فيديو السؤال: إيجاد عزم الازدواج الذي يكافئ نظامًا من ازدواجين يؤثران على أضلاع متوازي أضلاع الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟﺩ متوازي أضلاع، فيه ﺃﺏ يساوي ١٠ سنتيمترات، وﺏﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات، وقياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ١٥٠ درجة. تؤثر قوى مقاديرها ثلاثة، وستة، وثلاثة، وستة نيوتن في اتجاه ﺃﺏ، وﺟﺏ، وﺟﺩ، وﺃﺩ على الترتيب. أوجد عزم الازدواج الناتج.

في هذا الشكل، نرى متوازي الأضلاع هذا الذي تؤثر على كل ضلع من أضلاعه قوة واحدة. تؤثر على الضلعين العلوي والسفلي، كما يمكننا تسميتهما، قوتان متضادتان قيمة كل منهما تساوي ستة نيوتن. وبالنسبة إلى الضلعين الآخرين، تؤثر أيضًا قوتان قيمة كل منهما ثلاثة نيوتن في اتجاهين متضادين. المطلوب منا في السؤال هو إيجاد عزم الازدواج الناتج. يمكننا التفكير في هذه القوى الأربع على أنها ازدواج مركب واحد، أي كقوتين متساويتين ومتضادتين لا تقعان على خط العمل نفسه. أو يمكننا التفكير بشكل مكافئ في هذه القوى الأربع على أنها ازدواجان. في كلتا الحالتين، سنحصل على الناتج نفسه للعزم الكلي.

كمعلومة أساسية، إذا كانت لدينا قوتان متساويتان ومتضادتان، وقد أسميناهما هنا ﻕ وسالب ﻕ، وتفصل بين خطي عملهما مسافة عمودية ﻝ من محور الدوران هنا، فإننا نقول إن هاتين القوتين تشكلان ازدواجًا. يخلق هذا الازدواج عزمًا، يسمى ﺝ، حول هذا المحور. مقدار ﺝ يساوي اثنين في ﻕ في ﻝ. في بعض الأحيان، سنرى هذا الرمز في هذه المعادلة، وهو ما يخبرنا أن القوة عمودية على المسافة ﻝ. لاحظ أنه في حالة الازدواج، تساهم كل قوة بالتساوي في عزم هذا الازدواج. ومن ثم، فإننا نحسب العزم الناتج عن إحدى هاتين القوتين ونضربه في اثنين لإيجاد العزم الناتج عن الازدواج.

بالنسبة لازدواجي القوى المؤثرين على أضلاع متوازي الأضلاع، إذا استطعنا إيجاد المسافتين العموديتين بين خطوط عمل هذين الازدواجين، وقد أسمينا هاتين المسافتين هنا ﻝ ستة وﻝ ثلاثة على الترتيب، فسنتمكن من استخدام هذه المعلومات لإيجاد العزم الكلي لهذين الازدواجين. لكي نبدأ في ذلك، هيا نفرغ بعض المساحة على الشاشة. يمكننا أن نبدأ بكتابة معادلة حاكمة للعزم الكلي ﺝ الكلية الذي نريد حسابه. هذا العزم يساوي مجموع العزمين الناتجين عن ازدواج القوتين اللتين مقدار كل منهما ستة نيوتن، وازدواج القوتين اللتين مقدار كل منهما ثلاثة نيوتن.

نفكر أولًا في العزم الناتج عن ازدواج القوتين اللتين مقدار كل منهما ستة نيوتن، وبتذكر المقدار الذي يعبر عن العزم الناتج من الازدواج، نجد أن هذا العزم يساوي اثنين مضروبًا في القوة التي مقدارها ستة نيوتن مضروبًا في نصف المسافة العمودية بين خطي عمل قوتي الازدواج. يمكننا ملاحظة أن اثنين مضروبًا في نصف يساوي واحدًا. ومن ثم، يبسط مقدار هذا العزم إلى ستة في ﻝ ستة. ما قيمة المسافة ﻝ ستة إذن؟ لإيجاد قيمتها، هيا ننظر إلى هذا المثلث القائم الزاوية؛ حيث ﻝ ستة هو طول أحد الأضلاع. هذا المثلث، على أي حال، يشبه المثلث الذي فيه الضلع ﻝ ستة الذي نراه في متوازي الأضلاع لدينا، وهو ما يعني أن هذه الزاوية هنا مطابقة لهذه الزاوية في متوازي الأضلاع.

يمكننا الآن ملاحظة أن قياس الزاوية في الركن ﺏ في متوازي الأضلاع تساوي ١٥٠ درجة. ولأن هذا الشكل متوازي الأضلاع، فهذا يعني أن الزاوية في الركن ﺩ لها القياس نفسه. في الأشكال التي لها أربعة أضلاع، مثل الشكل الذي لدينا هنا، مجموع قياسات الزوايا الداخلية للأركان الأربعة يساوي ٣٦٠ درجة. وفي حين نحاول إيجاد قياس هذه الزاوية الذي لا نعرفه بعد، يمكننا أولًا ملاحظة أن قياس هذه الزاوية يساوي قياس الزاوية في الركن ﺃ. وعليه، إذا أسمينا هذه الزاوية 𝛼، يمكننا كتابة أن ٣٦٠ درجة تساوي اثنين في ١٥٠ درجة، وهذا هو قياس الزاويتين في الركنين ﺏ وﺩ، زائد اثنين في قياس الزاوية المجهولة 𝛼. اثنان في ١٥٠ درجة يساوي ٣٠٠ درجة. وإذا طرحنا ٣٠٠ درجة من كلا طرفي هذه المعادلة، فسنجد أن ٦٠ درجة تساوي اثنين في 𝛼. إذن، 𝛼 يساوي ٣٠ درجة.

