شارح الدرس: عزم الازدواج | نجوى شارح الدرس: عزم الازدواج | نجوى

شارح الدرس: عزم الازدواج الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب عزم ازدواج قوتين، ومحصِّلة ازدواجين فأكثر.

دعونا أولًا نُعرِّف الازدواج في الميكانيكا.

تعريف: الازدواج

الازدواج قوَّتان تؤثِّران على نفس الجسم، ولهما خطَّا عمل متوازيان، لكنهما غير منطبقين؛ حيث تؤثِّر القوتان في اتجاهين متضادَّيْن، ويكون لهما نفس المقدار.

بالرغم من أن مجموع القوتين يساوي صفرًا، نجد أن العزم المحصل لا يساوي صفرًا (أيْ مجموع عزمي القوتين)؛ وذلك لأن القوتين ليس لهما نفس خط العمل. دعونا نعرف كيف نحسب العزم المحصل.

لدينا القوتان 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ اللتان تؤثِّران عموديًّا على قضيب. ليكنْ 𞹟 مقدار القوتين. إذن يكون لدينا: 󰄮󰄮𞹟=󰄮󰄮𞹟،١٢ ويكون لدينا: 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=𞹟.١٢

دعونا نُوجِد عزم القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ حول النقطة 𞸀، وهي نقطة منتصف المسافة بين نقطتَيْ تأثير القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢. تذكَّر أن عزم قوة حول نقطة يُعطَى من خلال: ج=±𞹟𞸐، حيث 𞹟 مقدار القوة، 𞸐 المسافة العمودية بين القوة والنقطة التي نُوجِد العزم حولها. إذا نَتَج عن القوة دوران في اتجاه عقارب الساعة، يكون العزم سالبًا. ويكون العزم موجبًا عندما يَنتُج عن القوة دوران في عكس اتجاه عقارب الساعة.

يَنتُج عن القوتين دوران في اتجاه عقارب الساعة (سالب)، وتبعد نقطتا تأثيرهما مسافةً عموديةً تساوي 𞸐٢ عن 𞸀. لذلك نجد أن العزم في اتجاه عقارب الساعة حول 𞸀، للقوة 󰄮󰄮𞹟١ مُعطًى من خلال: ج١=𞹟𞸐٢، والعزم حول 𞸀، للقوة 󰄮󰄮𞹟٢ هو: ج٢=𞹟𞸐٢.

وعزم الازدواج المحصل يُعطَى من خلال: ججججاا=+=٢𞹟𞸐٢=𞹟𞸐.١٢

دعونا الآن نُوجِد العزم المحصل للقوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ حول 𞸁. ليكن 𞸋 هو طول القضيب. العزم حول 𞸁 للقوة 󰄮󰄮𞹟١ يكون سالبًا؛ لأن القوة 󰄮󰄮𞹟١ يَنتُج عنها دوران في اتجاه عقارب الساعة (سالب) حول 𞸁. إذن يُعطَى العزم من خلال: ج١=𞸋×𞹟.

على النقيض، يكون عزم القوة 󰄮󰄮𞹟٢ حول 𞸁 موجبًا؛ لأن 󰄮󰄮𞹟٢ يَنتُج عنها دوران في عكس اتجاه عقارب الساعة (موجب) حول 𞸁. ونجد أن: ج٢=(𞸋𞸐)×𞹟.

عزم الازدواج المحصل حول 𞸁 يُعطَى من خلال: ججججججاااا=+=𞸋𞹟+(𞸋𞸐)𞹟=𞹟(𞸋+𞸋𞸐)=𞹟𞸐.١٢

نلاحِظ أن عزم الازدواج له نفس القيمة في الحالتين. وبصورة عامة، يكون عزم الازدواج متساويًا حول أيِّ نقطة على الجسم الذي تؤثِّر عليه القوتان. وتجدر الإشارة إلى الفرق بين النقطتين أ، ب. النقطة أ تقع بين نقطتَيْ تأثير القوتين، ويَنتُج عن القوتين دوران في نفس الاتجاه. أمَّا النقطة ب فتقع خارج المنطقة بين نقطتَيْ تأثير قوتي الازدواج، ويكون عزما القوتين بإشارتين متضادتين؛ حيث يكون دوارنهما في اتجاهين متضادين.

