نسخة الفيديو النصية
تتمدد كرة غاز فيزيد نصف قطرها من 0.5 متر إلى مترين. تظل درجة الحرارة ثابتة أثناء التمدد. كم مثلًا يساوي ضغط الغاز في الكرة قبل التمدد منه بعد التمدد؟
في هذه السؤال، عرفنا من المعطيات أن لدينا كرة غاز. وعرفنا أن كرة الغاز تتمدد فيزداد نصف قطرها من 0.5 متر إلى مترين. بعبارة أخرى، هذه الكرة تمثل الغاز قبل التمدد. ونصف قطرها يساوي 0.5 متر. وهذه هي الكرة بعد تمدد الغاز، ونصف قطرها يساوي مترين. من النقاط المهمة الأخرى التي عرفناها من معطيات السؤال أن درجة حرارة الغاز تظل ثابتة أثناء عملية التمدد.
الآن، ما يطلبه منا السؤال هو معرفة كم مثلًا يساوي ضغط الغاز في الكرة قبل التمدد من ضغط الغاز بعد التمدد. بعبارة أخرى، يطلب السؤال معرفة كم مثلًا يقل ضغط الغاز بعد التمدد في هذه الكرة، مقارنة بضغط الغاز قبل التمدد في هذه الكرة، وعند هذه النقطة نتطرق إلى ما يلي. نحن نتحدث عن كرة غاز. ولأننا نعرف شكل الحيز الذي يشغله الغاز، يمكننا إيجاد حجم الغاز. علاوة على ذلك، ما نحاول إيجاده هو مقدار تغير ضغط الغاز قبل التمدد إلى ما بعد التمدد. وعرفنا من المعطيات أن درجة حرارة الغاز تظل ثابتة أثناء عملية التمدد.
لذلك في هذه الحالة، نحتاج إلى تذكر ما يعرف باسم قانون بويل. وينص هذا القانون على أن حاصل ضرب الضغط والحجم لا بد أن يظل ثابتًا إذا ظلت درجة حرارة الغاز ثابتة. وفي هذه الحالة يتحقق هذا الشرط. فقد علمنا من معطيات السؤال أن درجة الحرارة تظل ثابتة. وبالتالي، فإن حاصل ضرب الضغط والحجم يجب أن يظل ثابتًا أيضًا.
بعبارة أخرى، إذا قلنا إن ضغط كرة الغاز قبل التمدد هو 𝑃 صفر وحجمها 𝑉 صفر، وبعد التمدد أصبح ضغطها 𝑃 واحد وحجمها 𝑉 واحد، وحيث إن حاصل ضرب الضغط والحجم يجب أن يظل ثابتًا في أي وقت، يمكننا القول إن حاصل ضرب 𝑃 صفر في 𝑉 صفر لا بد أن يساوي حاصل ضرب 𝑃 واحد في 𝑉 واحد. ذلك لأن درجة الحرارة ثابتة. وبالتالي، يجب أن يظل حاصل ضرب 𝑃 صفر و𝑉 صفر ثابتًا. وحاصل ضرب 𝑃 واحد و𝑉 واحد يجب أيضًا أن يساوي الثابت نفسه، لأن حاصل الضرب لا يتغير.
وفي ضوء هذه المعلومات، يمكننا معرفة كم مثلًا يساوي 𝑃 واحد مقارنة بـ 𝑃 صفر. لكن للقيام بذلك، نحتاج أولًا إلى معرفة قيمة 𝑉 صفر وقيمة 𝑉 واحد. إذن، لنوجد حجم كل منهما. نعلم أن لدينا كرتين من الغاز. ولحسن الحظ، عرفنا من المعطيات أيضًا قيمة نصف قطر كل كرة من هاتين الكرتين. وهذا مفيد لنا، لأنه يمكننا تذكر أن المعادلة التي نحصل منها على حجم أي كرة تنص على أن الحجم يساوي حاصل ضرب أربعة على ثلاثة في 𝜋 في نصف قطر الكرة تكعيب.
إذن يمكننا استخدام هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝑉 صفر و𝑉 واحد. لنبدأ بـ 𝑉 صفر. نقول إن الحجم 𝑉 صفر يساوي حاصل ضرب أربعة على ثلاثة في 𝜋 في 𝑟 صفر تكعيب، حيث 𝑟 صفر هو نصف قطر الكرة الأولى. عرفنا من المعطيات بالفعل أن 𝑟 صفر يساوي 0.5 متر. لكننا لن نعوض بهذه القيمة في المعادلة الآن. وسنفهم لماذا بعد قليل.
بدلًا من ذلك، لنوجد صيغة لـ 𝑉 واحد، أي حجم الكرة الكبيرة. لقد ذكرنا إن 𝑉 واحد يساوي حاصل ضرب أربعة على ثلاثة في 𝜋 في نصف قطر الكرة الكبيرة تكعيب، وعرفنا من المعطيات أن 𝑟 واحد يساوي مترين. لكن مجددًا، لن نعوض بهذه القيمة الآن. وبعد أن حصلنا على هاتين الصيغتين، لنرجع إلى المعادلة هنا.
