخدم فقط، كما قلت سابقًا، هذه العلامات، أي علامات المتباينات.

نريد أولًا إلقاء نظرة على العلامات الموجودة في هذه المتباينات. في البداية لدينا ﺱ أصغر من ﺹ. ويمكننا أن نرى ذلك لأن الطرف المدبب يشير إلى ﺱ والطرف الواسع يشير إلى ﺹ. ودائمًا ما يشير الطرف الواسع إلى العدد الأكبر. وبعد ذلك لدينا ﺱ أكبر من ﺹ؛ حيث نرى أن علامة المتباينة عكست للجهة الأخرى.

ثم لدينا ﺱ أصغر من أو يساوي ﺹ. وهذه نقطة مهمة حقًّا. إذ إن ﺱ أصغر من أو يساوي ﺹ. والجزء الذي نعبر عنه بـ «أو يساوي» هو الخط الصغير أسفل علامة المتباينة. وهذا يعني أن قيمة ﺱ قد تكون أقل من أو تساوي ﺹ نفسها. وأخيرًا لدينا ﺱ أكبر من أو يساوي ﺹ. حسنًا، سنلقي نظرة الآن على العلامات التي سنستخدمها. دعونا نبدأ ونستعرض مثالًا لنرى إذا ما كان يمكننا حل متباينة متعددة الخطوات.

أوجد مجموعة حل المتباينة سالب ١٤ﺱ ناقص ٥٢ أصغر من أو يساوي سالب ١٨ﺱ في مجموعة الأعداد الحقيقية. أعط إجابتك على صورة فترة.

حسنًا، أول شيء غريب نريد أن نعرفه في هذه المسألة هو حرف ﺡ هذا. ويعني جميع الأعداد الحقيقية. إذن نعلم أن ناتج المتباينة سيكون عددًا حقيقيًّا. ربما تتساءل «أليست جميع الأعداد حقيقية؟»

حسنًا، في الحقيقية لا؛ فهناك أعداد تخيلية مستخدمة في الرياضيات. لكننا سنتناولها في دروس لاحقة. والآن عندما سنحل المتباينة، سيكون ذلك بالطريقة نفسها التي نحل بها المعادلات. لدينا سالب ١٤ﺱ ناقص ٥٢ أصغر من أو يساوي سالب ١٨ﺱ. والآن ما سنفعله هو أننا سنضيف ١٨ﺱ إلى كلا طرفي المتباينة كما نضيف ٥٢ أيضًا. ومن ذلك نحصل على أربعة ﺱ أصغر من أو يساوي ٥٢.

ويمكنك أن ترى أننا هكذا نكون قد أكملنا خطوتين. حسنًا، هذه في الحقيقة متباينة متعددة الخطوات. لأننا انتهينا من خطوتين ولكننا لم ننته بعد؛ حيث تتبقى خطوة أخرى علينا القيام بها لحل هذه المتباينة.

الخطوة الأخيرة هي قسمة الطرفين على أربعة. وهذا لأننا نريد معرفة قيمة ﺱ بمفرده. حسنًا، عند إجراء ذلك نحصل على ﺱ أصغر من أو يساوي ١٣. ها قد انتهينا من حل المتباينة. لكن هل حللنا المسألة؟

لا، ليس بعد؛ حيث طلب منا السؤال كتابة الإجابة باستخدام رمز الفترة. إذن ماذا سيكون ذلك على صورة فترة؟ عندما نكتب ذلك على صورة فترة، ستكون بهذا الشكل. لدينا قوس مفتوح ثم سالب ∞ ثم فاصلة ثم ١٣ ثم قوس مغلق. لنفكر في معنى هذا.

أولًا، لدينا على اليمين قوس مفتوح. وهذا لأننا نعلم أنه إذا كان ﺱ أصغر من أو يساوي ١٣، فيمكنه أن يكون أي قيمة أصغر حتى سالب ∞. لكنه لا يتضمن سالب ∞. ثم يمكننا أن نرى على اليسار أن لدينا قوسًا مغلقا. وهذا يعني أن هذه الفترة تتضمن ١٣ لأننا نعرف أن ﺱ أصغر من أو يساوي ١٣. وهكذا نعرف أن القيم قد تكون أي قيمة من سالب ∞، لكنها لا تتضمن سالب ∞ حتى ١٣، كما تتضمن ١٣ أيضًا.

إذن السؤال الأول هذا قد ساعدنا في استخدام بعض المهارات لأننا ألقينا نظرة بالفعل على كيفية حل متباينة متعددة الخطوات. إذن قد فعلنا ذلك. كما تحدثنا أيضًا عن رمز المجموعة؛ حيث تحدثنا عن ﺡ، الذي يعني جميع الأعداد الحقيقية. ثم أعطينا الإجابة على صورة فترة. وبذلك نكون تناولنا عدة أمور. ولكن دعونا نر ما الذي يمكننا أن ننتقل إليه بعد ذلك.

سنستعرض بعد ذلك رمز مجموعة أخرى. كما سنتناول فك القوس في المتباينة لدينا. وأيضًا سننظر في كتابة المتباينة أو حلها على صور مختلفة.

حل المتباينة ١٠ﺱ زائد ١٦ أصغر من أو يساوي ثمانية مضروبًا في ﺱ ناقص ١٩ في مجموعة الأعداد النسبية.

وكما قلنا عند قراءة هذا السؤال، الرمز ﻥ هذا يعني الأعداد النسبية. ونعني بالأعداد النسبية الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة كسر. حسنًا، هيا الآن نحل المتباينة.

الخطوة أو المرحلة الأولى في حل المتباينة المتعددة الخطوات هي فك القوس. ويعني هذا أننا سنضرب ثمانية في كلا الحدين داخل القوس. وبذلك سنحصل على ١٠ﺱ زائد ١٦ أصغر من أو يساوي. ولدينا ثمانية ﺱ لأن ثمانية مضروبًا في ﺱ يساوي ثمانية ﺱ. ثم بعد ذلك ناقص ١٥٢. وذلك لأن ثمانية مضروبًا في سالب ١٩ يعطينا سالب ١٥٢ هذا.

والآن ما علينا فعله لكي نتأكد من أن لدينا حدود ﺱ في أحد طرفي المتباينة والقيم العددية في الطرف الآخر هو أن نطرح ثمانية ﺱ و١٦ من كلا الطرفين. وعندما نفعل ذلك سنحصل على اثنان ﺱ أصغر من أو يساوي سالب ١٦٨. ما علينا فعله بعد ذلك هو قسمة كلا طرفي المتباينة على اثنين. وبهذا سنحصل على ﺱ أصغر من أو يساوي سالب ٨٤.

وهذا يعني أن قيمة ﺱ قد تكون أي قيمة أصغر من سالب ٨٤ لكنها تتضمن أيضًا سالب ٨٤. حسنًا، لقد أوضحنا توًّا الإجابة باستخدام رمز المتباينة حيث إن ﺱ أصغر من أو يساوي سالب ٨٤. ويمكننا أيضًا استخدام رمز الفترة كما أوضحت هنا حيث لدينا قوس مفتوح. ثم، لدينا سالب ∞ ثم فاصلة ثم سالب ٨٤. ثم لدينا قوس مغلق. وهذا يعني أن القيم قد تكون أي قيمة من سالب ∞ لكنها لا تتضمن سالب ∞، حتى سالب ٨٤ وتتضمن سالب ٨٤.

ثم لدينا أيضًا صورة أخرى لإعطاء الإجابة التي تخبرنا أن ﺱ ينتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية، حيث ﺱ أصغر من أو يساوي سالب ٨٤.

إذن مرة أخرى نكون قد عززنا مهاراتنا لأننا كتبنا الإجابة على صورة الفترة. كما بدأنا الحل أيضًا بفك القوس.

والآن في المثال الأخير من هذا النوع، سنستعرض متباينة في كلا طرفيها قوس. حسنًا، علينا فك القوس. وعلينا التبسيط. ومرة أخرى، سنعطي الإجابة على صورة فترة.

حل المتباينة تسعة ﺱ ناقص ثلاثة مضروبًا في سالب سبعة ﺱ زائد تسعة أصغر من سالب سبعة مضروبًا في سالب تسعة زائد ﺱ ناقص اثنين في مجموعة الأعداد النسبية.

والآن كما قد تتذكر من حديثنا عن رموز بعض المجموعات، فإن الرمز ﻥ هذا يعني الأعداد النسبية. والأعداد النسبية هي الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة كسر.

