نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب عزم ازدواج قوتين، ومحصلة ازدواجين أو أكثر. نعرف الازدواج بأنه نظام مكون من قوتين متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه ولا يجمعهما خط عمل واحد. ويولد الازدواج دورانًا ناتجًا عن عزوم قوتي هذا الازدواج.
دعونا نفترض أن لدينا زوجًا من قوتين متساويتين في المقدار وتؤثران على قضيب عموديًّا على طوله. بما أن القوتين متساويتان في المقدار وتؤثران في اتجاهين متضادين وعلى خطوط عمل مختلفة، فإن هذا يمثل ازدواجًا. دعونا نفكر في العزم الناتج عن الازدواج عند نقطة المنتصف بين خطي العمل هذين، والتي أطلقنا عليها النقطة ﺃ.
القوتان ﻕ واحد وﻕ اثنان ينشأ عنهما دوران في اتجاه دوران عقارب الساعة. المعروف أن الدوران في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة هو دوران موجب، لذا القوتان ينشأ عنهما دوران سالب. العزم هو حاصل ضرب القوة في المسافة العمودية من محور العزم إلى خط عمل القوة. تؤثر القوة ﻕ واحد من مسافة تبعد ﻑ على اثنين وحدة من النقطة ﺃ. وهي تؤثر في اتجاه عمودي على الخط الذي يربط النقطة ﺃ بخط العمل. إذن، عزم القوة ﻕ واحد حول النقطة ﺃ يساوي سالب ﻕ واحد في ﻑ على اثنين، حيث ﻕ واحد هنا هو مقدار القوة. يمكننا تبسيط ذلك قليلًا وكتابته على الصورة: سالب ﻕ واحد في ﻑ على اثنين. وهذا العزم سالب بالطبع لأن القوة تؤثر في اتجاه دوران عقارب الساعة هذا.
بالطريقة نفسها، نشير إلى مقدار القوة ﻕ اثنين ببساطة بـ ﻕ اثنين. وعزم هذه القوة حول النقطة ﺃ يساوي سالب ﻕ اثنين في ﻑ على اثنين. والآن، تذكر أننا قلنا إن مقداري هاتين القوتين متساويان. إذن، هذا يكافئ القول إن عزم القوة الثانية يساوي سالب ﻕ واحد في ﻑ على اثنين حول النقطة ﺃ. وعليه، فإن مجموع العزوم حول النقطة ﺃ يساوي سالب ﻕ واحد في ﻑ على اثنين ناقص ﻕ اثنين في ﻑ على اثنين. ولكن بما أن سالب ﻕ اثنين في ﻑ على اثنين يساوي سالب ﻕ واحد في ﻑ على اثنين، يمكننا كتابة ذلك على إحدى الصورتين المتكافئتين: سالب اثنين ﻕ واحد في ﻑ على اثنين، أو سالب اثنين ﻕ اثنين في ﻑ على اثنين. ويمكننا بعد ذلك التبسيط بقسمة كل من البسط والمقام على اثنين، ليصبح لدينا سالب ﻕ واحد في ﻑ أو سالب ﻕ اثنين في ﻑ.
ماذا يحدث إذن إذا فكرنا في العزم حول النقطة ﺏ، وهي طرف القضيب؟ حسنًا، إذا كان طول القضيب هو ﻝ وحدة، فإن العزم حول النقطة ﺏ الناتج عن القوة ﻕ واحد يساوي سالب ﻝﻕ واحد. وبالمثل، عزم القوة ﻕ اثنين يساوي ﻝ ناقص ﻑ في ﻕ اثنين. وهذا العزم موجب لأننا ندير الجسم عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. والآن، قلنا إن مقداري القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين متساويان. إذن، يمكننا كتابة ذلك على الصورة ﻝ ناقص ﻑ في ﻕ واحد. إذن، محصلة العزوم حول النقطة ﺏ تساوي سالب ﻝﻕ واحد زائد ﻝ ناقص ﻑ في ﻕ اثنين، وهو ما يمكن كتابته على الصورة المكافئة ﻝ ناقص ﻑ في ﻕ واحد.
