شارح الدرس: عزم الازدواج الرياضيات

مثال ١: إيجاد ذراع الازدواج المكافئ لنظامٍ من قوتين

إذا كان معيار عزم ازدواجٍ ما ٧٥٠ نيوتن⋅م، ومقدار إحدى قوتَيْه ٥٠ نيوتن، فأوجد طول ذراع عزم الازدواج.

الحل

معيار العزم هو مقدار العزم. مقدار العزم الناتِج عن الازدواج عبارة عن حاصل ضرب مقدار أيِّ قوة من قوتَيِ الازدواج في طول ذراع العزم، . بما أن العزم مُعطًى بوحدة نيوتن⋅م، والقوة مُعطاة بوحدة نيوتن، إذن:

مثال ٢: إيجاد مقدار ازدواج قوتين مائلتين تؤثِّران على طرفَيْ قطعة مستقيمة

في الشكل الآتي، ، ، تصنعان ازدواجًا. أوجد القياس الجبري لعزم ذلك الازدواج.

الحل

يجب أن يكون لقوتَيِ الازدواج مقداران متساويان. إذا كان مقدارها ٣ نيوتن، إذن مقدارها أيضًا ٣ نيوتن. قياسا الزاويتين بين ، والمستقيم الواصِل بين النقطتين اللتين تؤثِّر عندهما ، يساويان.

الدوران الناتِج عن العزم الناتِج عن الازدواج يكون في عكس اتجاه عقارب الساعة؛ ومن ثَمَّ يكون موجبًا. ويُمكن إيجاد مقدار العزم باستخدام المعادلة: على أن يكون:

مثال ٣: إيجاد المسافة العمودية بين متجهَيْ قوتين تشكِّلان ازدواجًا

إذا كانت القوتان ، تؤثِّران عند النقطتين ، ، على الترتيب لتشكِّلا ازدواجًا، فأوجد المسافة العمودية بين القوتين.

الحل

بما أن القوتين تكوِّنان ازدواجًا، إذن مجموعُهما يجب أن يساوي صفرًا. لكي نستكمل المُعطَيات يُمكننا استخدام ذلك لإيجاد ، لكن ذلك غير مطلوب في الحلِّ النهائي.

المسافة العمودية بين خطَّيْ عمل القوتين ، هي طول القطعة المستقيمة العمودية عليهما. يُمكننا الإشارة إلى هذه المسافة بالرمز .

يُمكن إيجاد عزم الازدواج باستخدام الصيغة الآتية؛ حيث مقدار أيٍّ من القوتين، المسافة العمودية بين خطَّيْ عمل القوتين، وإشارة العزم تُشير إلى اتجاه الدوران.

لفهْم هذا النظام بصورة أفضل، يُمكننا التحويل إلى الصورة المتجهة لتذكير أنفسنا بمصدر هذه المعادلة. عزم القوة يساوي مقدار القوة مضروبًا في المسافة العمودية التي تبعدها عن النقطة التي نُوجِد العزم حولها.

لنتخيَّل معًا إيجاد العزم حول النقطة . بما أن القوة تؤثِّر عند النقطة ، إذن يُمكننا تعريف المتجه كما يأتي:

يُمكننا إجراء تبسيطٍ مُفيدٍ باستخدام هندسة المثلث القائم الزاوية عن طريق تعريف على أنها الزاوية الحادَّة الموجبة بين خط عمل القوة والمتجه . عبَّرنا هنا عن المسافة العمودية بدلالة مقدار والزاوية .

لاحِظ أننا في هذا النظام خاصة، نقوم بإيجاد المسافة ، وهي كمية قياسية غير سالبة. هذا يعني أننا لا نهتمُّ بالإشارة في المعادلة؛ ومن ثَمَّ يُمكننا تجاهل اتجاه الدوران.

وبما أننا عرَّفنا على أنها الزاوية الحادة الموجبة؛ لهذا السبب بعينه، سنُهمِل أيَّ حلٍّ سالبٍ. بذلك قد بسَّطنا النظام لنحصل على مقدار العزم فقط، وهو ما يُمكن التعبير عنه كما يأتي:

يوضِّح إعادة ترتيب هذه المعادلة أننا إذا تمكَّنَّا من إيجاد مقدار كلٍّ من العزم ، والقوة ، فإننا سنتمكَّن من إيجاد المسافة العمودية .

لكي نستكمل، نتذكَّر أنه يمكن إيجاد عزم الازدواج باستخدام الضرب الاتجاهي. ونُضيف هنا أننا إذا تذكَّرنا تعريف الضرب الاتجاهي، فإننا نؤكِّد بذلك الفكرة الذي وضَّحناها سابقًا، لكننا لن نخوض في تفاصيل ذلك هنا.

تذكَّر أننا في الأساس نُوجِد العزم حول النقطة . وذلك يعني أننا سنتناول القوة ، والمتجه المُعرَّف من النقطة إلى النقطة .

تتضمَّن الطريقة القياسية للضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد إيجاد المحدِّد للمصفوفة من الرُّتبة ، لكن بما أن ، كلَيْهما متجهان في بُعدين، إذن يُمكن تبسيط العمليات الحسابية كما يأتي.

نُوجِد الآن مقدار كلٍّ من ، .

وأخيرًا، يصبح لدينا جميع ما نحتاجه لإيجاد المسافة .

هذه هي المسافة العمودية بين خطَّيْ عمل قوتَيِ الازدواج.

مثال ٤: تحليل نظام من أربع قوًى تُكافئ ازدواجًا تؤثِّر على قضيب أفقي

قضيبٌ خفيفٌ أفقيٌّ طوله ٦٠ سم، وتؤثِّر عليه قوتان رأسيتان، مقدار كلٍّ منهما ٤٥ نيوتن عند ، ، في اتجاهين متضادَّيْن. تؤثِّر قوتان أُخريان، مقدار كلٍّ منهما ١٢٠ نيوتن في اتجاهين متضادَّيْن عند النقطتين ، على القضيب؛ حيث . إذا كانت القوتان تكوِّنان ازدواجًا مكافئًا للازدواج الذي كوَّنتْه القوتان الأُولَيَان، فأوجد قياس زاوية الميل التي تصنعها القوتان الأُخريان مع القضيب.

الحل

الازدواج الذي كوَّنتْه القوتان المؤثِّرتان عند ، مُعطًى بواسطة:

الازدواج الذي كوَّنتْه القوتان المؤثِّرتان عند ، مُعطًى بواسطة:

ينصُّ السؤال على أن الازدواجين متكافئان؛ لذا:

الزاوية يُمكن إيجادها بإعادة الترتيب: