في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم الرسم بمقياس نسبي لتمثيل محصلة الكميات المتجهة ومركبات المتجهات.
تخيَّل طيارًا يريد أن يتجه شمالًا عموديًّا على رياح تهب بشكل ثابت في اتجاه الغرب. سرعة الطائرة وسرعة الرياح، ويمثِّلهما على الرسم سهمان، يبدوان بالشكل الآتي:
ويُسمَّى هذا رسمًا بمقياس. عند الرسم بمقياس، تكون جميع المسافات على الشبكة متساوية، ويمثِّل عرضها وطولها كميتين فيزيائيتين بناءً على المتجهات الموضَّحة. بوجه عام، يمكن تمثيل المتجهات التي تمثِّل أي كمية، مثل العجلة، والإزاحة، والقوة، على تمثيل بياني مرسوم بمقياس.
من أحد الأسباب التي تجعل الرسم بمقياس رسمٍ مفيدًا هو أنه يتيح لنا جمع المتجهات بيانيًّا. ونفعل ذلك باستخدام طريقة توصيل الرأس بالذيل؛ أي وضع رأس المتجه الأول عند ذيل المتجه الثاني؛ بحيث يكون المتجه المرسوم من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الثاني هو متجه المحصلة.
في الشكل السابق، لإيجاد مجموع المتجهين، يمكننا نقل متجه سرعة الرياح؛ بحيث يكون ذيله عند رأس متجه الطائرة، على النحو الآتي:
مجموع المتجهين هو متجه (باللون الأخضر) يُشير إلى الشمال مباشرةً.
لاحِظ أنه يمكن جمع المتجهات باستخدام هذه الطريقة حتى إذا كان نوع المتجه المُعطى على التمثيل البياني غير معرَّف.
مثال ١: إيجاد محصلة المتجهات على رسم بمقياس نسبي
رُسِمت بعض المتجهات بمقياس رسم على شبكة. أيُّ متجه ملوَّن يوضِّح محصلة المتجهين الأسودين ، ؟
- الأزرق
- الأصفر
- الأحمر
- الأخضر
الحل
بما أن كل العناصر الموضَّحة على هذا الشكل هي أسهم، إذن نعرف أن كلًّا منها يمثِّل متجهًا. يمكننا جمع المتجهين ، باستخدام طريقة الرأس للذيل.
ويتضمَّن هذا إما تحريك المتجه ؛ بحيث يكون رأسه عند ذيل المتجه ، أو تحريك المتجه ؛ بحيث يكون ذيله عند رأس المتجه . إذا اخترنا الطريقة الثانية وحرَّكنا المتجه ، فسيبدو الشكل كالآتي:
المتجه من ذيل المتجه إلى رأس المتجه موضَّح بالمتجه الأحمر. إذن الإجابة هي الخيار (ج).
توجد فائدة أخرى للرسم بالمقياس النسبي، وهي أنه يساعدنا في إيجاد مركبات المتجهات. نفترض أن لدينا المتجه مرسوم بمقياس على تمثيل بياني، كما هو موضَّح:
يسمح لنا التمثيل البياني المرسوم بمقياس من تحديد طول المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه باستخدام المسافات بين الخطوط على الشبكة، كالآتي:
إذا عَرَفنا أيضًا المقياس المرسوم به الشكل، يمكننا إيجاد طول كلتا المركبتين. وبمعرفة طولَيْهما، يمكننا أيضًا تحديد طول المتجه الأصلي، وهو في هذه الحالة .
مثال ٢: إيجاد قيمة طول متجه على رسم بمقياس نسبي
رُسِمت عدة متجهات بنفس مقياس المسطرة الموضَّح في شبكة الرسم. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي 1 cm. يمثِّل المتجه الأحمر محصلة المتجهين الأزرق والأخضر. ما طول المتجه المحصل، مقيسًا لأقرب سنتيمتر؟
الحل
في هذا التمثيل البياني المرسوم بمقياس، نرى رأس المتجه الأزرق عند ذيل المتجه الأخضر. وهذا يعني أن المتجه من ذيل المتجه الأزرق إلى رأس المتجه الأخضر هو محصلتهما، أو حاصل جمعهما. المتجه الأحمر هو هذه المحصلة.
وبما أن المتجه الأخضر هو متجه رأسي تمامًا؛ أي ليس له مركبة أفقية، والمتجه الأزرق هو متجه أفقي تمامًا، إذن يمكننا التفكير فيهما باعتبارهما مركبتَي المتجه الأحمر.
