في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب المسافة العمودية بين نقطة وخط مستقيم، أو بين خطين مستقيمين متوازيين في الفضاء باستخدام صيغة.
في البداية، نتذكَّر أن خطًّا مستقيمًا منفردًا يُحدِّد بشكل مميَّز في الفضاء؛ سواء كان يمر عبر نقطة ثابتة معلومة وكان اتجاهه معلومًا، كما في الشكل ١ الآتي، أو كان المستقيم يمر بنقطتين ثابتتين معلومتين، كما في الشكل ٢.
في الحالة الأولى، يمر المستقيم، الذي له متجه الاتجاه ، بالنقطة ، التي لها متجه الموضع . إذا كان هو أي نقطة تقع على هذا المستقيم، وكان هو متجه الموضع للنقطة ، فإن: هو معادلة متجه المستقيم. في هذه الحالة، يكون كمية قياسية، وتُعطينا كلٌّ من قيم متجه موضع نقطة واحدة مميَّزة على المستقيم. بالتوسُّع أكثر في هذا الأمر، تذكَّر أنه يمكننا التعبير عن معادلة المستقيم في ثلاثة أبعاد بالطرق الآتية.
تعريف: صور معادلة مستقيم في ثلاثة أبعاد
بوجه عام، يمكننا كتابة معادلة المستقيم الموازي لمتجه الاتجاه (حيث ، ، متجهات الوحدة في الاتجاهات ، ، )، ويمر بالنقطة ، على الصور الآتية:
النقطة التي إحداثياتها هي واحدة من عدد لا نهائي من النقاط التي تقع على المستقيم، ويُطلَق على كلٍّ من ، ، نسب الاتجاه.
في الحالة الثانية (الشكل ٢)، التي يمر بها مستقيم بنقطتين ثابتتين معلومتين ، ، ومتجها موضعيهما ، ، يُعطى متجه اتجاه هذا المستقيم من خلال . ويعني هذا أن:
وبذلك تكون نسب الاتجاه ، وباستخدام إما وإما نقطةً ثابتةً، يمكننا أن نكتب المستقيم مرة أخرى على الصور المتجهة، أو البارامترية، أو الكارتيزية.
في الفضاء الثلاثي الأبعاد، يمكننا استخدام خاصية الضرب الاتجاهي بين المتجهات لحساب المسافة العمودية.
نظرية: الضرب الاتجاهي بين المتجهات
لأيِّ متجهين ثلاثيَّي الأبعاد ، ، يكون: هو مساحة متوازي الأضلاع الذي يكوِّنه المتجهان ، .
علينا إيجاد المسافة العمودية بين النقطة والمستقيم .
يُعطى اتجاه المستقيم من خلال ، ويُعطينا المتجه نقطة على المستقيم الذي سنُطلِق عليه . يمكننا بعد ذلك رسم متوازي أضلاع، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
هناك طريقتان لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع. أولًا، يمكننا تمثيل الضلعين غير المتوازيين بأنهما المتجهان ، ؛ ومن ثَمَّ، تساوي مساحة متوازي الأضلاع مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين:
ثانيًا، يمكننا أيضًا إيجاد هذه المساحة بتذكُّر أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي طول القاعدة مضروبًا في ارتفاعه العمودي.
باعتبار أننا نضيف المسافة العمودية، ، من النقطة إلى المستقيم في الشكل، نجد أن يمكن أن يمثِّل قاعدة متوازي الأضلاع، ويمكن أن يمثِّل الارتفاع المناظر للقاعدة ؛ إذن نحصل على:
بمساواة هذين المقدارين لمساحة متوازي الأضلاع، نحصل على:
يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل في طرف بمفرده:
نلخِّص صيغة إيجاد المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم.
نظرية: صيغة ثلاثية الأبعاد للمسافة بين نقطة ومستقيم
تُعطى المسافة العمودية، ، بين النقطة ومستقيم له متجه الاتجاه من خلال الصيغة: حيث أي نقطة تقع على المستقيم.
تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا إثبات أن هذه هي أقصر مسافة بين أي نقطة وأي مستقيم. إذا اخترنا نقطة على المستقيم ، فيمكننا أن نرسم دائمًا المستقيم العمودي الآتي:
يمكننا أن نلاحظ أن وتر المثلث القائم الزاوية، الذي سيكون أطول من المسافة العمودية.
وبما أن هذه هي أقصر مسافة بين نقطة ومستقيم في ثلاثة أبعاد، إذن نشير إليها على أنها المسافة بين نقطة ومستقيم في ثلاثة أبعاد.
نتناول بعض الأمثلة على كيفية تطبيق هذه الصيغة لإيجاد المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم في ثلاثة أبعاد.
مثال ١: إيجاد طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم
خط مستقيم يمر بالنقطة في اتجاه المتجه . أوجد المسافة بين والنقطة ، لأقرب جزء من مائة.
الحل
نريد إيجاد المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم. يمكننا فعل ذلك بتذكُّر النتيجة الآتية.
المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم الذي له متجه الاتجاه ، مُعطاة من خلال: حيث أي نقطة على المستقيم.
في هذه الحالة، ، ، . لإيجاد المسافة العمودية، علينا أولًا تحديد .
نبدأ بإيجاد :
يمكننا استخدام هذه القيمة لحساب حاصل الضرب الاتجاهي:
وبعد ذلك، يمكننا حساب معيار هذا المتجه:
وأخيرًا، تُعطى المسافة العمودية من خلال:
وبالتقريب لأقرب جزء من مائة، نحصل على:
ومن ثَمَّ، فإن المسافة العمودية بين النقطة والمستقيم المار بالنقطة في اتجاه المتجه تساوي ٤٫٩٨ وحدات طول، لأقرب جزء من مائة.
مثال ٢: إيجاد طول العمودي المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم
أوجد طول العمودي المرسوم من النقطة إلى الخط المستقيم ، لأقرب جزء من مائة.
الحل
نريد إيجاد المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم. يمكننا فعل ذلك بتذكُّر النتيجة الآتية.
تُعطى المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم الذي له متجه الاتجاه من خلال: حيث أي نقطة تقع على المستقيم.
نتذكَّر أيضًا أن المستقيم مُعطى في الصورة المتجهة ، ويمر بالنقطة التي لها متجه الموضع ومتجه الاتجاه .
في هذه الحالة، ، ، . لإيجاد المسافة العمودية، علينا أولًا تحديد .
نبدأ بإيجاد :
يمكننا استخدام هذه القيمة لحساب حاصل الضرب الاتجاهي:
وبعد ذلك، يمكننا حساب معيار هذا المتجه:
وأخيرًا، تُعطى المسافة العمودية من خلال:
بالتقريب لأقرب جزء من مائة، نحصل على:
إذن المسافة العمودية بين النقطة والخط المستقيم تساوي ١٣٫٦٤ وحدة طول، لأقرب جزء من مائة.
نتناول مثالًا نحتاج فيه إلى إيجاد المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم أُعطيت معادلته في الصورة الكارتيزية.
مثال ٣: تحديد طول العمودي المرسوم من نقطة معيَّنة إلى خط مستقيم
أوجد طول العمودي المرسوم من النقطة إلى الخط المستقيم ، لأقرب جزء من مائة.
الحل
نريد إيجاد طول العمودي المرسوم بين نقطة ومستقيم أُعطيت معادلته في الصورة الكارتيزية. للقيام بذلك، نتذكَّر أولًا الصيغة الآتية.
يمكن إيجاد المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم الذي له متجه الاتجاه ، باستخدام الصيغة: حيث أي نقطة على المستقيم.
ومن ثَمَّ، يمكننا حساب المسافة العمودية من خلال إيجاد نقطة على المستقيم ومتجه اتجاهه. يمكننا ملاحظة متجه الاتجاه من مقامات معادلة المستقيم بأنه . يمكننا حل كل جزء من المعادلة يساوي صفرًا لإيجاد نقطة على المستقيم، ويُعطينا هذا النقطة .
وبما أننا نعلم من معطيات السؤال، إذن يمكننا إيجاد :
إذن حاصل الضرب الاتجاهي بين المتجه، يساوي:
يمكننا استخدام هذه القيمة لحساب المسافة العمودية بين النقطة والمستقيم:
وأخيرًا، بالتقريب لأقرب جزء من مائة، نحصل على:
ومن ثَمَّ، تمكنا من إيجاد أقصر مسافة بين النقطة والخط المستقيم ، والتي تساوي ١٤٫١٩، بالتقريب لأقرب جزء من مائة.
في المثال التالي، نرى كيف نطبِّق هذه الصيغة بمعلومية نقطتين مختلفتين على المستقيم بدلًا من معادلته.
مثال ٤: إيجاد المسافة العمودية من نقطة مُعطاة إلى خط مستقيم يمر بنقطتين مُعطاتين
أوجد المسافة العمودية من النقطة إلى المستقيم المار بالنقطتين و، لأقرب جزء من عشرة.
الحل
تذكَّر أنه يمكن إيجاد المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم الذي له متجه الاتجاه ، باستخدام الصيغة: حيث أي نقطة تقع على المستقيم.
علينا إيجاد متجه اتجاهه. إذا قمنا بتسمية ، ، فسيمكننا إيجاد متجه اتجاه هذا المستقيم من إحداثيات هاتين النقطتين:
وباختيارنا للنقطة نحصل على: حيث:
وبإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي، نحصل على:
إذن:
ومن ثَمَّ، فإن:
في المثال السابق، أوجدنا المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم بمعلومية نقطتين عليه. تُعطينا الطريقة المستخدَمة في هذا المثال الصيغة الآتية للمسافة العمودية.
المسافة بين نقطة ومستقيم بمعلومية نقطتين عليه
تُعطى المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم الذي يمر بالنقطتين المختلفتين ، ، من خلال:
تكافئ هذه الصيغة تلك الصيغة التي توصَّلنا إليها سابقًا للمسافة بين نقطة ومستقيم باستخدام معادلة المستقيم. يمكننا معرفة ذلك من خلال ملاحظة أن المتجه هو في الواقع متجه اتجاه هذا المستقيم. لذا، فإن التعويض عن بمتجه الاتجاه يعيدنا إلى الصيغة السابقة.
في المثال الأخير، سنرى كيف يمكننا توسيع نطاق هذه العملية ليشمل إيجاد المسافة بين مستقيمين متوازيين.
مثال ٥: إيجاد المسافة بين خطين مستقيمين متوازيين
أوجد المسافة بين الخطين المستقيمين المتوازيين ، ، لأقرب جزء من مائة.
الحل
لإيجاد المسافة بين المستقيمين ، ، علينا أولًا تحديد ما يعنيه هذا بالضبط. نفكِّر في المسافة بين نقطتين اختياريتين تقع كلٌّ منهما على مستقيم، نفترض أنهما ، ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
يمكننا رؤية أن هذه ليست أقصر مسافة بين هذين المستقيمين من خلال رسم المثلث القائم الزاوية الآتي:
فالقطعة المستقيمة هي وتر المثلث القائم الزاوية، إذن هي أطول من المسافة العمودية بين المستقيمين، . ولأن اختيار النقطتين ، كان عشوائيًّا، يمكننا ملاحظة أن ستكون أقصر من المسافة بين أي نقطتين تقعان على المستقيمين.
نلاحظ أنه نظرًا لأن المستقيمين متوازيان، تظل المسافة العمودية كما هي. ومن ثَمَّ، يمكننا حساب هذه المسافة العمودية في أي مكان على المستقيمين. وإذا اخترنا عشوائيًّا النقطة على المستقيم ، فإن المسافة العمودية بين النقطة والمستقيم ستكون هي نفسها أقصر مسافة بين المستقيمين ، .
نتذكَّر الصيغة الآتية للمسافة العمودية بين نقطة ومستقيم. يمكن إيجاد المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم الذي له متجه الاتجاه ، باستخدام الصيغة: حيث أي نقطة تقع على المستقيم.
يمكننا اعتبار أن كل جزء من معادلة المستقيم يساوي صفرًا لإيجاد أن النقطة تقع على المستقيم . كما يمكننا اعتبار أن كل جزء من معادلة المستقيم يساوي صفرًا لإيجاد أن النقطة تقع على المستقيم . يُعطى متجه اتجاه كلا المستقيمين من خلال مقامَي معادلتيهما الكارتيزيتين: .
لإيجاد المسافة العمودية، علينا إيجاد :
وبعد ذلك، نُوجِد حاصل الضرب الاتجاهي بين المتجه ومتجه الاتجاه:
وأخيرًا، تُعطى المسافة العمودية بين المستقيمين المتوازيين من خلال:
وبالتقريب لأقرب جزء من مائة، نحصل على:
إذن المسافة بين المستقيمين ، تساوي ١٨٫٠٣ وحدة طول، لأقرب جزء من مائة.
نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط المهمة.
النقاط الرئيسية
- المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم هي أقصر مسافة بين هذين الجسمين.
- في ثلاثة أبعاد، المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم الذي له متجه الاتجاه ، تُعطى من خلال: حيث أي نقطة تقع على المستقيم.
- في ثلاثة أبعاد، المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم المار بالنقطتين المختلفتين ، ، تُعطى من خلال:
- يمكننا إيجاد المسافة العمودية بين مستقيمين متوازيين مختلفين من خلال إيجاد المسافة العمودية بين أحد المستقيمين وأي نقطة على المستقيم الآخر.