بالعودة إلى المثلث القائم الزاوية، الذي فيه ﻝ ستة هو الضلع الرأسي، يمكننا القول إن الركن العلوي في هذا المثلث هو النقطة ﺩ في متوازي الأضلاع، والركن الأيمن هو النقطة ﺟ. باسترجاع نص المسألة، علمنا أن طول القطعة المستقيمة من ﺃ إلى ﺏ يساوي ١٠ سنتيمترات، وكذلك طول القطعة المستقيمة من ﺏ إلى ﺟ. وإذا كان طول القطعة المستقيمة من ﺃ إلى ﺏ يساوي ١٠ سنتيمترات، فإن القطعة المستقيمة ﺟ إلى ﺩ لها الطول نفسه، وفقًا لخواص متوازي الأضلاع. إذن، يمكننا القول إن طول وتر المثلث القائم الزاوية يساوي ١٠ سنتيمترات.

عند هذه النقطة، دعونا نتذكر قانون الجيوب. ينص هذا القانون على أنه في المثلث القائم الزاوية، تكون النسبة بين طول أي ضلع إلى جيب الزاوية المقابلة لهذا الضلع مساوية للنسبة نفسها بالنسبة إلى طول أي ضلع آخر في المثلث، وبالعودة إلى هذا المثلث القائم الزاوية، فهذا يعني أن ﻝ ستة على جا ٣٠ درجة يساوي ١٠ على جا ٩٠ درجة. بما أن جا ٩٠ درجة يساوي واحدًا، وجا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، يمكننا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في نصف، ومن ثم نجد أن ﻝ ستة يساوي خمسة. هذا العدد بوحدة السنتيمترات، وهو ما سنترك الحديث عنه حاليًّا.

إذن، لدينا قيمة ﻝ ستة للتعويض بها في المقدار ﺝ ستة. بعد ذلك، يمكننا التفكير فيما إذا كان هذا العزم سيكون موجبًا أم سالبًا وفقًا لقاعدة الإشارات. نظرًا لأن هاتين القوتين اللتين مقدار كل منهما ستة نيوتن تميلان إلى الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحور، فإن العزم الناتج عن هذا الازدواج سيكون موجبًا. بمعرفة كل ذلك، يمكننا الآن المتابعة لإيجاد قيمة ﺝ ثلاثة. هذا هو العزم الناتج عن ازدواج القوتين اللتين مقدار كل منهما ثلاثة نيوتن. وفقًا للمعادلة التي لدينا، يمكننا القول إن مقدار هذا العزم يساوي اثنين مضروبًا في ثلاثة نيوتن مضروبًا في المسافة ﻝ ثلاثة على اثنين. مرة أخرى، اثنان مضروبًا في نصف يساوي واحدًا. إذن، مقدار هذا العزم يساوي مقدار القوة مضروبًا في ﻝ ثلاثة.

مرة أخرى، يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية مماثل لهذا المثلث الموجود في الرسم الأصلي. الركن في أقصى اليمين في المثلث الجديد هو النقطة ﺃ، والركن في أقصى اليسار هو النقطة ﺩ. لاحظ أنه عندما يتعلق الأمر بهذه الزاوية الداخلية، فإن هذه الزاوية هي نفسها الزاوية الموجودة هنا في متوازي الأضلاع. بعبارة أخرى، قياس هذه الزاوية يساوي 𝛼. ونحن نتذكر أن قياس 𝛼 يساوي ٣٠ درجة. في نص المسألة، علمنا أن طول الضلع ﺏﺟ في متوازي الأضلاع يساوي ١٠ سنتيمترات. هذا يعني أن الضلع ﺃﺩ له الطول نفسه؛ وبذلك، فإن طول وتر المثلث القائم الزاوية هنا يساوي ١٠ سنتيمترات.

مرة أخرى، يمكننا استخدام قانون الجيوب لإيجاد قيمة ﻝ ثلاثة. ‏ﻝ ثلاثة على جا ٣٠ درجة يساوي ١٠ على جا ٩٠ درجة. مرة أخرى، جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، وجا ٩٠ درجة يساوي واحدًا. ومن ثم، إذا ضربنا طرفي هذه المعادلة في نصف، فسنجد أن ﻝ ثلاثة، مثل ﻝ ستة، يساوي خمسة سنتيمترات. والآن سنأخذ هذه القيمة ونعوض بها عن ﻝ ثلاثة هنا.

والآن دعونا نر إذا ما كان هذا العزم موجبًا أم سالبًا. نلاحظ أن هاتين القوتين اللتين مقدار كل منهما ثلاثة نيوتن تميلان إلى الدوران في اتجاه عقارب الساعة حول المحور. ومن ثم، وفقًا لقاعدة الإشارات، يكون هذا العزم سالبًا. هذا ما يمكننا قوله عن العزم الكلي الناتج عن هذين الازدواجين. وهو أنه يساوي خمسة في ستة ناقص ثلاثة، أو أنه يساوي ١٥. ونحن نتذكر أن وحدة القوى هنا هي النيوتن، ووحدة المسافات هي السنتيمتر. وبذلك، تكون الإجابة النهائية هي أن العزم الناتج عن هذه القوى الأربع، سواء اعتبرناها ازدواجين منفصلين أو ازدواج مركب واحد، يساوي ١٥ نيوتن سنتيمتر.