المسطرة السنتيمترية الموضَّحة في الشكل توضِّح لنا أن كل مسافة على الشبكة تساوي طولًا قدره سنتيمتر واحد. ومن ثَمَّ، إذا عددنا المسافات على الشبكة التي تمثِّل طول المتجه الأخضر، فسنعرف ارتفاعه بالسنتيمتر، كما هو موضَّح بالشكل الآتي:
بما أن مسافات الشبكة الموضَّحة في هذا المثال مربعة الشكل، إذن عرض كل مسافة على الشبكة يساوي سنتيمترًا واحدًا أيضًا. يمكننا استخدام طريقة العد نفسها لإيجاد طول المتجه الأزرق كالآتي:
يكوِّن المتجهان الملوَّنان باللون الأخضر والأزرق ضلعَي مثلث قائم الزاوية، والمتجه الأحمر هو وتر هذا المثلث.
ولكن بدلًا من حساب طول المتجه الأحمر، نريد قياسه باستخدام المسطرة التي لدينا. يمكننا البدء في فعل ذلك باستخدام حافة مستقيمة نضعها موازية للمتجه الأحمر، ونضع علامة عند ذيل المتجه ورأسه، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:
المسافة بين هاتين العلامتين تساوي طول المتجه الأحمر. ويمكننا قياس هذه المسافة بتدوير الحافة المستقيمة؛ بحيث تكون موازية للمسطرة، كالآتي:
المسافة بين العلامتين الموضَّحتين على الحافة المستقيمة أكبر بقليل من 12 cm.
إذن، لأقرب سنتيمتر؛ يكون طول المتجه الأحمر 12 cm.
من الاستخدامات الأخرى للتمثيل البياني المرسوم بمقياس رسم هو أنه يسمح لنا بإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجه مُعطى وإحدى مركباته. ونفعل ذلك باستخدام أداة تُسمَّى المنقلة، موضَّحة في الشكل الآتي:
على هذه المنقلة علامات تمثِّل زوايا تتراوح من 0 إلى 180 درجة، بزيادة مقدارها درجة واحدة.
إذا كان لدينا زاوية كالموضَّحة سابقًا، فيمكننا قياسها بوضع نقطة أصل المنقلة (المُشار إليها هنا بعلامة زائد) عند رأس الزاوية، ثم محاذاة شعاع الزاوية مع خط الصفر كالآتي:
ويمكننا استخدام طريقة مشابهة لهذه لقياس الزوايا في الأشكال المرسومة بمقياس. نهدف تحديدًا إلى قياس الزاوية المحصورة بين متجه وإحدى مركباته المرسومة بمقياس.
مثال ٣: قياس زاوية في تمثيل بياني مرسوم بمقياس باستخدام المنقلة
رُسِمت بعض المتجهات بنفس المقياس على شبكة رسم مربعة. المتجه الأخضر هو المركبة الرأسية للمتجه الأحمر. المتجه الأزرق هو المركبة الأفقية للمتجه الأحمر. ما الزاوية المحصورة بين المتجه الأحمر ومركبته الأفقية؟
الحل
يخبرنا نص المسألة بأن المتجهين الملوَّنين باللون الأخضر والأزرق مركبتان للمتجه الأحمر.
نحن نريد تحديد الزاوية المحصورة بين المتجه الأحمر ومركبته الأفقية؛ أي المتجه الأزرق. لاحِظ أن المنقلة موضوعة بالفعل؛ بحيث يطابق أحد ضلعَي الزاوية التي نريد قياسها طول خط الصفر على المنقلة، كما يقع رأس الزاوية عند نقطة أصل المنقلة.
إذن نقرأ القياس من خط الصفر وحتى النقطة التي يتقاطع عندها الخط الأحمر مع أدق علامة.
الزاوية التي باللون الأزرق، والموضَّحة في الشكل السابق، هي التي نريد قياسها. نلاحظ أن هذه الزاوية أكبر من 50 درجة وأقل من 60 درجة. ولإيجاد قياسها إلى أقرب درجة، نركِّز على الجزء الدائري بالمنقلة. وهنا، كل خط يمثِّل فرقًا في الزاوية مقداره درجة واحدة.
يتقاطع الخط الأحمر مع علامةٍ بعد 130 درجة بعلامتين. وهذا تدريج مختلف عن التدريج الذي نستخدمه، لكن لاحظ أن 130 درجة على هذا التدريج الخارجي تناظر 50 درجة على التدريج الداخلي الذي نستخدمه.
إذن الزاوية التي نقيسها تقع بعد درجتين من، أو أكبر بدرجتين من 50 درجة. إذن قياس الزاوية المحصورة بين المتجه الأحمر ومركبته الأفقية 52 درجة.
النقاط الرئيسية
- يتيح لنا الرسم بمقياس نسبي تمثيل المتجهات من أي نوع على شبكة رسم.
- نظرًا لأن مسافات الشبكة عند الرسم بمقياس تكون متساوية، يمكننا استخدامها لتحديد المركبات المتعامدة للمتجهات وقياسها.
- يمكن جمع متجهين أو أكثر على تمثيل بياني مرسوم بمقياس، وذلك باستخدام طريقة الرأس للذيل.
- يمكن قياس الزاوية المحصورة بين أي متجه وأيٍّ من مركباته باستخدام منقلة.
