فيديو الدرس: المسافة العمودية بين النقاط والخطوط المستقيمة في الفضاء الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب المسافة العمودية بين نقطة وخط مستقيم أو بين خطين مستقيمين متوازيين في الفضاء باستخدام صيغة.

٢٣:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب المسافة العمودية بين نقطة وخط مستقيم أو بين خطين مستقيمين متوازيين في الفضاء باستخدام صيغة. وكما سنرى، يمكننا استخدام الصيغة نفسها في كلتا الحالتين.

في البداية، دعونا نتناول الحالة الأولى، وهي إيجاد المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم. إذا كانت هذه هي النقطة وهذا هو المستقيم، فستبدو تلك المسافة بهذا الشكل، ويمكننا تسميتها ﻑ. من أجل الحل لإيجاد قيمة ﻑ، سنحتاج إلى معرفة ثلاث معلومات. أولًا، علينا معرفة إحداثيات النقطة الموجودة في الفضاء. وسنسمي هذه النقطة ﺃ. سنحتاج أيضًا إلى معرفة إحداثيات نقطة ما على المستقيم. قد تكون في أي موضع على المستقيم، وسنسميها النقطة ﺏ. وأخيرًا، سنحتاج إلى معرفة مركبات متجه مواز للمستقيم، وسنسمي هذا المتجه ﻫ.

في حالتنا هذه، سنفترض أن هذه النقطة هي النقطة ﺃ، ولنفترض أننا نعرف أيضًا نقطة ما على المستقيم. وكما قلنا، يمكن أن تكون موجودة في أي موضع على المستقيم. وأخيرًا، سنفترض أيضًا أننا نعرف مركبات متجه، أسميناه ﻫ، موازيًا للخط المستقيم الموجود لدينا. بمجرد معرفة هذه الأشياء، يمكننا الحل لإيجاد أقصر مسافة، وهي المسافة العمودية، بين النقطة والمستقيم. فيما يلي الطريقة التي يمكننا بها فعل ذلك. في البداية، سنرسم متجهًا يمتد من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ. وسنسمي هذا المتجه ﺃﺏ. لاحظ كيف يشكل كل من المتجه ﺃﺏ والمتجه ﻫ ضلعين في شكل متوازي الأضلاع. إذا أسمينا مساحة متوازي الأضلاع هذا ﻡ، يمكننا القول إن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﻫ يساوي هذه المساحة.

والآن، في الرسم أمامنا، يوجد أمر مثير للاهتمام. إذا أخذنا المسافة العمودية ﻑ وأسقطناها بحيث تلامس طرف نهاية المتجه ﻫ، فإن هذه المسافة ﻑ مضروبة في معيار المتجه ﻫ ستعطينا مساحة هذا المستطيل. ومساحة هذا المستطيل المحدد باللون البرتقالي ومساحة متوازي الأضلاع المحدد باللون الوردي متساويتان. إذن، صار بإمكاننا القول ليس فقط إن معيار ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﻫ يساوي ﻡ، بل يمكننا أيضًا القول إن ﻑ في معيار المتجه ﻫ نفسه يساوي ﻡ. ذلك يعني أنه يمكننا كتابة هذه المعادلة هنا. وإذا قسمنا كلا الطرفين على معيار المتجه ﻫ، وحذفنا ذلك العامل من الطرف الأيمن، فسنحصل على هذا التعبير الذي يمثل المسافة العمودية ﻑ. وكما رأينا، فإن المعلومات الثلاثة التي علينا معرفتها لإيجاد قيمة ﻑ هي نقطة ما في الفضاء، ونقطة ما على المستقيم ومتجه مواز للمستقيم.