خاصية: عزم الازدواج

لا يعتمد عزم الازدواج على النقطة التي نُوجِد حولها عزوم القُوى.

لا تؤثِّر قوَّتا الازدواج بالضرورة عموديًّا على المستقيم الواصِل بين النقطتين اللتين تؤثِّران عندهما. يوضِّح الشكل الآتي ثلاثة أمثلة لازدواجات؛ حيث لا تؤثِّر قُوى الازدواج عموديًّا على المستقيم الواصِل بين النقاط التي تؤثِّر عندها.

في هذه الحالة، لاتكون المسافة العمودية، المعروفة أيضًا بذراع العزم، التي يُرمَز إليها بالرمز 𞸋 في الشكل السابق، المسافة بين نقطتَيْ تأثير القوتين. نلاحِظ أنه في الشكلين اللذين على اليمين، يُعطَى ذراع عزم الازدواج من خلال: 𞸐𝜃. في الشكل الذي على اليسار، الذي يكون فيه قياس الزاوية 𝜃 أكبر من ٠٩، نلاحِظ أن 𞸋=𞸐𝜃=𞸐(٠٨١𝜃)=𞸐𝜃؛ لأن (٠٨١𞸎)=𞸎. لذلك نجد أن ذراع عزم الازدواج، المسافة العمودية بين القوتين، يُعطَى دائمًا بالعلاقة: 𞸋=𞸐𝜃.

ويكون بذلك عزم الازدواج هو: ج=±𞹟𞸋=±𞹟𞸐𝜃.

يُمكننا أيضًا اعتبار 𞹟𞸐𝜃 أنه (𞹟𝜃)𞸐، وهو حاصل ضرب القيمة المُطلَقة لمركِّبة القوة العمودية على القضيب والمسافة التي بين نقطتَيْ تأثير القوتين.

خاصية: عزم الازدواج

عزم ازدواج القوتين المؤثِّرتين عند 𞸀، 𞸁 يُعطَى من خلال: ججج=±𞹟𞸐𝜃=±𞹟𞸋=±󰍸𞹟󰍸𞸐، حيث 𞹟 هو مقدار كلٍّ من قوتي الازدواج، 𞸐 المسافة التي بين 𞸀، 𞸁، 𝜃 الزاوية بين إحدى القوتين والقطعة المستقيمة 𞸀𞸁، 𞸋 ذراع عزم الازدواج، 𞹟 المركِّبة العمودية للقوة على 𞸀𞸁.

دعونا الآن نتناول مثالًا على عزم الازدواج.

مثال ١: إيجاد ذراع الازدواج المكافئ لنظامٍ من قوتين

إذا كان معيار عزم ازدواجٍ ما ٧٥٠ نيوتن⋅م، ومقدار إحدى قوتَيْه ٥٠ نيوتن، فأوجد طول ذراع عزم الازدواج.

الحل

معيار العزم هو مقدار العزم. مقدار العزم الناتِج عن الازدواج عبارة عن حاصل ضرب مقدار أيِّ قوة من قوتَيِ الازدواج في طول ذراع العزم، 𞸋. بما أن العزم مُعطًى بوحدة نيوتن⋅م، والقوة مُعطاة بوحدة نيوتن، إذن: ٠٥٧=٠٥𞸋𞸋=٠٥٧٠٥=٥١.م

نلاحِظ في المثال السابق أن مقدار العزم يُعطَى ببساطة من خلال حاصل ضرب مقدار إحدى القوتين في ذراع عزم الازدواج.

خاصية: مقدار عزم الازدواج

مقدار عزم الازدواج يُعطَى من خلال: 󰍸󰍸=𞹟𞸋،ج حيث 𞹟 مقدار أيٍّ من قوتَيِ الازدواج، 𞸋 ذراع عزم الازدواج.

لنلقِ نظرةً على مثال يتضمَّن عزم الازدواج؛ حيث لا تكون القوتان عموديَّتين على المستقيم الذي يمرُّ بنقطتَيْ تأثيرهما.

مثال ٢: إيجاد مقدار ازدواج قوتين مائلتين تؤثِّران على طرفَيْ قطعة مستقيمة

في الشكل الآتي، 𞹟=٣١، 𞹟١، 𞹟٢ تصنعان ازدواجًا. أوجد القياس الجبري لعزم ذلك الازدواج.