نوزع الأقواس، ونرى أنه يمكن تبسيط هذا إلى سالب ﻕ واحد في ﻑ، أو الصورة المكافئة سالب ﻕ اثنين في ﻑ. وهنا يحتاج الأمر إلى بعض المهارة. نلاحظ أن هذا يكافئ محصلة العزوم حول النقطة ﺃ. وفي الواقع، سيساوي هذا أيضًا محصلة العزوم حول أي نقطة على القضيب؛ وذلك لأن عزم الازدواج لا يعتمد على النقطة التي تنسب إليها عزوم الازدواج.
دعونا نصغ ذلك بشكل عام. عزم الازدواج يساوي محصلة عزمي قوتي هذا الازدواج حول أي نقطة في الفضاء. ومقدار عزم الازدواج في الواقع هو حاصل ضرب مقدار إحدى القوتين في المسافة بينهما. ويعطى هذا بالصيغة ﺟ يساوي ﻕ في ﻝ، حيث ﻕ مقدار القوة وﻝ يسمى ذراع الازدواج.
يجدر بنا أن نذكر أنفسنا هنا بمعنى ذراع الازدواج. الذراع هي المسافة بين محور مشترك وخط عمل القوة المؤثرة على هذا المحور، وذلك عندما تؤثر هذه القوة عموديًّا عليه. وأخيرًا، لا يعتمد عزم الازدواج على النقطة التي ينسب إليها عزم هاتين القوتين. بعد أن عرفنا هذا، دعونا نتناول مثالًا على كيفية حساب طول ذراع العزم.
إذا كان معيار عزم ازدواج ما ٧٥٠ نيوتن متر، ومقدار إحدى قوتيه ٥٠ نيوتن، فأوجد طول ذراع عزم الازدواج.
يجدر أن نتذكر ما نعنيه بمعيار العزم. معيار العزم هو ببساطة مقدار هذا العزم. لدينا هنا معلومات عن معيار العزم ومقدار إحدى قوتي هذا العزم. إذن يمكننا الربط بين هذه المعطيات باستخدام صيغة إيجاد مقدار عزم الازدواج. وتنص على أنه يساوي حاصل ضرب إحدى قوتي الازدواج في ﻝ، أي طول ذراع العزم. في هذه الحالة، نعلم أن معيار العزم أو مقداره يساوي ٧٥٠ نيوتن متر. ومقدار إحدى قوتيه هو ٥٠ نيوتن. إذن، يمكننا التعويض بما نعرفه عن عزم هذا الازدواج في الصيغة، ليصبح لدينا ٧٥٠ يساوي ٥٠ في ﻝ.
لحل هذه المعادلة وإيجاد ﻝ، نقسم طرفي المعادلة على ٥٠. إذن، ﻝ يساوي ٧٥٠ على ٥٠، أو ١٥. وبما أننا نقسم نيوتن متر على متر، إذن ستكون وحدة الطول ببساطة هي المتر. طول ذراع العزم في هذا السؤال هو ١٥ مترًا.
ليس ضروريًّا أن تؤثر القوى في اتجاه عمودي على الخط الواصل بين نقاط عمل هذه القوى. وفي هذه الحالات، توجد طريقة ستساعدنا على إيجاد عزم الازدواج. رأينا أن ﻝ هو ذراع عزم الازدواج. وهو المسافة بين محور مشترك وخط عمل القوة المؤثرة عموديًّا على هذا المحور. هذا هو الجزء المهم. فهذا التعريف يسمح لنا بالتفكير في مركبتي كل قوة تؤثر عموديًّا على الخط الواصل بين النقاط التي تؤثر القوى عندها. إذا كانت المسافة بين نقاط خطوط عمل كل قوة هي ﻑ، يمكننا القول إن مركبة القوة التي تؤثر عموديًّا على هذه المسافة تساوي مقدار ﻕ في جا 𝜃 في ﻑ. والآن يمكننا القول إن معيار عزم الازدواج يساوي مقدار إحدى القوتين ﻕ في جا 𝜃 في ﻑ.
في المثال التالي، سوف نوضح تطبيقًا على ذلك.
في الشكل التالي، ﻕ واحد تساوي ثلاثة نيوتن، وﻕ واحد وﻕ اثنان تصنعان ازدواجًا. أوجد القياس الجبري لعزم ذلك الازدواج.
