فيديو: الرسم بمقياس رسم

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نستخدم الرسم بمقياس رسم لتمثيل محصلات الكميات المتجهة ومركبات المتجهات.

١٤:٠٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن التمثيلات البيانية المرسومة بمقياس رسم. وهي تمثيلات بيانية لأجسام أو كميات حقيقية تمثل فيها هذه الأجسام بالنسب الصحيحة لها. ليس هذا وحسب، بل إن الرسم بمقياس رسم يكون علاقة بين بعض الكميات الفيزيائية وتمثيل هذه الكميات على التمثيل البياني. على سبيل المثال، في هذا الرسم الذي يوضح منزلًا، قد يمثل كل سنتيمتر على الورقة مترًا واحدًا من المسافة الرأسية للمنزل الحقيقي. وهذه إحدى طرق تحديد مقياس الرسم بين الجسم الحقيقي وتمثيلنا له.

يتضمن أحد الأنواع الشائعة للتمثيلات البيانية المرسومة بمقياس الرسم استخدام المتجهات، أي الأجسام ذات المقدار والاتجاه، لتمثيل الكميات الفيزيائية. نستخدم عادة المتجهات لتمثيل القوى، لكن يوجد العديد من الكميات الفيزيائية الأخرى التي يمكن تمثيلها. على سبيل المثال، الإزاحة كمية متجهة، وكذلك السرعة والعجلة، وغيرها.

لنفترض الآن أن لدينا متجهين بهذا الشكل، ومعلوم لدينا أن هذين المتجهين مرسومان حسب مقياس رسم معين. هذا يعني أنه عند الرسم على نمط شبكي تظهر عليه المتجهات، تكون المسافات بين علامات الشبكة المتجاورة، في كلا الاتجاهين الأفقي والرأسي، متساوية. بعبارة أخرى، إذا استخدمنا مسطرة لقياس المسافة بين هاتين العلامتين مثلًا، فسنجد أنها تساوي المسافة بين أي علامتين متجاورتين في أي جزء آخر على التمثيل البياني، سواء وضعنا المسطرة رأسيًا أو أفقيًا.

هذا لم يحدث، بالمناسبة، في شكل المنزل الذي شاهدناه في بداية الفيديو. ففي تلك الحالة، أي في الشكل الذي يمثل المنزل، لم يكن المقياس الأفقي مطابقًا للمقياس الرأسي، حيث إنه لم يساوه. لكن في هذا الشكل، وبالمتجهات الممثلة بيانيًا على الشبكة، لدينا تمثيل بياني مرسوم بمقياس رسم.

كما ذكرنا من قبل، يمكن أن تمثل المتجهات العديد من الكميات. فهذان المتجهان قد يمثلان القوة بوحدة نيوتن، أو السرعة بوحدة المتر لكل ثانية، أو أي شيء آخر. وعند وضعهما على هذه الشبكة، لن يكون عدد الوحدات التي تمثل مقداري المتجهين هو المهم، بل المسافة بين علامات الشبكة المتجاورة على مقياس الرسم. نقيس عادة هذه المسافة باستخدام المسطرة.

لننظر إلى هذه المسطرة التي رسمناها للتو. نرى هنا أن المسطرة محددة بوحدات السنتيمتر، وأن المسافة بين كل علامة على الشبكة والعلامة المجاورة لها على مقياس الرسم تساوي سنتيمترًا واحدًا على المسطرة. إذن، في التمثيل البياني الذي رسمناه هنا، يتمثل مقياس الرسم، سواء رأسيًا أو أفقيًا، في علامات الشبكة التي يفصل بينها سنتيمتر واحد. ويسمح لنا وجود تمثيل بياني بمقياس رسم بجمع المتجهات المرسومة عليه باستخدام هذا التمثيل البياني. لكي نفهم كيف يحدث ذلك، لنبدأ في جمع، أو تجميع، المتجهين الوردي والبرتقالي.