كي نحل الآن هذه المسألة، علينا أولًا فك القوس في كلا طرفي المتباينة. وذلك لأننا سنحل المتباينة بالطريقة نفسها التي نحل بها المعادلة. في الطرف الأيمن سنحصل على تسعة ﺱ زائد ٢١ﺱ. وهذا موجب ٢١ﺱ لأننا لدينا سالب ثلاثة مضروبًا في سالب سبعة ﺱ. ثم نحصل على سالب ٢٧. وهذا سيكون أصغر من ٦٣. وذلك لأن سالب سبعة مضروبًا في سالب تسعة يعطينا ٦٣؛ لأن سالبًا مضروبًا في سالب يعطينا موجبًا. ثم نحصل على سالب سبعة ﺱ ناقص اثنين.

حسنًا، رائع، ما علينا فعله الآن هو تبسيط كلا الطرفين. وبذلك نحصل على ٣٠ﺱ ناقص ٢٧ أصغر من ٦١ ناقص سبعة ﺱ. والآن تتمثل الخطوة التالية في وضع حدي ﺱ في أحد طرفي المتباينة ووضع القيم العددية في الطرف الآخر. إذن ما سنفعله هو إضافة سبعة ﺱ لكلا طرفي المتباينة وإضافة ٢٧ لكلا طرفي المتباينة. وبذلك نحصل على ٣٧ﺱ أصغر من ٨٨.

وأخيرًا لا يتبقى سوى أن نقسم كلا طرفي المتباينة على ٣٧. وبذلك، نحصل على ﺱ أصغر من ٨٨ على ٣٧. ثم يمكن أن نوضح ذلك باستخدام رمز الفترة بهذه الطريقة التي يكون فيها ﺱ ينتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية، حيث ﺱ أصغر من ٨٨ على ٣٧.

والآن حللنا مسألة يوجد في كلا طرفيها قوس. وبذلك نكون تعاملنا مع عدد من المتباينات المتعددة الخطوات. لكن ما الخطوة التالية؟ ربما تتساءل الآن، «حسنًا هذا رائع، لكن ما الهدف من حل المتباينات؟»

كما ذكرنا سابقًا، فيم تستخدم المتباينات؟ وكيف يمكننا استخدامها في حياتنا اليومية؟ حسنًا، تستخدم المتباينات بالفعل في العديد من الأمور، ولا سيما في أمور مثل الأعمال التجارية حيث يمكنها المساعدة في مراقبة المخزون أو الأجور أو في الهندسة عندما نعرف الحدود المسموح بها، على سبيل المثال عدد الأشخاص المسموح لهم بركوب المصعد أو التفاوت المسموح به لحمل جسر. ونفعل ذلك بواسطة ما يسمى بالبرمجة الخطية، وهي طريقة أخرى حيث يمكننا استخدام المتباينات للمساعدة في حل بعض المسائل. كما يمكن تثميل المتباينات بيانيًّا.

حسنًا، في المثال الأخير، هيا نلق نظرة على سؤال يتناول حل المتباينات ضمن سياق. إذن سنلقي نظرة على أحد المواقف العملية.

تقدم شركة اتصالات هواتف محمولة خطتي الأسعار الآتيتين. الخطة (أ): ١٥ دولارًا أمريكيًّا شهريًّا، بالإضافة إلى دولارين أمريكيين لكل ٣٠٠ رسالة نصية. الخطة (ب): ٢٥ دولارًا أمريكيًّا شهريًّا، بالإضافة إلى ٠٫٥٠ دولار أمريكي لكل ١٠٠ رسالة نصية. ما عدد الرسائل النصية اللازم إرسالها شهريًّا في الخطة (ب) لتوفير الأموال؟

حسنًا، الطريقة التي يمكننا من خلالها حل هذه المسألة هي أن نفكر أولًا في تكلفة إرسال ١٠٠ رسالة نصية طبقًا للخطة (أ) والخطة (ب). حسنًا، إذا نظرنا إلى الخطة (أ)، نجد أنها تكلف ثلثي دولار لكل ١٠٠ رسالة نصية. وذلك لأنها تكلف دولارين لكل ٣٠٠ رسالة نصية. فقط بقسمة هذا على ثلاثة. ثم إذا نظرنا للخطة (ب)، نرى أنها تكلف نصف دولار أو ٥٠ سنتًا لكل ١٠٠ رسالة نصية.