الحل

يجب أن يكون لقوتَيِ الازدواج مقداران متساويان. إذا كان 󰄮󰄮𞹟١ مقدارها ٣ نيوتن، إذن 󰄮󰄮𞹟٢ مقدارها أيضًا ٣ نيوتن. قياسا الزاويتين بين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ والمستقيم الواصِل بين النقطتين اللتين تؤثِّر عندهما 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ يساويان٥٤.

الدوران الناتِج عن العزم الناتِج عن الازدواج يكون في عكس اتجاه عقارب الساعة؛ ومن ثَمَّ يكون موجبًا. ويُمكن إيجاد مقدار العزم باستخدام المعادلة: ج=𞹟(𝜃)×𞸐 على أن يكون: ججج=٣×(٥٤)×󰂔٧󰋴٢󰂓=٣×󰃭󰋴٢٢󰃬󰂔٧󰋴٢󰂓=١٢.

يُمكننا تعريف عزم القوة على الصورة المُثلى من خلال الضرب الاتجاهي.

تعريف: عزم الازدواج عن طريق الضرب الاتجاهي

يُمكن إيجاد عزم القوة 󰄮󰄮𞹟 حول نقطة من خلال الضرب الاتجاهي. يمثِّل المتجه 󰄮𞸓 متجه الموضع من النقطة التي نُوجِد حولها العزم إلى أيِّ نقطة على خط عمل القوة. 󰄮=󰄮𞸓×󰄮󰄮𞹟ج

بالنسبة إلى عزم الازدواج الناتِج عن القوتين؛ القوة 󰄮󰄮𞹟١ التي تؤثِّر عند النقطة 𞸀، والقوة 󰄮󰄮𞹟٢ التي تؤثِّر عند النقطة 𞸁، يُعطَى عزم الازدواج من خلال: 󰄮=󰄮󰄮󰄮𞸁𞸀×󰄮󰄮𞹟=󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁×󰄮󰄮𞹟ج١٢

لاحِظ أننا في المعادلة السابقة لعزم الازدواج، يُمكننا أن نستبدل بـ 󰄮𞸓 المتجه بين نقطتَيْ تأثير القوتين. يُمكننا التفكير في ذلك على أنه إيجاد العزوم حول النقطة 𞸁 في الحالة الأولى، وإيجاد العزوم حول النقطة 𞸀 في الحالة الثانية.

يُمكننا حساب حاصل الضرب الاتجاهي بطريقة مُفيدة، بإيجاد المحدِّد للمصفوفة من الرُّتبة ٣×٣. 󰄮=󰄮𞸓×󰄮󰄮𞹟=|||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏𞸓𞸓𞸓𞹟𞹟𞹟|||||ج𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏

على الرغم من أن هذه الطريقة تُستخدَم بصورة رئيسية عندما يكون كلٌّ من المتجهين 󰄮󰄮𞹟، 󰄮𞸓 في ثلاثة أبعاد، إلَّا أنَّها تكون مُفيدة أحيانًا للأنظمة التي في بُعدين. دعونا نتناول مثالًا على ذلك.

مثال ٣: إيجاد المسافة العمودية بين متجهَيْ قوتين تشكِّلان ازدواجًا

إذا كانت القوتان 󰄮󰄮𞹟=١󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑١، 󰄮󰄮𞹟٢ تؤثِّران عند النقطتين 𞸀(٢،٢)، 𞸁(٢،٢)، على الترتيب لتشكِّلا ازدواجًا، فأوجد المسافة العمودية بين القوتين.

الحل

بما أن القوتين تكوِّنان ازدواجًا، إذن مجموعُهما يجب أن يساوي صفرًا. لكي نستكمل المُعطَيات يُمكننا استخدام ذلك لإيجاد 󰄮󰄮𞹟٢ ، لكن ذلك غير مطلوب في الحلِّ النهائي. 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟=٠󰄮󰄮𞹟=󰄮󰄮𞹟󰄮󰄮𞹟=󰄮󰄮󰄮𞹎٢󰄮󰄮󰄮𞹑١٢٢١٢

المسافة العمودية بين خطَّيْ عمل القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ هي طول القطعة المستقيمة العمودية عليهما. يُمكننا الإشارة إلى هذه المسافة بالرمز 𞸐.

