فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين ثلاثة خطوط متوازية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد، لأقرب جزء من مائة، المسافة بين المستقيمات المتوازية: ﺱ يساوي ثمانية زائد ثلاثة ﻥ، ‏ﺹ يساوي سبعة زائد أربعة ﻥ، ‏ﻉ يساوي ستة زائد اثنين ﻥ، وﺭ يساوي اثنين، واحدًا، أربعة زائد ﻥ في سالب ثلاثة، سالب أربعة، سالب اثنين.

لدينا هنا هذان الخطان المتوازيان. وسنفترض أنهما ﺃ واحد وﺃ اثنان. معادلة الخط الأول معطاة لنا في السؤال على الصورة البارامترية. أما الخط الثاني، فهو مكتوب على الصورة المتجهة. عندما يتحدث رأس المسألة عن إيجاد المسافة بين هذين الخطين، فإنه يشير إلى أصغر مسافة ممكنة بينهما؛ أي البعد العمودي، الذي سنسميه ﻝ. لإيجاد قيمة ﻝ، نسترجع هذه العلاقة المتعلقة بإيجاد البعد العمودي بين خطين متوازيين. هنا ﻫ متجه مواز لكلا الخطين. إذن سيبدو على الرسم الذي لدينا ﻫ بهذا الشكل. نلاحظ أيضًا في معادلة البعد العمودي ﻝ، أن هناك متجهًا ثانيًا يسمى ﺏ واحدًا ﺏ اثنين.

نعرف نقطة واقعة على الخط الأول. وسنسميها ﺏ واحدًا. ونعرف أيضًا نقطة واقعة على الخط الثاني، هي النقطة ﺏ اثنان. والمتجه ﺏ واحد ﺏ اثنان هذا سيبدو بهذا الشكل. نلاحظ أنه لحساب قيمة ﻝ في المسألة التي لدينا، سنحتاج إلى معرفة نقطة ما على الخط الأول، ونقطة ثانية على الخط الثاني، ومتجه مواز لكل منهما. أولًا: لنلق نظرة على النقطة التي تقع على الخط الأول، ﺏ واحد. ذكرنا من قبل أن معادلة هذا الخط معطاة على الصورة البارامترية. هذا يعني أنه توجد معادلة منفصلة للإحداثيات ﺱ، ﺹ، ﻉ لهذا الخط. وبما أنها مكتوبة بهذه الطريقة، فلن نبذل جهدًا كبيرًا في كتابة معادلة الخط على ما يسمى بالصورة المتجهة.

كل ما علينا فعله هو دمج الإحداثيات ﺱ، ﺹ، ﻉ؛ بحيث تصبح هي مركبات المتجه. نعلم من الصورة البارامترية أن هذا الخط يمر عبر النقطة التي إحداثياتها ثمانية، سبعة، ستة، وأنه مواز لمتجه مركباته هي ثلاثة، أربعة، اثنان. وبذلك نكون قد أوجدنا نقطة على الخط واحد. وفي الوقت نفسه، أوجدنا مركبات المتجه الموازي للخط واحد، وهو ما يعني أنه مواز للخط اثنين أيضًا. ومن ثم، يمكننا كتابة أن المتجه ﻫ له المركبات ثلاثة، أربعة، اثنان.

بعد ذلك، نريد إيجاد نقطة على الخط اثنين. ولأن معادلة الخط اثنين معطاة لنا على الصورة المتجهة، يمكننا القيام بذلك بسرعة. فبما أنها مكتوبة بهذه الطريقة، نجد أن لدينا المتجه ﺭ الذي يبدأ عند نقطة الأصل لإطار الإحداثيات ويمتد إلى النقطة اثنين، واحد، أربعة. هذه النقطة تقع على الخط ﺃ اثنين، ثم تتحرك وفقًا لهذا المتجه لأعلى ولأسفل هذا الخط. بهذا يكون لدينا إحداثيات النقطة التي تقع على الخط اثنين. ونلاحظ أن لدينا أيضًا متجهًا موازيًا للخط. إذن بالمقارنة مع المتجه ﻫ، سيبدو هذا المتجه بهذا الشكل. إنه مواز للمتجه ﻫ، لكنه يمتد في اتجاه معاكس له.

على أي حال، نحن الآن جاهزون لحساب المتجه ﺏ واحد ﺏ اثنين. هذا المتجه يساوي الصورة المتجهة للفرق بين إحداثيات النقطة اثنين والنقطة واحد. وبهذا يكون الناتج سالب ستة، سالب ستة، سالب اثنين. والآن بعد أن أصبح لدينا المتجه ﺏ واحد ﺏ اثنان، وكذلك المتجه ﻫ الموازي للخطين، يمكننا المضي قدمًا لحساب ﻝ.

خطوتنا التالية هي حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺏ واحد ﺏ اثنين في ﻫ. وهذا يساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة؛ حيث يوجد في الصف الأول متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، بينما يحتوي الصفان الثاني والثالث على المركبات المناظرة لـ ﺏ واحد ﺏ اثنين، وﻫ. المركبة ﺱ لهذا المتجه تساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين؛ أي سالب أربعة، في حين أن المركبة ﺹ تساوي سالب محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. وهذا يساوي سالب ستة مضروبًا في اثنين ناقص سالب اثنين مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يعطينا إجمالًا سالب ستة. وأخيرًا: لدينا المركبة ﻉ التي تساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. وهو ما يساوي سالب ستة. هذا إذن هو حاصل الضرب الاتجاهي. ويمكننا كتابة ذلك على صورة متجه له المركبات سالب أربعة، ستة، سالب ستة.

بمعلومية ذلك، نكون مستعدين أخيرًا لحساب معيار حاصل الضرب الاتجاهي هذا وقسمته على معيار المتجه ﻫ. معيار ﺏ واحد ﺏ اثنين ضرب اتجاهي ﻫ يساوي الجذر التربيعي لسالب أربعة تربيع زائد ستة تربيع زائد سالب ستة تربيع، ومعيار ﻫ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع زائد اثنين تربيع. بإدخال هذا المقدار بأكمله في الآلة الحاسبة، لأقرب جزء من مائة، نحصل على ١٫٧٤. إذن هذه هي المسافة تحديدًا، أصغر مسافة بين هذين الخطين المتوازيين.