بعد أن عرفنا هذا، سنتناول الآن حالة مختلفة نعرف فيها كيف نوجد المسافة العمودية بين خطين مستقيمين متوازيين. الجيد في هذا الأمر هو مدى تشابه هذه الحالة مع الحالة السابقة. مرة أخرى، لإيجاد قيمة ﻑ، علينا أن نعرف ثلاثة أشياء؛ نقطة ما على المستقيم واحد، وسنسميها ﺏ، ونقطة على المستقيم اثنين، وسنسميها ﺃ، وسنحتاج أيضًا إلى متجه مواز للخطين المستقيمين. بمعرفة كل هذا، يمكننا مرة أخرى تحديد متجه من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ واستخدامه والمتجه ﻫ في المعادلة للحل لإيجاد قيمة ﻑ. أفضل طريقة لتعلم ذلك كله هي بالتدرب. سنلقي نظرة على مثال الآن.

أوجد المسافة العمودية من النقطة سالب ثلاثة، سالب أربعة، صفر إلى المستقيم المار بالنقطتين؛ واحد، ثلاثة، واحد؛ وأربعة، ثلاثة، اثنين، لأقرب منزلة عشرية واحدة.

حسنًا، لدينا هنا هاتان النقطتان في الفضاء، وإحداثياتهما هي واحد، ثلاثة، واحد؛ وأربعة، ثلاثة، اثنان. وعرفنا أن مستقيمًا يمر بهاتين النقطتين. إلى جانب ذلك، توجد نقطة ثالثة نعرف إحداثياتها. ونريد الحل لإيجاد المسافة العمودية بين هذه النقطة الثالثة والمستقيم. سنسمي هذه المسافة ﻑ.

لكي نبدأ الحل، يمكننا تذكر معادلة المسافة العمودية بين مستقيم ونقطة في الفضاء. ولإجراء هذه العملية الحسابية، سنحتاج إلى معرفة إحداثيات نقطة ما في الفضاء؛ وهي معلومة لدينا بالفعل، وإحداثيات نقطة تقع على المستقيم، ونحن بالفعل نعلم إحداثيات نقطتين. لكن آخر ما نحتاج إليه لاستخدام هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻑ هو مركبات متجه مواز للمستقيم. وهذه المعلومة ليست ضمن المعطيات لدينا.

لكن لاحظ أنه إذا رسمنا متجهًا من إحدى النقاط المعطاة على المستقيم إلى النقطة الأخرى، فإن هذا المتجه سيكون موازيًا للخط المستقيم، وسيكون بإمكاننا استخدامه في المعادلة للحل لإيجاد قيمة ﻑ. إذا أسمينا هذا المتجه ﻫ، يمكننا أن نرى أن مركباته تساوي إحداثيات النقطة الأولى على المستقيم، واحد، ثلاثة، واحد، ناقص إحداثيات النقطة الثانية. ما سنحصل عليه هو متجه له المركبات سالب ثلاثة، صفر، سالب واحد. والآن، بعد أن عرفنا المتجه ﻫ الذي سنستخدمه في معادلة إيجاد ﻑ، دعونا ننظر إلى هذا المتجه ﺃﺏ. ‏‏ﺃ الموجودة هنا هي نقطة في فضاء ثلاثي الأبعاد، وﺏ هي نقطة تقع في موضع ما على المستقيم.

لنفترض أننا سنختار النقطة واحد، ثلاثة، واحد الواقعة على المستقيم لدينا لتكون النقطة ﺏ. هذا يعني أن المتجه ﺃﺏ سيبدو بهذا الشكل. ويمكننا الحل لإيجاد مركبات هذا المتجه بنفس الطريقة التي استخدمناها لإيجاد مركبات المتجه ﻫ. سنطرح إحداثيات النقطة ﺃ من إحداثيات النقطة ﺏ. وسنجد أن للمتجه ﺃﺏ المركبات أربعة، سبعة، واحد. أصبح لدينا الآن جميع المعلومات اللازمة للبدء في حساب المسافة العمودية. سنبدأ بحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﻫ. ذلك يساوي محدد هذه المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. الصف الأول الموجود أمامنا هنا هو متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ. أما الصفان الثاني والثالث فيمثلان مركبات المتجهين ﺃﺏ وﻫ على الترتيب.

بحساب كل مركبة تلو الأخرى، نحصل على ﺱ في سالب سبعة ناقص ﺹ في سالب واحد زائد ﻉ في ٢١. يمكننا أيضًا كتابة هذا الجزء على صورة متجه بالمركبات سبعة، سالب واحد، سالب ٢١. هذه إذن هي مركبات حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﻫ. والآن، يمكننا أخذ معيار حاصل الضرب الاتجاهي هذا وقسمته على معيار المتجه ﻫ. معيار ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﻫ يساوي الجذر التربيعي لسبعة تربيع زائد سالب واحد تربيع زائد سالب ٢١ تربيع. بعد ذلك، سنقسم هذا الناتج على معيار ﻫ، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لسالب ثلاثة تربيع زائد صفر تربيع زائد سالب واحد تربيع. بإدخال هذا المقدار على الآلة الحاسبة، وتقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية واحدة، نحصل على ٧٫٠. إذن، الإجابة النهائية هي أن المسافة العمودية من النقطة المعطاة إلى المستقيم المعطى تساوي ٧٫٠ وحدات طول.

هيا نلقي نظرة على مثال آخر نوجد فيه أقصر مسافة بين نقطة ومستقيم.

أوجد، لأقرب جزء من مائة، طول العمودي المرسوم من النقطة سالب خمسة، سالب سبعة، سالب ١٠ إلى الخط المستقيم ﺱ زائد ثمانية على اثنين يساوي ﺹ ناقص تسعة على ثمانية يساوي ﻉ زائد سبعة على سالب ثمانية.

حسنًا، لدينا هنا هذه النقطة المعلومة في الفضاء، ونعلم كذلك أنه يوجد مستقيم يمتد في الفضاء. ونريد معرفة طول الخط العمودي المرسوم من المستقيم إلى النقطة. سنسمي هذا الطول ﻑ. يمكننا أن نتذكر أن ﻑ يعطى بهذا التعبير؛ حيث ﻫ وﺃﺏ متجهان. الشرط في تعريف المتجه ﻫ هو أن يوازي المستقيم المعطى. أما المتجه ﺃﺏ، فهو متجه يمتد من النقطة المعطاة لنا في الفضاء، وسنسمي هذه النقطة ﺃ، إلى نقطة تقع في أي موضع على المستقيم لدينا. وسنسمي هذه النقطة ﺏ. هكذا إذن سيبدو هذا المتجه. إننا نعرف أنه للحل لإيجاد المسافة ﻑ، سنحتاج إلى معرفة مركبات متجه مواز للمستقيم، وإحداثيات نقطة على المستقيم، وإحداثيات نقطة في الفضاء.

علمنا من السؤال إحداثيات النقطة ﺃ. وللحل لإيجاد قيمتي ﻫ وﺏ، سنستخدم معادلة الخط المستقيم المعطى هنا. ما نريد فعله هو تحويل صورة هذه المعادلة إلى ما يسمى بالصورة المتجهة. هذا لأن المعادلة معطاة لنا على الصورة الإحداثية. ويمكننا كتابتها بهذه الطريقة لأن هذه الكسور الثلاثة كلها تساوي عامل المقياس الذي يمكن أن نسميه ﻙ. هذا يعني أنه يمكننا كتابة معادلات منفصلة للإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ للمستقيم. على سبيل المثال، بما أن ﺱ زائد ثمانية على اثنين يساوي ﻙ، إذن ﺱ يجب أن يساوي اثنين في ﻙ ناقص ثمانية. وبالمثل، بما أن ﺹ ناقص تسعة على ثمانية يساوي ﻙ، فيمكننا القول إن ﺹ يساوي ثمانية ﻙ زائد تسعة. وأخيرًا، ﻉ زائد سبعة على سالب ثمانية يساوي ﻙ يعني أن ﻉ يساوي سالب ثمانية ﻙ ناقص سبعة.

