نسخة الفيديو النصية
قرر بستاني تصميم منطقة عشبية خضراء في حديقة ذات مناظر طبيعية، وتقسيمها إلى أجزاء متسلسلة مع أفنية دائرية تصل إلى المنطقة العشبية، كما هو موضح في الشكل التالي. يقسم البستاني المنطقة العشبية الخضراء الدائرية إلى ستة قطاعات دائرية متساوية، طول نصف قطر كل منها ثمانية أمتار. الخطان المستقيمان ﻭﺃ، ﻭﺏ مماسان للدائرة، والقوس ﺃﺏ يمس الدائرة في نقطة واحدة.
هذا السؤال مقسم إلى ثلاثة أجزاء. لنتناول الجزء الأول من السؤال.
أوجد مساحة القطاع ﻭﺃﺏ. اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.
تذكر أنه لإيجاد مساحة قطاع ما، نستخدم الصيغة نصف في نصف القطر تربيع في 𝜃، حيث 𝜃 هي زاوية القطاع بالراديان. علينا تحويل ٦٠ درجة إلى راديان. ويمكننا فعل ذلك بضرب ٦٠ في 𝜋 على ١٨٠. يبسط ٦٠ على ١٨٠ إلى واحد على ثلاثة، مما يجعل قياس الزاوية ٦٠ درجة يكافئ 𝜋 على ثلاثة راديان. الآن، يمكننا التعويض بما نعرفه في الصيغة، وسيصبح لدينا نصف في ثمانية تربيع في 𝜋 على ثلاثة. ثمانية تربيع يساوي ٦٤. ٦٤ في نصف يساوي ٣٢. إذن، مساحة القطاع تساوي ٣٢𝜋 على ثلاثة. تذكر أن نصف القطر معطى لنا بوحدة المتر. وهذا يجعل وحدة المساحة هي المتر المربع.
في الجزء الثاني من السؤال، يريد البستاني أن يحسب نصف قطر الفناء الدائري. باستخدام النسب المثلثية، احسب نصف قطر الفناء. اكتب الإجابة في صورة كسر.
يوجد مثلثان علينا تناولهما لإيجاد نصف قطر الفناء الدائري. تذكر أن قياس الزاوية المحصورة بين مماس الدائرة ونصف قطرها يساوي 𝜋 على اثنين راديان، أو ٩٠ درجة. وإذا جعلنا مركز الدائرة هو النقطة ﻡ، فيمكننا رسم مثلث قائم الزاوية بحيث يمتد طول الوتر من ﻭ إلى ﻡ. إذا مددنا الخط ﻭﻡ لأعلى حتى النقطة ﺟ، فيمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﻭﺟ لا بد أن تساوي ثمانية أمتار؛ لأنها مرسومة من المركز إلى نقطة على محيط المنطقة العشبية الخضراء. القطعة المستقيمة ﻡﺟ ستمثل أيضًا نصف قطر الدائرة الداخلية. إذن، يمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﻭﻡ زائد القطعة المستقيمة ﻡﺟ يساوي ثمانية. والقطعة المستقيمة ﻡﺟ هي نصف قطر هذا الفناء الدائري. بإيجاد قيمة نق هنا، نجد أن نصف القطر يساوي ثمانية ناقص ﻭﻡ.
لإيجاد قيمة نصف القطر، علينا إيجاد معادلة ثانية تعبر عن نق بدلالة ﻭﻡ. يمكننا استخدام هذا المثلث الأصغر لفعل ذلك. يوجد هنا ﻭﻡ وهنا نق الذي نريد كتابة معادلة له. لدينا طول الضلع المقابل وطول الوتر. إذن، سنستخدم نسبة الجيب. تذكر أنه عندما كان لدينا ٦٠ درجة، كنا نتعامل مع 𝜋 على ثلاثة. لكننا قسمنا هذه الزاوية إلى نصفين، مما يعني أننا نتعامل مع زاوية قياسها 𝜋 على ستة. ويمكننا القول إن جا 𝜋 على ستة يساوي نق على ﻭﻡ. جا 𝜋 على ستة يساوي نصفًا. إذا ضربنا طرفي المعادلة في اثنين ثم ضربنا طرفي المعادلة في ﻭﻡ، فسنجد أن ﻭﻡ يساوي اثنين نق.
في المعادلة الأولى، يمكننا التعويض عن ﻭﻡ باثنين نق. إذا أضفنا اثنين نق إلى كلا الطرفين، فسنحصل على ثلاثة نق يساوي ثمانية. لذا، نصف القطر يساوي ثمانية أثلاث. وتذكر أننا نقيس بوحدة المتر. إذن، يمكننا القول إن نصف قطر الفناء يساوي ثمانية أثلاث متر.
بالنسبة إلى الجزء الأخير من هذا السؤال، احسب إجمالي المساحة الخضراء في قطاع واحد. اكتب الإجابة بدلالة 𝜋، وفي أبسط صورة.
لإيجاد المساحة الخضراء، علينا إيجاد مساحة القطاع بالكامل ونطرح منها الجزء المغطى بالفناء. وجدنا أن مساحة القطاع ﻭﺃﺏ في الجزء الأول تساوي ٣٢𝜋 على ثلاثة. مساحة الفناء تساوي 𝜋نق تربيع لأنها دائرة. ونصف قطر الفناء الدائري الذي وجدناه في الجزء الثاني من السؤال يساوي ثمانية أثلاث. ثمانية أثلاث تربيع يساوي ٦٤ على تسعة، مما يعني أن مساحة الفناء تساوي ٦٤𝜋 على تسعة. ٣٢𝜋 على ثلاثة ناقص ٦٤𝜋 على تسعة يساوي ٣٢𝜋 على تسعة، ما يعني أن إجمالي المساحة الخضراء يساوي ٣٢𝜋 على تسعة متر مربع.