أولًا، سنحلل هذين المتجهين إلى مركباتهما الأفقية والرأسية. وبرسم المحورين، سنتمكن من تحديد الاتجاه الأفقي وكذلك الاتجاه الرأسي. إذا ركزنا أولًا على المتجه البرتقالي، يمكننا رسم المركبة الأفقية لهذا المتجه على هذا النحو. نبدأ من نقطة الأصل، ثم نتحرك بطول المحور الأفقي حتى نصل إلى نهاية المركبة الأفقية لهذا المتجه. وبعد ذلك على المحور الرأسي، نطبق الأمر نفسه على المركبة الرأسية؛ فنبدأ من نقطة الأصل ونتحرك حتى نصل إلى نهاية المركبة الرأسية للمتجه.

ما رسمناه بطول هذين المحورين هما المركبتان الأفقية والرأسية للمتجه البرتقالي، على الترتيب. لاحظ أنه عند جمع المركبتين معًا، سنحصل على المتجه البرتقالي الأصلي. لنفعل الآن شيئًا مماثلًا للمتجه الوردي، وذلك بتحليله إلى المركبتين المكونتين له. تبدأ المركبة الأفقية للمتجه الوردي من نقطة الأصل وتتجه مسافة وحدتين يمينًا على الشبكة البيانية. وتبدأ المركبة الرأسية من نقطة الأصل أيضًا وتتحرك مسافة أربع وحدات لأعلى، أو أربعة سنتيمترات حسب مقياس الرسم.

تذكر هنا أن ما نريد فعله هو جمع المتجهين الوردي والبرتقالي بيانيًا. ويمكننا فعل ذلك بجمع مركباتهما الرأسية والأفقية على الترتيب. لنفعل ذلك، سنضيف القليل من علامات المسافة في الاتجاهين الرأسي والأفقي على الشبكة البيانية. وبعد ذلك، يمكننا البدء بإعادة ترتيب المتجهين الأفقيين، أي المركبتين الوردية والبرتقالية لهذين المتجهين، ليصبحا طرفًا إلى طرف هكذا.

بوضعهما بهذه الطريقة، يمكننا عد علامات المسافة على الشبكة التي يشغلها المتجهان. بدءًا من نقطة الأصل، نعد علامة، علامتين، ثلاثًا، أربعًا، خمسًا، ستًا، سبع علامات على الشبكة، أي سبعة سنتيمترات حسب مقياس الرسم. بالتالي عند جمع المتجهين الوردي والبرتقالي معًا، تمتد المركبة الأفقية لهما من نقطة الأصل إلى هذه النقطة على المحور الأفقي.

والآن، سنجري عملية جمع مشابهة للمركبتين الرأسيتين لهذين المتجهين. إذا نقلنا هذين المتجهين ليصبحا طرفًا إلى طرف بطول المحور الرأسي، فسنعد مرة أخرى علامات المسافات على الشبكة بدءًا من نقطة الأصل. علامة، علامتان، ثلاث، أربع، خمس، ست علامات. تمتد إذن المركبة الرأسية المحصلة لهذين المتجهين من نقطة الأصل إلى ست وحدات على المحور الرأسي، أي ستة سنتيمترات.

بدءًا من هذه العلامة، يمكننا رسم خط أفقي على الشبكة. وبعد ذلك، ننتقل مسافة سبعة سنتيمترات إلى يمين نقطة الأصل على المحور الأفقي، ومن هذه النقطة، نرسم خطًا رأسيًا لأعلى. وتكون نقطة تقاطع هذين الخطين هي النقطة التي تصل إليها محصلة المتجهين عندما تبدأ من نقطة الأصل. وبالتالي، إذا جمعنا المتجهين الوردي والبرتقالي، فستكون محصلة المتجهين على شكل هذا المتجه الأزرق. وتساوي قيمة مركبته الأفقية سبعة سنتيمترات، ومركبته الرأسية ستة سنتيمترات. نعرف ذلك لأنه يظهر أمامنا على الشبكة، ولأننا جمعنا المركبات الأفقية والرأسية للمتجهين البرتقالي والوردي.

لا يستخدم الرسم بمقياس رسم لجمع متجهين معًا فقط، بل يمكننا استخدامه أيضًا لإيجاد الاتجاه الذي يشير إليه المتجه. على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد إيجاد اتجاه محصلة المتجهين الممثلة باللون الأزرق هنا. يمكننا تعريف هذا الاتجاه بأنه الزاوية المحصورة بين هذا المحور الأفقي الموجب والمتجه الأزرق نفسه. ويمكننا أن نطلق على هذه الزاوية اسمًا. سنسميها ‪𝜃‬‏.

عندما نفكر في إيجاد قياس ‪𝜃‬‏، نتذكر أننا استخدمنا مسطرة من قبل لتحديد المسافات على الشبكة البيانية. فهذه المسافات، أي المسافات بين علامات الشبكة، خطية. والآن، نريد إيجاد قياس الزاوية ‪𝜃‬‏، أي ما نسميه المسافة الزاوية. لنفعل ذلك، سنستخدم أداة تسمى المنقلة. والمنقلة أداة مصنوعة من البلاستيك الشفاف تسمح لنا بقياس الزوايا بدءًا من صفر درجة وحتى ‪180‬‏ درجة.

عند استخدام المنقلة لقياس زاوية، يجب أخذ أمرين مهمين في الاعتبار. الأمر الأول هو وضع نقطة التقاطع بين الخط الرأسي الذي يصل إلى ‪90‬‏ درجة والخط الأفقي الذي يصل إلى صفر درجة و‪180‬‏ درجة، بحيث تقع نقطة تقاطع هذين الخطين أعلى نقطة الأصل للمحورين. والأمر الآخر هو التأكد من أن خط المنقلة الواقع بين ‪180‬‏ درجة وصفر درجة يوازي المحور الأفقي. باتباع هاتين الخطوتين، ستكون المنقلة موضوعة بشكل دقيق لقياس الزاوية ‪𝜃‬‏.

عند نقل المنقلة إلى هذه النقطة، ستبدو بهذا الشكل. نظرًا لأن المنقلة شفافة، سيمكننا رؤية المتجهات الموجودة خلفها على خطوط الشبكة. لكننا حذفنا هذه الخطوط هنا لتوضيح الرؤية فقط. نلاحظ مع ذلك أننا إذا أكملنا خط المتجه الأزرق حتى نقطة الأصل، وهي النقطة التي بدأ عندها، فستكون هذه النقطة هي نقطة التقاطع بين علامة الزاوية ‪90‬‏ درجة والزاوية صفر درجة على المنقلة. والمنقلة موضوعة كذلك بحيث يتوازى خطها الأفقي، الذي يمتد بين صفر درجة و‪180‬‏ درجة، مع المحور الأفقي للشبكة البيانية.

هذا يعني أنه يمكننا الآن استخدام العلامات الموجودة على المنقلة لنبدأ من صفر درجة حتى نصل إلى المتجه الأزرق الذي نريد إيجاد قياس زاويته. وسنقرأ من على المنقلة القيمة التي يمر عندها المتجه الأزرق بهذه العلامات. ولأننا بدأنا من الصفر وتحركنا لأعلى حتى هذه الزاوية، فستكون قراءتنا هي قياس الزاوية التي أردنا إيجادها، أي ‪𝜃‬‏. يمكننا أن نرى، في الواقع، أننا قسنا الزاوية المحصورة بين محصلة المتجهين الممثلة بالمتجه الأزرق والمركبة الأفقية لهذا المتجه. لم نرسم هذه المركبة، لكننا نعرف أنها تقع على طول المحور الأفقي.

عرفنا إذن أنه عند الرسم بمقياس رسم، يمكننا استخدام المسطرة لقياس المسافات والمنقلة لقياس الزوايا. ونظرًا لاتساق مقياس الرسم، أي إن علامات الشبكة يفصل بينها دائمًا المسافة نفسها، نعرف أن القياسات المقروءة من المسطرة والمنقلة تصف بدقة التمثيل البياني بمقياس رسم. بعد معرفة كل ذلك، دعونا نتمرن قليلًا من خلال مثال تدريبي.

رسمت بعض المتجهات بنفس المقياس على شبكة رسم. المتجه الأخضر هو المركبة الرأسية للمتجه الأحمر. المتجه الأزرق هو المركبة الأفقية للمتجه الأحمر. ما الزاوية المحصورة بين المتجه الأحمر ومركبته الأفقية؟

بالنظر إلى التمثيل البياني، نرى هذه الشبكة وعليها ثلاثة متجهات. يوجد متجه أحمر، وآخر أخضر، وآخر أزرق. وتشير المعطيات إلى أن المتجه الأخضر هو المركبة الرأسية للمتجه الأحمر، والمتجه الأزرق هو مركبته الأفقية. هذا يعني أنه عند قياس المركبة الرأسية للمتجه الأحمر، سنجد أن طولها يساوي المتجه الأخضر. وعند قياس المركبة الأفقية للمتجه الأحمر، سنجد أن طولها يساوي المتجه الأزرق.

والسؤال هنا هو: ما الزاوية المحصورة بين المتجه الأحمر ومركبته الأفقية؟ ونعلم أنه توجد طريقة أخرى لطرح هذا السؤال، وهي: ما الزاوية المحصورة بين المتجه الأحمر والمتجه الأزرق؟ إذا بدأنا من المتجه الأحمر، فستبدو الزاوية بهذا الشكل. ونريد إيجاد قياس هذه الزاوية. سنفعل ذلك باستخدام هذه الأداة التي تسمى المنقلة.

تقسم المنقلة الزوايا بين صفر درجة من ناحية و‪180‬‏ درجة من الناحية الأخرى بالتساوي. ونرى أن هذه المنقلة موضوعة بحيث تكون نقطة تقاطع المتجه الأزرق مع المتجه الأخضر في نفس موضع نقطة تقاطع خط الزاوية ‪90‬‏ درجة مع خط الزاوية صفر أو ‪180‬‏ درجة على المنقلة. بالإضافة إلى ذلك، فإن الخط الأفقي الواصل بين صفر درجة و‪180‬‏ درجة على المنقلة يتوازى مع المتجه الأزرق. وهو ما يعني أنه يتوازى مع المركبة الأفقية للمتجه الأحمر. وهذا كله يعني أن المنقلة موضوعة في المكان الصحيح لقياس الزاوية المحصورة بين المتجه الأحمر ومركبته الأفقية.

بالنظر إلى المنقلة، سنلاحظ وجود تدريجين للزوايا عليها. التدريج الأول، وهو الموجود على الحافة الخارجية، يبدأ من صفر درجة على اليسار إلى ‪180‬‏ درجة على اليمين. والتدريج الآخر، الذي يمكن أن نطلق عليه التدريج الداخلي، يكون في الاتجاه المعاكس حيث يبدأ من ‪180‬‏ درجة على اليسار إلى صفر درجة على اليمين. صممت المنقلة بهذا الشكل كي يتسنى لنا دائمًا القياس بسهولة من الصفر وحتى أي زاوية موجبة.

والزاوية التي سنقيسها في هذه الحالة، التي يمكن أن نسميها ‪𝜃‬‏، هي زاوية موجبة. ونلاحظ أنها تساوي الفرق بين الموضع الزاوي للمتجه الأزرق والموضع الزاوي للمتجه الأحمر. يمكننا قياس ‪𝜃‬‏ على التدريج الداخلي بدءًا من المتجه الأحمر ونزولًا لأسفل حتى صفر درجة. لكن إذا نظرنا إلى المنقلة، فسنجد ميزة لاستخدام مجموعة القياسات الخارجية.