والآن، صار التعبير الممثل للمستقيم معطى على الصورة البارامترية. وبإجراء بعض التغييرات البسيطة، سيكون بإمكاننا كتابة هذا الجزء على الصورة المتجهة. إذا جمعنا معادلات ﺱ وﺹ وﻉ معًا، يمكننا القول إن المركبات ﺱ وﺹ وﻉ للخط المستقيم تساوي المتجه سالب ثمانية، تسعة، سالب سبعة زائد عامل المقياس ﻙ في المتجه اثنين، ثمانية، سالب ثمانية. وإذا جمعنا المركبات ﺱ وﺹ وﻉ في متجه واحد سنسميه ﺭ، فسيكون ﺭ مساويًا للمتجه سالب ثمانية، تسعة، سالب سبعة زائد عامل المقياس ﻙ في المتجه اثنين، ثمانية، سالب ثمانية.

المتجه الأول في المعادلة هو متجه يمتد من نقطة الأصل في نظام الإحداثيات إلى نقطة على المستقيم. وبذلك نستنتج أن النقطة ذات الإحداثيات سالب ثمانية، تسعة، سالب سبعة تقع على المستقيم الموجود لدينا. ومن ثم، سيكون هذا المتجه الذي نضربه في ﻙ هنا هو متجهًا يمتد بطول المستقيم. إنه، بعبارة أخرى، متواز معه.

كل هذا يعني أننا نعرف مركبات المتجه الموازي للمستقيم وإحداثيات نقطة واقعة عليه. المتجه ﻫ له المركبات اثنان، ثمانية، سالب ثمانية، وإحداثيات النقطة ﺏ هي سالب ثمانية، تسعة، سالب سبعة. بمعلومية هذا، يمكننا الآن تعريف مركبات المتجه ﺃﺏ في حالتنا هذه. إنها تساوي إحداثيات النقطة ﺏ ناقص إحداثيات النقطة ﺃ. بذلك، نحصل على متجه له المركبات؛ سالب ثلاثة، ١٦، ثلاثة.

الآن وبعد أن عرفنا مركبات ﻫ وﺃﺏ، أصبحنا مستعدين لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين. ذلك يساوي محدد هذه المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. في الصف الأول هنا، لدينا متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، وفي الصفين الثاني والثالث، لدينا المركبات المناظرة للمتجهين ﺃﺏ وﻫ، على الترتيب. هذا يساوي ﺱ في سالب ١٥٢ ناقص ﺹ في ١٨ زائد ﻉ في سالب ٥٦، أو بعبارة أخرى، يساوي متجهًا مركباته سالب ١٥٢، سالب ١٨، سالب ٥٦.

نحن الآن مستعدون لحساب معيار حاصل الضرب الاتجاهي هذا، ثم قسمته على معيار المتجه ﻫ. معيار ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﻫ يساوي الجذر التربيعي لسالب ١٥٢ تربيع زائد سالب ١٨ تربيع زائد سالب ٥٦ تربيع. ثم نقسم ذلك على معيار ﻫ، وهو يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد ثمانية تربيع زائد سالب ثمانية تربيع. عندما نحسب قيمة هذا الكسر بأكمله، سيكون الناتج لأقرب جزء من مائة هو ١٤٫١٩. هذا هو طول العمودي المرسوم من النقطة المعطاة إلى المستقيم المعطى.

لنتناول الآن مثالًا نحسب فيه المسافة بين خطين مستقيمين متوازيين.

أوجد المسافة بين الخطين المستقيمين المتوازيين ﺏ واحد: ﺱ زائد سبعة على تسعة يساوي ﺹ زائد واحد على خمسة يساوي ﻉ ناقص سبعة على سالب ستة، وﺏ اثنين: ﺱ زائد ثلاثة على تسعة يساوي ﺹ زائد ١٠ على خمسة يساوي ﻉ زائد ١٠ على سالب ستة، لأقرب جزء من مائة.