ما نحاول القيام به في هذه المسألة هو معرفة كم مثلًا يساوي ضغط الغاز في الكرة قبل التمدد من ضغط الغاز بعد التمدد. بعبارة أخرى، نحن نحاول معرفة كم مثلًا يقل 𝑃 واحد عن 𝑃 صفر. أسهل طريقة للقيام بذلك هي إيجاد النسبة 𝑃 واحد على 𝑃 صفر؛ لأننا سنعرف من هذه النسبة كم مثلًا يقل أو يزيد 𝑃 واحد مقارنة بـ 𝑃 صفر، وهذا يعني أننا نحتاج لإعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث نحصل على 𝑃 واحد مقسومًا على 𝑃 صفر في أحد طرفي المعادلة.
لنقم بذلك الآن. ولنقسم أولًا كلا طرفي المعادلة على 𝑃 صفر. بهذه الطريقة يصبح لدينا 𝑃 واحد على 𝑃 صفر في الطرف الأيمن حتى الآن، ويحذف كلا المقدارين 𝑃 صفر من الطرف الأيسر. ولكن يتبقى لدينا 𝑉 واحد في الطرف الأيمن. وبالتالي، يمكننا فقط قسمة كلا طرفي المعادلة على 𝑉 واحد. وبهذه الطريقة يحذف كلا المقدارين 𝑉 واحد من الطرف الأيمن. على اليسارلدينا 𝑉 صفر على 𝑉 واحد، وعلى اليمين لدينا 𝑃 واحد على 𝑃 صفر.
لنفرغ كل ذلك ونكتبه بصورة مرتبة. نؤكد مجددًا أن 𝑉 صفر على 𝑉 واحد يساوي 𝑃 واحد على 𝑃 صفر، وهنا يمكننا تذكر أن لدينا صيغتين لـ 𝑉 صفر و𝑉 واحد. إذن، لماذا لا نعوض بهاتين الصيغتين؟ نحن نقول إن 𝑉 صفر يساوي حاصل ضرب أربعة على ثلاثة في 𝜋 في 𝑟 صفر تكعيب. ونقسم ذلك على 𝑉 واحد، الذي يساوي حاصل ضرب أربعة على ثلاثة في 𝜋 في 𝑟 واحد تكعيب.
والآن نفهم لماذا لم نعوض بالقيم في طرفي الجانب الأيمن لـ 𝑉 صفر و𝑉 واحد؛ لأن لدينا في الكسر أربعة على ثلاثة مقسوم على أربعة على ثلاثة، و𝜋 مقسوم على 𝜋. لذا سيحذف كل ذلك. ويتبقى لدينا فقط 𝑟 صفر تكعيب على 𝑟 واحد تكعيب في الطرف الأيسر. مرة أخرى، بترتيب هذه الصيغة الآن، يصبح لدينا 𝑟 صفر تكعيب مقسوم على 𝑟 واحد تكعيب فقط في الطرف الأيسر. وهذا يساوي النسبة التي نبحث عنها لناتج قسمة 𝑃 واحد على 𝑃 صفر.
عند هذه النقطة، ينبغي أن نعوض بقيمة 𝑟 صفر وقيمة 𝑟 واحد. قيمة 𝑟 صفر تساوي 0.5 متر. إذن لدينا 0.5 تكعيب في البسط، و𝑟 واحد يساوي مترين. إذن لدينا اثنان تكعيب في المقام، وعندئذ يمكننا تقييم الكسر في الطرف الأيسر، ومن ثم يصبح لدينا واحدًا على 64. وهذا يعني أن 𝑃 واحد، الذي يمثل ضغط الغاز بعد التمدد، يقل 64 مثلًا عن 𝑃 صفر.
لكي نفهم ذلك بصورة أكثر وضوحًا، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة من خلال ضرب كلا طرفي المعادلة في 𝑃 صفر. وبهذه الطريقة، يحذف كلا المقدارين 𝑃 صفر في الطرف الأيمن. ويتبقى لدينا 𝑃 واحد في الطرف الأيمن و𝑃 صفر مضروبًا في واحد على 64 في الطرف الأيسر. وهذا يعني أن 𝑃 واحد يساوي واحدًا على 64 من 𝑃 صفر، أو 𝑃 واحد تقل بمقدار 64 مثلًا عن 𝑃 صفر، أو إذا ضربنا كلا طرفي المعادلة في 64، يحذف كلا المقدارين 64 في الطرف الأيسر. وبذلك، تزيد 𝑃 صفر بمقدار 64 مثلًا عن 𝑃 واحد. إذن لا بد أن تقل 𝑃 واحد بمقدار 64 مثلًا عن 𝑃 صفر.
أيًّا كانت الطريقة التي ننظر بها إلى هذه المقارنة، فإننا نصل إلى نفس الإجابة. يطلب منا السؤال معرفة كم مثلًا يساوي ضغط الغاز في الكرة قبل التمدد منه بعد التمدد. والإجابة عن ذلك هي أن ضغط الغاز قبل التمدد يساوي 64 مثلًا من الضغط بعد التمدد.