لإيجاد القياس الجبري لعزم الازدواج، نتذكر في البداية أنه إذا كانت قوتان تكونان عزمًا، فإن مقداريهما لا بد أن يكونا متساويين. إذا كان ﻕ واحد وﻕ اثنان هما مقداري القوتين على الترتيب، فيمكننا القول إن ﻕ واحد يساوي ﻕ اثنين، وكلًّا منهما يساوي ثلاثة نيوتن. إذن، لإيجاد معيار عزم الازدواج، نوجد حاصل ضرب مقدار إحدى القوتين في جا 𝜃 في ﻑ، حيث ﻑ المسافة بين خطي عمل كل من القوتين. و𝜃 هي الزاوية التي تكونها كل قوة مع الخط الواصل بين النقطتين اللتين تؤثر عندهما كل من القوة واحد والقوة اثنين.
نرى من الشكل أن 𝜃 هنا تساوي ٤٥ درجة. وﻑ، أي المسافة بين النقطتين ﺃ وﺏ اللتين تؤثر عندهما كل من القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين، تساوي سبعة جذر اثنين سنتيمترات. إذن، معيار عزم هذا الازدواج هو ثلاثة في جا ٤٥ درجة في سبعة جذر اثنين. نعلم أن جا ٤٥ درجة يساوي قيمة دقيقة ينبغي أن نعرفها عن ظهر قلب. وتساوي جذر اثنين على اثنين. والجذر التربيعي لاثنين مقسومًا على اثنين في الجذر التربيعي لاثنين يساوي اثنين على اثنين، أي ببساطة واحدًا. إذن، معيار عزم هذا الازدواج هو ثلاثة في سبعة، أي ٢١ أو ٢١ نيوتن سنتيمتر. وبما أن القوتين تحاولان تحريك الجسم عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، نعرف أن القياس الجبري لهذا العزم سيكون موجبًا. إذن، الإجابة هي ٢١ نيوتن سنتيمتر.
تعرفنا على صيغتين حتى الآن. ولكن توجد طريقة بديلة لحساب عزم الازدواج، وهي استخدام الضرب الاتجاهي. يمكن إيجاد عزم القوة ﻕ حول أي نقطة باستخدام الضرب الاتجاهي. إذا افترضنا أن المتجه ﺭ هو متجه الموضع من النقطة التي نحسب عندها العزم إلى أي نقطة على خط عمل القوة، فإن عزم القوة يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺭ في ﻕ. وإذا افترضنا أن لدينا ازدواجًا من القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين ويؤثر عند النقطتين ﺃ وﺏ على الترتيب، فإن عزم هذا الازدواج يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺏﺃ في المتجه ﻕ واحد، وهو ما يكافئ حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ في المتجه ﻕ اثنين.
في صيغة عزم الازدواج، نعوض عن متجه الموضع ﺭ بالمتجه بين نقطتي تأثير القوة. يمكننا التفكير في ذلك كأننا نأخذ العزم بالنسبة إلى النقطة ﺏ في الحالة الأولى، وبالنسبة إلى النقطة ﺃ في الحالة الثانية. بعد أن عرفنا هذا، دعونا نعرف كيف نوجد المسافة العمودية بين متجهي قوتين تكونان ازدواجًا.
إذا كانت القوتان ﻕ واحد تساوي سالب ﺱ زائد اثنين ﺹ وﻕ اثنان تؤثران على النقطتين ﺃ: اثنين، اثنين، وﺏ: سالب اثنين، سالب اثنين على الترتيب لتشكلا ازدواجًا، فأوجد المسافة العمودية بين القوتين.
لدينا تعبير دال على متجه إحدى القوتين في الازدواج. لكي تكون القوتان ازدواجًا لا بد أن تكونا متساويتين في المقدار. وستؤثران في اتجاهين متضادين. إذن يمكننا إيجاد المتجه ﻕ اثنين، إذا استلزم ذلك. مجموعهما يساوي صفرًا، إذن ﻕ اثنان سيساوي سالب ﻕ واحد. أي سيساوي سالب سالب ﺱ زائد اثنين ﺹ، وهو ما يعني ﺱ ناقص اثنين ﺹ.
تجدر الإشارة إلى أننا لا نحتاج لإيجاد هذا لنتمكن من حل السؤال. ولكن ذلك سيتيح لنا أن نتأكد من إجابتنا في النهاية. بعد ذلك، نعرف أنه بالنسبة إلى ازدواج مكون من القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين، اللتين تؤثران على النقطتين ﺃ وﺏ على الترتيب، فإن عزم الازدواج يعطى إما بحاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺏﺃ في المتجه ﻕ واحد، وإما بمكافئه حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ في المتجه ﻕ اثنين.
يخبرنا السؤال أن القوة ﻕ واحد تؤثر على النقطة اثنين، اثنين، والمتجه ﻕ اثنين يؤثر على النقطة سالب اثنين، سالب اثنين. إذن نعرف ﺃ وﺏ كما هو موضح. ثم نتذكر أن المتجه ﺏﺃ يمكن إيجاده بطرح المتجه ﻭﺏ من المتجه ﻭﺃ. بما أن المتجه ﻭﺃ هو متجه موضع ﺃ، فإنه يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ. وبالمثل، المتجه ﻭﺏ، وهو متجه موضع ﺏ، يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص اثنين ﺹ. بتوزيع الأقواس، نجد أن المركبة ﺱ تساوي اثنين ناقص سالب اثنين، أي أربعة. وبالمثل المركبة ﺹ تساوي أربعة أيضًا. إذن، المتجه ﺏﺃ يساوي أربعة ﺱ زائد أربعة ﺹ.
وبهذا يمكننا القول إن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺏﺃ في المتجه ﻕ واحد يساوي حاصل ضرب المتجه أربعة ﺱ زائد أربعة ﺹ زائد صفر ﻙ في المتجه سالب ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد صفر ﻙ. قد نفكر في ذلك بدلالة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. نحصل على أربعة في اثنين ناقص أربعة في سالب واحد ﻙ. وهو ما يساوي ثمانية زائد أربعة ﻙ، أي ١٢ﻙ.
نريد الآن إيجاد المسافة العمودية بين القوتين، بعبارة أخرى، طول ذراع العزم. ولذلك نستخدم الصيغة التي تنص على أن معيار عزم الازدواج يساوي حاصل ضرب مقدار إحدى القوتين في طول ذراع العزم. بما أن العزم يؤثر ببساطة في اتجاه واحد، فإن معياره يساوي ١٢. نحسب عزم أي من القوتين. ولنفعل ذلك، نوجد الجذر التربيعي لمجموع مربعات كل مركبة. وتحديدًا، مقدار القوة ﻕ واحد يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد تربيع زائد اثنين تربيع، وهو ما يساوي جذر خمسة. وبالتعويض بما نعرفه عن عزم الازدواج في الصيغة، نحصل على ١٢ يساوي الجذر التربيعي لخمسة في ﻝ، ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻝ بقسمة كلا الطرفين على جذر خمسة.
وأخيرًا، نقوم بإنطاق المقام للتبسيط. ولنفعل ذلك نضرب بسط الكسر ومقامه في الجذر التربيعي لخمسة، وهو ما يعطينا ١٢ جذر خمسة على خمسة. إذن يمكننا القول إن المسافة العمودية بين القوتين تساوي ١٢ جذر خمسة على خمسة وحدة طول.
دعونا الآن نلخص المفاهيم الرئيسية في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أن الازدواج هو نظام من قوتين متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه ولا يجمعهما خط عمل واحد. عزم الازدواج يساوي محصلة عزمي قوتي هذا الازدواج بالنسبة إلى أي نقطة في الفضاء. ومعيار العزم يساوي مقدار إحدى القوتين في المسافة بينهما، أو طول ذراع العزم.
تعلمنا أيضًا أن عزم الازدواج ثابت لا يعتمد على النقطة التي نحسب عزمي القوتين بالنسبة إليها. وإذا كانت القوتان لا تؤثران في اتجاه عمودي على الخط الواصل بين النقطتين اللتين تؤثر عندهما القوتان، فيمكننا حساب معيار عزم الازدواج بإيجاد حاصل ضرب إحدى القوتين في جا 𝜃 في ﻑ، حيث ﻑ هي المسافة العمودية بين النقطتين اللتين تؤثر عندهما القوتان. و𝜃 هي الزاوية بين خط عمل إحدى القوتين وهذا الخط.
وأخيرًا، للازدواج المكون من القوة ﻕ واحد، وتؤثر عند النقطة ﺃ؛ والقوة ﻕ اثنين، وتؤثر عند النقطة ﺏ، فإنه يمكن حساب عزم الازدواج باستخدام الضرب الاتجاهي. العزم يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺏﺃ في المتجه ﻕ واحد، أو هو على نحو مكافئ يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ في المتجه ﻕ اثنين.