حسنًا، لدينا هنا هذان الخطان المستقيمان المتوازيان؛ ﺏ واحد وﺏ اثنين. المطلوب منا في السؤال هو إيجاد المسافة بينهما؛ أي أقصر مسافة أو المسافة العمودية بين هذين الخطين. لنسم هذه المسافة ﻑ، ويمكننا هنا أن نتذكر العلاقة الرياضية لهذه المسافة. ما نريد معرفته هو مركبات متجه، أسميناه ﻫ، مواز للخطين المستقيمين. علينا أيضًا معرفة مركبات المتجه ﺃﺏ الذي يمتد من نقطة على المستقيم الثاني إلى نقطة على المستقيم الأول. إذن، يمكننا القول إنه لإيجاد قيمة ﻑ، علينا معرفة إحداثيات النقطتين ﺃ وﺏ ومركبات المتجه ﻫ.

لإيجاد هذه المعلومات، هيا نلقي نظرة على معادلتي المستقيمين واحد واثنين المعطيين. بالبدء بالمستقيم الأول، نجده معطى بما يسمى بالصورة الإحداثية. يمكننا أن نكتب هذه الكسور الثلاثة على صورة تعبيرات متساوية لأنها تساوي عامل المقياس نفسه. يمكننا تسميته ﻙ واحد. وبما أن هذه الكسور الثلاثة كلها تساوي ﻙ واحد، إذن يمكننا كتابة معادلات منفصلة للإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ للمستقيم ﺏ واحد. هذا يعني أنه بما أن ﺱ زائد سبعة مقسومًا على تسعة يساوي ﻙ واحد، فيمكننا كتابة المعادلة ﺱ يساوي تسعة في ﻙ واحد ناقص سبعة. وبالمثل، بما أن ﺹ زائد واحد مقسومًا على خمسة يساوي ﻙ واحد، فإن ﺹ يساوي خمسة في ﻙ واحد ناقص واحد. وكذلك ﻉ ناقص سبعة على سالب ستة يساوي ﻙ واحد يعني أن ﻉ يساوي سالب ستة ﻙ واحد زائد سبعة.

المستقيم ﺏ واحد مكتوب الآن على الصورة البارامترية. يمكننا تجميع هذه المعادلات الثلاثة المنفصلة في معادلة متجهة واحدة. المتجه الذي له المركبات ﺱ‏، ﺹ‏، ﻉ يساوي المتجه سالب سبعة، سالب واحد، سبعة زائد عامل المقياس ﻙ واحد في المتجه تسعة، خمسة، سالب ستة.

والآن، إذا أخذنا المركبات ﺱ وﺹ وﻉ وكتبناها على صورة المتجه ﺭ، نجد أن هذا يساوي المتجه سالب سبعة، سالب واحد، سبعة زائد ﻙ واحد في المتجه تسعة، خمسة، سالب ستة. هذا المتجه الأول هو متجه يمتد من نقطة الأصل لنظام الإحداثيات إلى نقطة ما على المستقيم ﺏ واحد. وهذا يعني أن النقطة ذات الإحداثيات سالب سبعة، سالب واحد، سبعة تقع على ﺏ واحد. أما المتجه الثاني، فهو متجه يمتد بطول محور هذا المستقيم. ذلك يعني أنه مواز للمستقيم. وبذلك، يمكننا القول إن هذا هو المتجه ﻫ.

حسنًا، لدينا حتى الآن مركبات متجه مواز للمستقيمين. ولدينا أيضًا إحداثيات نقطة على المستقيم الأول. لإيجاد إحداثيات نقطة على المستقيم الثاني، دعونا نلقي نظرة على معادلة ذلك المستقيم. مرة أخرى، هذه المعادلة معطاة لنا على الصورة الإحداثية. ذلك يعني أنه يمكننا القول إن كل كسر من هذه الكسور يساوي معامل قياس آخر سنسميه ﻙ اثنين. إذا كتبنا معادلات منفصلة مرة أخرى لكل من ﺱ وﺹ وﻉ، فسنجد أن ﺱ يساوي تسعة ﻙ اثنين ناقص ثلاثة، وﺹ يساوي خمسة ﻙ اثنين ناقص ١٠، وﻉ يساوي سالب ستة ﻙ اثنين ناقص ١٠.

مرة أخرى، يمكننا كتابة هذه المعادلات البارامترية على صورة معادلة متجهة واحدة. متجه له المركبات ﺱ‏، ﺹ‏، ﻉ يساوي المتجه سالب ثلاثة، سالب ١٠، سالب ١٠ زائد ﻙ اثنين في المتجه تسعة، خمسة، سالب ستة. وبكتابته بهذه الطريقة، نعلم أن هذا المتجه يمتد من نقطة الأصل للنظام الإحداثي إلى نقطة على المستقيم ﺏ اثنين. ومن هذا نعرف أن إحداثيات هذه النقطة هي ببساطة مركبات المتجه. إذن، يمكننا أن نكتب أن إحداثيات النقطة التي أسميناها ﺃ هي سالب ثلاثة، سالب ١٠، سالب ١٠. في الخطوة التالية، سنستخدم إحداثيات النقطتين ﺏ وﺃ للحل لإيجاد المتجه ﺃﺏ. وهو المتجه الذي تساوي مركباته الفرق بين إحداثيات النقطة ﺏ وإحداثيات النقطة ﺃ. وعليه، نستنتج أن للمتجه ﺃﺏ المركبات سالب أربعة، تسعة، ١٧.

يمكننا الآن المتابعة بحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﻫ. وذلك يساوي محدد هذه المصفوفة. لاحظ أن كل عمود يحتوي على مركبة من المركبات ﺱ وﺹ وﻉ للمتجهين المعرفين لدينا. وبحساب حاصل الضرب الاتجاهي هذا، نجد أن لدينا ﺱ في سالب ١٣٩ ناقص ﺹ في سالب ١٢٩ زائد ﻉ في سالب ١٠١. وهكذا، يمكننا كتابة هذه النتيجة على صورة متجه بالمركبات سالب ١٣٩، موجب ١٢٩، سالب ١٠١. الآن وبعد أن عرفنا قيمة ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﻫ، أصبحنا مستعدين لحساب معيار حاصل الضرب الاتجاهي هذا وقسمته على معيار المتجه ﻫ.

معيار ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﻫ يساوي الجذر التربيعي لسالب ١٣٩ تربيع زائد ١٢٩ تربيع زائد سالب ١٠١ تربيع. سنقسم هذا على معيار ﻫ، الذي يساوي الجذر التربيعي لتسعة تربيع زائد خمسة تربيع زائد سالب ستة تربيع. بحساب قيمة هذا الكسر بأكمله، لأقرب جزء من مائة، نحصل على الإجابة ١٨٫٠٣. إذن، يمكننا القول إن المسافة بين هذين الخطين المستقيمين المتوازيين تساوي ١٨٫٠٣ وحدة طول.

لنختتم هذا الدرس الآن بتلخيص بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، عرفنا أنه إذا كانت لدينا نقطة ومستقيم في الفضاء، فإن المسافة العمودية بينهما تعطى بهذا التعبير. ‏ﺃﺏ هو متجه يمتد من النقطة ﺃ في الفضاء إلى النقطة ﺏ على المستقيم المعني، وﻫ هو متجه مواز لهذا الخط المستقيم. عرفنا أيضًا أنه إذا كان لدينا خطان مستقيمان متوازيان في الفضاء، فإن المسافة العمودية بينهما تعطى بالتعبير نفسه. في هذه الحالة، يكون ﻫ متجهًا موازيًا لكلا المستقيمين، وﺃ نقطة على أحد المستقيمين، وﺏ نقطة على المستقيم الآخر، وﺃﺏ مرة أخرى، هو متجهًا يمتد من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.