فيديو السؤال: قياس مقدار المتجه المحصل الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

رسمت عدة متجهات بنفس مقياس المسطرة الموضح في الشكل. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي سنتيمترًا واحدًا. يمثل المتجه الأحمر محصلة المتجهين الأزرق والأخضر. ما طول المتجه المحصل، مقيسًا لأقرب سنتيمتر؟

حسنًا، في هذا السؤال، لدينا شكل به ثلاثة متجهات. ونعلم من المعطيات أن المتجه الأحمر هو محصلة المتجهين الأزرق والأخضر. علمنا أيضًا من المعطيات أن طول ضلع كل مربع في الشكل يساوي سنتيمترًا واحدًا. ومطلوب منا إيجاد طول المتجه المحصل. دعونا نتذكر أن المتجه المحصل لمتجهين هو المتجه الذي نحصل عليه عندما نجمع هذين المتجهين معًا. عندما يكون لدينا متجهين مرسومين على تمثيل بياني مرسوم بمقياس رسم، يمكننا جمع هذين المتجهين معًا بطريقة الرأس للذيل.

ونحدد ذيل المتجه ورأسه كالتالي. الذيل هو نقطة بداية المتجه، والرأس هو النقطة التي يشير أو يمتد إليها المتجه. إذن، فرسم متجهين بطريقة الرأس للذيل يعني رسم ذيل أحد المتجهين ابتداء من رأس المتجه الآخر. والمتجه المحصل هو ما نحصل عليه عند جمع هذين المتجهين معًا. فهو يبدأ من ذيل المتجه الأول ويمتد إلى رأس المتجه الثاني. لذا في هذا المثال، المتجه المحصل هو هذا السهم الأزرق. ونلاحظ أن المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه المحصل تساوي مجموع المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الأول، والمركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الثاني. وبالمثل، فإن المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه المحصل تساوي مجموع المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الأول، والمركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الثاني.

بالرجوع إلى السؤال، نجد أنه مطلوب منا إيجاد طول المتجه الأحمر، وهو ما نعلم من المعطيات أنه محصلة المتجهين الأزرق والأخضر في الشكل. وإذا نظرنا إلى الشكل، فسنجد أن هذا المتجه الأحمر يبدأ بالفعل من ذيل المتجه الأزرق ويمتد حتى رأس المتجه الأخضر. في هذا السؤال، المتجه الأزرق أفقي تمامًا، والمتجه الأخضر رأسي تمامًا. هذا يعني أن قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين يساوي 90 درجة. يسهل ذلك من مهمتنا في إيجاد الحل. فبما أننا نعلم أن المتجه المحصل الأحمر يبدأ من ذيل المتجه الأزرق ويمتد إلى رأس المتجه الأخضر، ونعلم الآن أن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين الأزرق والأخضر يساوي 90 درجة، فنعلم أن هذه المتجهات الثلاثة يجب أن تكون مثلثًا قائم الزاوية.

المطلوب منا هو إيجاد طول هذا المتجه المحصل؛ ما يعني أن علينا إيجاد طول الوتر في هذا المثلث قائم الزاوية. إذا رمزنا إلى أطوال أضلاع المثلث بالرموز ‪𝑎‬‏، و‪𝑏‬‏، و‪𝑐‬‏، حيث ‪𝑐‬‏ هو الوتر، فإن نظرية فيثاغورس تنص على أن ‪𝑐‬‏ تربيع يساوي ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع. إذا أخذنا الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة، فيمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة ‪𝑐‬‏، وهو طول الوتر، يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع.

في هذه الحالة، ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ هما طولا المتجه الأزرق والمتجه الأخضر على الترتيب، و‪𝑐‬‏ هو طول المتجه الأحمر، وهو المتجه المحصل الذي نحاول إيجاده. إذن، ما تخبرنا به هذه المعادلة هو أنه لإيجاد طول هذا المتجه المحصل، علينا معرفة طولي ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ للمتجه الأزرق والمتجه الأخضر. لحسن الحظ لدينا مقياس في الشكل. وبما أن المتجه الأزرق والمتجه الأخضر يمتدان على طول خطوط الشكل، فهذا يسهل قراءة طوليهما. نعلم أن طول ضلع كل مربع يساوي سنتيمترًا واحدًا. هذا يعني أنه إذا عددنا المربعات التي يمر عليها هذين المتجهين، فهذا العدد يساوي طول هذا المتجه بالسنتيمتر.

بالنسبة إلى المتجه الأخضر، فالأمر بسيط؛ لأن لدينا المسطرة موضوعة في الاتجاه الذي يشير إليه هذا المتجه. إذا نظرنا إلى ذيل هذا المتجه الأخضر وتتبعنا بدايته على المسطرة، فسنجد أنه يبدأ من صفر سنتيمتر. وإذا نظرنا إلى رأسه، فسنجد أنه عند ارتفاع 10 سنتيمترات. إذن، يمكننا القول إن ‪𝑏‬‏ يساوي 10 سنتيمترات.

إذا نظرنا الآن إلى المتجه الأزرق، فسنجد أنه ليس لدينا مسطرة موضوعة في الشكل لنقرأ طوله. ومن ثم علينا عد المربعات. إذا فعلنا ذلك، فسنجد أن طول المتجه الأزرق يساوي واحدًا، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، ثمانية، تسعة، 10 مربعات. وبما أننا نعرف أن طول ضلع المربع يساوي سنتيمترًا واحدًا، يمكننا القول إن طول المتجه الأزرق ‪𝑎‬‏ يساوي 10 سنتيمترات.

يمكننا الآن التعويض بقيمتي ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ في المعادلة لإيجاد ‪𝑐‬‏. بما أن كلًّا من ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ يساوي 10 سنتيمترات، فإن ‪𝑐‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ 10 سنتيمترات تربيع زائد 10 سنتيمترات تربيع. علينا الآن الانتباه إلى الوحدات عند إجراء هذه العملية الحسابية، لأننا إذا حسبنا تربيع 10 سنتيمترات، فسنحصل على 100 سنتيمتر مربع. إذا جمعنا 100 سنتيمتر مربع و 100 سنتيمتر مربع، فسنحصل على 200 سنتيمتر مربع.

الخطوة الأخيرة لحساب قيمة ‪𝑐‬‏ التي تعطينا طول المتجه المحصل هي إيجاد هذا الجذر التربيعي. إذا أخذنا الجذر التربيعي لكمية مقيسة بالسنتيمتر المربع، فسنحصل على كمية مقيسة بوحدة السنتيمتر. وإذا أخذنا الجذر التربيعي لـ 200، فسنحصل على 14.142 وهكذا مع توالي الأرقام العشرية. هذه الكمية التي حسبناها هنا، ‪𝑐‬‏، هي طول المتجه المحصل المطلوب إيجاده. لكن إذا نظرنا إلى السؤال، نجد أنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر. إذن، تقرب الإجابة إلى 14 سنتيمترًا.

وبهذا أخيرًا نحصل على إجابة السؤال، وهي أن طول المتجه المحصل في الشكل لأقرب سنتيمتر يساوي 14 سنتيمترًا.