يُمكن إيجاد عزم الازدواج باستخدام الصيغة الآتية؛ حيث 𞹟 مقدار أيٍّ من القوتين، 𞸐 المسافة العمودية بين خطَّيْ عمل القوتين، وإشارة العزم تُشير إلى اتجاه الدوران. ج=±𞹟𞸐

لفهْم هذا النظام بصورة أفضل، يُمكننا التحويل إلى الصورة المتجهة لتذكير أنفسنا بمصدر هذه المعادلة. عزم القوة يساوي مقدار القوة مضروبًا في المسافة العمودية التي تبعدها عن النقطة التي نُوجِد العزم حولها.

لنتخيَّل معًا إيجاد العزم حول النقطة 𞸁. بما أن القوة 󰄮󰄮𞹟١ تؤثِّر عند النقطة 𞸀، إذن يُمكننا تعريف المتجه 󰄮𞸓 كما يأتي: 󰄮𞸓=󰄮󰄮󰄮𞸁𞸀.

يُمكننا إجراء تبسيطٍ مُفيدٍ باستخدام هندسة المثلث القائم الزاوية عن طريق تعريف 𝜃 على أنها الزاوية الحادَّة الموجبة بين خط عمل القوة 󰄮󰄮𞹟١ والمتجه 󰄮𞸓. عبَّرنا هنا عن المسافة العمودية 𞸐 بدلالة مقدار 󰄮𞸓 والزاوية 𝜃. 𞸐=󰍹󰄮𞸓󰍹𝜃

لاحِظ أننا في هذا النظام خاصة، نقوم بإيجاد المسافة 𞸐، وهي كمية قياسية غير سالبة. هذا يعني أننا لا نهتمُّ بالإشارة في المعادلة؛ ومن ثَمَّ يُمكننا تجاهل اتجاه الدوران.

وبما أننا عرَّفنا 𝜃 على أنها الزاوية الحادة الموجبة؛ لهذا السبب بعينه، سنُهمِل أيَّ حلٍّ سالبٍ. بذلك قد بسَّطنا النظام لنحصل على مقدار العزم فقط، وهو ما يُمكن التعبير عنه كما يأتي: 󰍹󰄮󰍹=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹󰍹󰄮𞸓󰍹𝜃=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹𞸐.ج١١

يوضِّح إعادة ترتيب هذه المعادلة أننا إذا تمكَّنَّا من إيجاد مقدار كلٍّ من العزم 󰄮ج، والقوة 󰄮󰄮𞹟١، فإننا سنتمكَّن من إيجاد المسافة العمودية 𞸐. 𞸐=󰍹󰄮󰍹󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹ج١

لكي نستكمل، نتذكَّر أنه يمكن إيجاد عزم الازدواج باستخدام الضرب الاتجاهي. ونُضيف هنا أننا إذا تذكَّرنا تعريف الضرب الاتجاهي، فإننا نؤكِّد بذلك الفكرة الذي وضَّحناها سابقًا، لكننا لن نخوض في تفاصيل ذلك هنا. 󰄮=󰄮𞸓×󰄮󰄮𞹟=󰁓󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹󰍹󰄮𞸓󰍹𝜃󰁒󰄮𞸍ج١

تذكَّر أننا في الأساس نُوجِد العزم حول النقطة 𞸁. وذلك يعني أننا سنتناول القوة 󰄮󰄮𞹟١، والمتجه 󰄮𞸓 المُعرَّف من النقطة 𞸁 إلى النقطة 𞸀. 󰄮𞸓=󰄮󰄮󰄮𞸁𞸀=(٢،٢)(٢،٢)=(٤،٤)

تتضمَّن الطريقة القياسية للضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد إيجاد المحدِّد للمصفوفة من الرُّتبة ٣×٣، لكن بما أن 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮𞸓 كلَيْهما متجهان في بُعدين، إذن يُمكن تبسيط العمليات الحسابية كما يأتي. 󰄮=󰄮𞸓×󰄮󰄮𞹟=󰁓𞸓،𞸓،٠󰁒×󰁓𞹟،𞹟،٠󰁒=󰁓𞸓𞹟𞸓𞹟󰁒󰄮󰄮𞹏=(٤×٢٤×(١))󰄮󰄮𞹏=(٨+٤)󰄮󰄮𞹏=٢١󰄮󰄮𞹏ج١𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸑𞸑𞸎

نُوجِد الآن مقدار كلٍّ من 󰄮ج، 󰄮󰄮𞹟١. 󰍹󰄮󰍹=󰍼٢١󰄮󰄮𞹏󰍼=٢١󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=󰍹󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰍹=󰋴(١)+٢=󰋴٥ج١٢٢

وأخيرًا، يصبح لدينا جميع ما نحتاجه لإيجاد المسافة 𞸐. 𞸐=󰍹󰄮󰍹󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=٢١󰋴٥=٢١󰋴٥٥ج١

هذه هي المسافة العمودية بين خطَّيْ عمل قوتَيِ الازدواج.

يُمكن لعِدَّة ازدواجات التأثير على جسم في آنٍ واحدٍ. عندما تؤثِّر عِدَّة ازدواجات على جسم، يكون العزم المحصل الناتِج عن الازدواجات هو مجموع العزوم الناتِجة عن كلِّ ازدواج. لنلقِ نظرةً على مثال يتضمَّن عِدَّة ازدواجات.

مثال ٤: تحليل نظام من أربع قوًى تُكافئ ازدواجًا تؤثِّر على قضيب أفقي

𞸀𞸁 قضيبٌ خفيفٌ أفقيٌّ طوله ٦٠ سم، وتؤثِّر عليه قوتان رأسيتان، مقدار كلٍّ منهما ٤٥ نيوتن عند 𞸀، 𞸁، في اتجاهين متضادَّيْن. تؤثِّر قوتان أُخريان، مقدار كلٍّ منهما ١٢٠ نيوتن في اتجاهين متضادَّيْن عند النقطتين 𞸢، 𞸃 على القضيب؛ حيث 𞸢𞸃=٥٤. إذا كانت القوتان تكوِّنان ازدواجًا مكافئًا للازدواج الذي كوَّنتْه القوتان الأُولَيَان، فأوجد قياس زاوية الميل التي تصنعها القوتان الأُخريان مع القضيب.

الحل

الازدواج ج١ الذي كوَّنتْه القوتان المؤثِّرتان عند 𞸀، 𞸁 مُعطًى بواسطة: ج١=(٥٤×٠٦).

الازدواج ج٢ الذي كوَّنتْه القوتان المؤثِّرتان عند 𞸢، 𞸃 مُعطًى بواسطة: ج٢=(٠٢١𝜃×٥٤).

ينصُّ السؤال على أن الازدواجين متكافئان؛ لذا: جج١٢=.

الزاوية 𝜃 يُمكن إيجادها بإعادة الترتيب: (٥٤×٠٦)=(٠٢١𝜃×٥٤)٠٦٠٢١=𝜃𝜃=٠٣.

النقاط الرئيسية

  • الازدواج قوتان لهما خطَّا عمل متوازيان ومختلفان، ولهما مقداران متساويان، لكنهما تؤثِّران في اتجاهين متضادَّيْن.
  • يُعطَى العزم الناتِج عن الازدواج بواسطة ج=±𞹟𞸐(𝜃)؛ حيث 𞹟 مقدار أيٍّ من قوتَيِ الازدواج، 𞸐 طول القطعة المستقيمة التي تَصِل بين نقطتَيْ تأثير القوتين، 𝜃 الزاوية بين 󰄮󰄮𞹟 وهذه القطعة المستقيمة.
  • مقدار عزم الازدواج يُعطَى بواسطة 󰍸󰍸=𞹟𞸋ج؛ حيث 𞹟 مقدار أيٍّ من القوتين، 𞸋 طول ذراع عزم الازدواج.
  • يُمكن إيجاد عزم الازدواج باستخدام الضرب الاتجاهي. 󰄮=󰄮𞸓×󰄮󰄮𞹟ج
  • بالنسبة إلى عزم ازدواج مكوَّن بواسطة القوتين؛ القوة 󰄮󰄮𞹟١ التي تؤثِّر عند النقطة 𞸀، والقوة 󰄮󰄮𞹟٢ التي تؤثِّر عند النقطة 𞸁، نجد أن: 󰄮=󰄮󰄮󰄮𞸁𞸀×󰄮󰄮𞹟=󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁×󰄮󰄮𞹟ج١٢
  • يُمكن لعِدَّة ازدواجات التأثير على جسمٍ في آنٍ واحدٍ. عندما تؤثِّر عِدَّة ازدواجات على جسم، يكون العزم المحصل الناتِج عن الازدواجات هو مجموع العزوم الناتِجة عن كلِّ ازدواج.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية