فيديو السؤال: إيجاد عدد حلول نظام معادلات خطية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد عدد حلول نظام المعادلات الخطية الآتي: ١٢، ستة، ٢٠، واحد، ٢٠، ثمانية، سالب ١١، ١٤، سالب ١٢ مضروبًا في ﺱ، ﺹ، ‏ﻉ يساوي خمسة، ١٦، ١١.

في هذا السؤال، لدينا نظام مكون من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة مجاهيل مكتوبًا على صورة معادلة مصفوفية. لدينا مصفوفة المعاملات من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، والتي سنسميها ﺃ، مضروبة في مصفوفة المتغيرات، وذلك يساوي مصفوفة الثوابت، التي سنسميها ﺏ. لإيجاد عدد الحلول، سنبدأ بتذكر نظرية روشيه-كابيللي. تنص هذه النظرية على أنه يكون لنظام المعادلات الخطية حلول إذا — وفقط إذا — كانت مرتبة مصفوفة المعاملات له تساوي مرتبة مصفوفته الموسعة.

وبشكل أكثر تحديدًا، لدينا ثلاث فرضيات محتملة. أولًا: إذا كانت مرتبة مصفوفة المعاملات ﺃ لا تساوي مرتبة المصفوفة الموسعة ﺃ خط رأسي ﺏ، فلن توجد أي حلول للنظام. ثانيًا: إذا كانت مرتبة مصفوفة المعاملات تساوي مرتبة المصفوفة الموسعة، وهو ما يساوي ﻥ، فسيكون للنظام حل وحيد؛ حيث ﻥ هو عدد المتغيرات في نظام المعادلات الخطية. وأخيرًا، إذا كانت مرتبة مصفوفة المعاملات تساوي مرتبة المصفوفة الموسعة، لكنها لا تساوي ﻥ، فسيكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول.

كما ذكرنا من قبل، فإن مصفوفة المعاملات ﺃ تساوي ١٢، ستة، ٢٠، واحدًا، ٢٠، ثمانية، سالب ١١، ١٤، سالب ١٢. والمصفوفة الموسعة ﺃ خط رأسي ﺏ هي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في أربعة كما هو موضح. إننا نضيف مصفوفة الثوابت إلى الجانب الأيسر من مصفوفة المعاملات. بعد ذلك، نتذكر أن مرتبة المصفوفة هي عدد الصفوف أو الأعمدة ﻙ لأكبر مصفوفة جزئية مربعة من الرتبة ﻙ في ﻙ، والتي قيمة محددها لا تساوي صفرًا. ونلاحظ أن المصفوفة ﺃ بها صف واحد يمكن تكوينه من خلال تركيب خطي من الصفين الآخرين. على وجه التحديد، عناصر الصف الثاني تساوي مجموع عناصر الصفين الأول والثالث. وبما أن أحد الصفوف عبارة عن تركيب خطي من الصفين الآخرين، فلا بد أن تكون مرتبة ﺃ أصغر من ثلاثة. ويمكننا التحقق من ذلك مباشرة باستخدام المحددات.

المصفوفة الجزئية الوحيدة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة من مصفوفة المعاملات هي المصفوفة ﺃ نفسها. وبحساب قيمة محدد المصفوفة ﺃ عن طريق الفك باستخدام الصف العلوي، يصبح لدينا ١٢ مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وهي: ٢٠، ثمانية، ١٤، سالب ١٢ ناقص ستة مضروبًا في محدد المصفوفة واحد، ثمانية، سالب ١١، سالب ١٢ زائد ٢٠ مضروبًا في محدد المصفوفة واحد، ٢٠، سالب ١١، ١٤. محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: ﺃ، ‏ﺏ، ﺟ، ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. إننا نوجد حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر، ثم نطرح منه حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن.

من ثم، قيمة محدد المصفوفة ﺃ يساوي ١٢ مضروبًا في سالب ٣٥٢ ناقص ستة مضروبًا في ٧٦ زائد ٢٠ مضروبًا في ٢٣٤. وبما أن هذه القيمة تساوي صفرًا، فإن مرتبة المصفوفة ﺃ لا تساوي ثلاثة. عند حساب قيمة محدد المصفوفة ﺃ، لاحظنا أن أكبر مصفوفة جزئية من المصفوفة ﺃ قيمة محددها لا تساوي صفرًا هي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. إذن، مرتبة مصفوفة المعاملات ﺃ تساوي اثنين.

الخطوة التالية هي إيجاد مرتبة المصفوفة الموسعة ﺃ خط رأسي ﺏ. كما ذكرنا من قبل، هذه مصفوفة من الرتبة ثلاثة في أربعة. إذن، لإيجاد مصفوفة جزئية مربعة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، علينا حذف أحد الأعمدة. بحذف العمود الرابع، سيتبقى لدينا مصفوفة المعاملات. وقد وجدنا بالفعل أن قيمة محدد هذه المصفوفة تساوي صفرًا. ومن ثم، علينا التفكير في المصفوفات الجزئية الأخرى من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، التي تتكون عن طريق حذف العمود الأول والثاني والثالث، على الترتيب. بحذف العمود الأول، يتبقى لدينا مصفوفة جزئية من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وهي: ستة، ٢٠، خمسة، ٢٠، ثمانية، ١٦، ١٤، سالب ١٢، ١١.

بالفك باستخدام أي صف أو عمود، نجد أن قيمة محدد هذه المصفوفة تساوي صفرًا أيضًا. ونحصل على النتيجة نفسها عند حذف العمود الثاني من المصفوفة الموسعة. بعبارة أخرى، قيمة محدد المصفوفة ١٢، ٢٠، خمسة، واحد، ثمانية، ١٦، سالب ١١، سالب ١٢، ١١ تساوي صفرًا. وأخيرًا، عندما نحذف العمود الثالث من المصفوفة الموسعة، نجد أن قيمة محدد المصفوفة الجزئية المربعة المتبقية من الرتبة ثلاثة في ثلاثة تساوي صفرًا أيضًا. بذلك نكون قد أثبتنا أن قيمة محدد أي مصفوفة جزئية من الرتبة ثلاثة في ثلاثة من المصفوفة ﺃ خط رأسي ﺏ تساوي صفرًا. ونتيجة لذلك، فإن مرتبة المصفوفة ﺃ خط رأسي ﺏ تساوي اثنين. وذلك لأن أكبر مصفوفة جزئية من المصفوفة الموسعة ﺃ خط رأسي ﺏ قيمة محددها لا تساوي صفرًا هي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين.

باستخدام نظرية روشيه-كابيللي، نلاحظ أن مرتبة مصفوفة المعاملات تساوي مرتبة المصفوفة الموسعة. ومع ذلك، فإنهما لا يساويان ﻥ؛ لأن مصفوفة المعاملات هي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. إذن، يمكننا استنتاج أن نظام المعادلات الخطية هذا له عدد لا نهائي من الحلول.