حسنًا، ما يمكننا أن نفعله هو أن نبدأ في كتابة المتباينة. ويمكننا فعل ذلك لأن ما لدينا في الخطة (أ) هو ١٥ زائد ثلثي ﺱ، حيث ﺱ هو عدد المئات من الرسائل النصية. حسنًا، نريد أن نعرف متى يكون هذا أكبر. ونريد أن نعرف ذلك لأن ما نحاول فعله هو معرفة عدد الرسائل اللازم إرسالها شهريًّا حسب الخطة (ب) لتكون قد ادخرت أموالك. لذا نريد أن تكون التكلفة حسب الخطة (ب) هي الأصغر. ثم لدينا في الخطة (ب) ٢٥ زائد نصف ﺱ.

والآن ما فعلناه هو أننا حولنا الكسرين إلى مضاعفين للسدس لنجعل لهما مقامًا مشتركًا. إذن لدينا ١٥ زائد أربعة على ستة ﺱ أكبر من ٢٥ زائد ثلاثة على ستة ﺱ. ما سنفعله الآن هو طرح ١٥ وطرح ثلاثة على ستة ﺱ من كلا طرفي المتباينة. وسنفعل ذلك لأننا نريد عزل ﺱ في طرف واحد. ونريد أن تكون القيم العددية في الطرف الآخر. وعند القيام بذلك نحصل على سدس ﺱ أكبر من ١٠.

بما أننا حصلنا على سدس ﺱ أكبر من ١٠، فإذا ضربنا كلا الطرفين في ستة، نجد أن ﺱ أكبر من ٦٠. حسنًا، كما قلنا في البداية، ﺱ يمثل عدد المئات من الرسائل النصية. إذن عدد الرسائل اللازم إرسالها طبقًا للخطة (ب) لتوفير الأموال هو أكثر من ٦٠٠٠ رسالة نصية. وحصلنا على ذلك لأننا ضربنا ٦٠ في ١٠٠، ما يعطينا ٦٠٠٠.

إذن المهارة الأخيرة التي تعلمناها هي حل متباينة متعددة الخطوات في سياق واقعي. وقد فعلنا ذلك. وبهذا نكون قد انتهينا مما كنا نحاول دراسته. والآن دعونا نسترجع كل ما تعلمناه في هذا الدرس.

النقاط الرئيسية في هذا الدرس هي: أولًا، المتباينة المتعددة الخطوات هي المتباينة التي يتطلب حلها أكثر من خطوة أو مرحلة واحدة من خطوات العمليات الجبرية. ثانيًا، تحل المتباينات باستخدام طريقة موازنة مشابهة لحل المعادلات. فعندما ترى متباينة، لا تقلق وتتساءل في حيرة «ماذا سأفعل؟» لأن كل ما عليك فعله هو حلها بالطريقة نفسها المستخدمة في حل المعادلات. تذكر فقط أن لدينا علامة المتباينة.

ثم لدينا علامة أصغر من، أو أكبر من، أو أصغر من أو يساوي، أو أكبر من أو يساوي. وجميعها علامات نستخدمها في المتباينات. وجدير بالذكر أن الفرق بين هاتين العلامتين هو الخط الموجود أسفلهما. ويخبرنا هذا الخط أن هذا قد يكون أكبر من أو يساوي، أو أصغر من أو يساوي. إذن هذا قد يعني «أو يساوي».

ومن الجدير بالذكر أيضًا أن الطرف الواسع من علامة المتباينة يشير إلى العدد الأكبر. والطرف المدبب يشير إلى العدد الأصغر. حسنًا، ما عرضته هو أحد رموز الفترة. فهذا هو القوس المفتوح وهذا هو القوس المغلق. إذا كان لدينا قوس مفتوح، فهذا يعني أنه لا يتضمن القيمة الموجودة بجانبه. فهو يشبه علامة أكبر من أو أصغر من. ولكن إذا كان لدينا قوس مغلق، فهذا يعني أنه يتضمن هذه القيمة بالفعل. إذن هذا دائمًا «يساوي».

ثم علمنا أنه يمكن استخدام المتباينات في السياقات الحياتية. واستعرضنا هذا في المثال الأخير. وأخيرًا، يمكن تمثيل المتباينات بصور مختلفة. وقد تحدثت عن هذا قليلًا باستخدام رمز الفترة. كما تحدثنا عن رمز المجموعة ولدينا أيضًا رمز المتباينة نفسها.