لاحظ أنه على التدريج الداخلي للمنقلة، أصغر فرق محدد بين الزوايا على المقياس هو ‪10‬‏ درجات. لكن إذا نظرنا إلى التدريج الخارجي، فسنجد أن الزوايا مقسمة إلى أجزاء أصغر بكثير. على سبيل المثال، لنبدأ من هذه العلامة تحديدًا، عند ‪50‬‏ درجة على التدريج الخارجي. إذا عددنا علامات التدريج حتى نصل إلى ‪60‬‏ درجة، فسنعد علامة واحدة، علامتين، ثلاثًا، أربعًا، خمس علامات. وهذه هي نقطة المنتصف بين ‪50‬‏ و‪60‬‏.

بعد ذلك نستمر في عد العلامة السادسة، ثم السابعة، والثامنة، والتاسعة، وعند العلامة العاشرة نصل إلى ‪60‬‏ درجة. هذا يعني أنه عند وجود ‪10‬‏ علامات تدريج بين ‪50‬‏ درجة و‪60‬‏ درجة، يكون الفرق بين علامات التدريج المتجاورة — وهو ما يمكن تسميته دقة المقياس — هو درجة واحدة. وهو أصغر فرق يسمح هذا المقياس بقياسه بين زاويتين. وبالتأكيد درجة واحدة أفضل من ‪10‬‏ درجات. لنستخدم إذن التدريج الخارجي لقياس الزاوية ‪𝜃‬‏.

إذا نظرنا إلى النقطة التي يمر عندها المتجه الأحمر بالتدريج الخارجي للمنقلة، فسنرى أنها تقع بعد علامتين من علامات التدريج الموجودة أعلى الزاوية التي قياسها ‪130‬‏ درجة. وإذا نظرنا إلى اليسار، أي عكس اتجاه عقارب الساعة على المنقلة، فسنرى أن الزاوية المحددة التالية هي ‪120‬‏ درجة. هذا يعني أن المتجه الأحمر يمر بالمنقلة قبل ‪130‬‏ درجة بعلامتي تدريج، أو درجتين. ‏‏‪130‬‏ درجة ناقص اثنين يساوي ‪128‬‏.

لكن هذه ليست الزاوية ‪𝜃‬‏ التي نريد إيجادها. بل إن الزاوية التي قياسها ‪128‬‏ هي هذه الزاوية التي نحصل عليها عند القياس من صفر درجة إلى المتجه الأحمر على التدريج الخارجي. ونرى أن ‪𝜃‬‏ تساوي الفرق بين هذه الزاوية و‪180‬‏ درجة. وذلك لأن أكبر زاوية على التدريج الخارجي هي ‪180‬‏ درجة. وهو ما يعني أنه لإيجاد ‪𝜃‬‏ علينا طرح ‪128‬‏ درجة من ‪180‬‏ درجة. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على الزاوية المحددة باللون البرتقالي، الزاوية ‪𝜃‬‏. ‏‏‪180‬‏ درجة ناقص ‪128‬‏ درجة يساوي ‪52‬‏ درجة. هذه إذن هي الزاوية المحصورة بين المتجه الأحمر ومركبته الأفقية.

لنلخص الآن ما تعلمناه عن الرسم بمقياس رسم. رأينا في هذا الدرس أن الرسم بمقياس رسم يمثل الكميات المتجهة، مثل القوة أو الإزاحة أو العجلة؛ وذلك وفقًا لمقياس رسم تدريجي متسق. على سبيل المثال، إذا كان هذا متجهًا يمثل قوة، فيمكننا رسمه على شبكة مكونة من علامات بينها مسافات متساوية. عرفنا أيضًا أن مقياس رسم الشبكة، أي المسافات بين علامات الشبكة المتجاورة، يمكن تحديده باستخدام مسطرة.

ورأينا، بعد ذلك، أنه عند رسم المتجهات حسب مقياس رسم معين، فهذا يعني أنه يمكننا قياس مقدارها واتجاهها، أي زواياها بالنسبة إلى المحور الأفقي مثلًا، على الشبكة التي توجد عليها هذه المتجهات. وعلمنا أن القياس يكون باستخدام المسطرة لتحديد مقدار المتجه، وباستخدام المنقلة لتحديد اتجاه المتجه، أو زاويته.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.