شارح الدرس: مساحات القطاعات الدائرية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: حساب مساحة قطاع بمعلومية قياس زاويته بالراديان

قوس قياسه يساوي راديان، وطول نصف قطره يساوي ٥. أوجد مساحة القطاع في أبسط صورة بدلالة .

الحل

نتذكَّر أنه لأيِّ دائرة طول نصف قطرها ؛ إذا كان قياس الزاوية المركزية للقطاع هو راديان فإن مساحة القطاع تُعطَى بالصيغة:

إذا رسمنا المعلومات المعطاة في السؤال فسنحصل على الآتي:

لدينا ، ؛ وهو ما يعطينا:

إذن، مساحة هذا القطاع تساوي وحدة مساحة.

مثال ٢: إيجاد مساحة قطاع دائري بمعلومية طول نصف قطره وقياس زاوية القطاع

أوجد مساحة الجزء المظلل في الرسم الموضَّح لأقرب منزلة عشرية.

الحل

المساحة المظللة في الشكل هي الفرق في المساحة بين قطاعين لدائرتين يشتركان في مركز واحد كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

طول نصف قطر الدائرة الداخلية يساوي ٧ سم، وطول نصف قطر الدائرة الخارجية يساوي ١٥ سم. يمكننا إيجاد المساحة المظللة بإيجاد مساحة قطاع الدائرة الأكبر، ثم طرح مساحة قطاع الدائرة الداخلية منها. لنبدأ بقطاع الدائرة الخارجية.

نتذكَّر أن مساحة قطاع الدائرة التي طول نصف قطرها ، وقياس الزاوية المركزية بالدرجة، تُعطَى بالصيغة:

طول نصف القطر يساوي ١٥ سم، وقياس الزاوية المركزية يساوي . بالتعويض بهاتين القيمتين في الصيغة نحصل على:

يمكننا بعد ذلك إيجاد مساحة قطاع الدائرة الداخلية.

طول نصف القطر يساوي ٧ سم، وقياس الزاوية المركزية يساوي ؛ وهو ما يعطينا:

وأخيرًا، المساحة المظللة هي الفرق بين هاتين القيمتين:

ومن ثَمَّ، تكون مساحة المنطقة المظللة في الشكل هي ٩٢٫٢ سم^٢ لأقرب منزلة عشرية.

مثال ٣: إيجاد مساحة قطاع بمعلومية طول نصف قطر الدائرة ومحيط القطاع

طول نصف قطر دائرة ١٠ سم، ومحيط قطاع دائري فيها ٢٥ سم. أوجد مساحة القطاع الدائري.

الحل

بما أنه ليست لدينا الزاوية المركزية للقطاع، ولدينا بدلًا من ذلك محيط القطاع؛ فإننا نبدأ بتذكُّر الصيغة التالية لمساحة القطاع: إذا كان قطاع دائرة طول نصف قطرها ، له طول قوس ؛ فإن المساحة للقطاع تُعطَى بالصيغة:

نحن نعلم من السؤال أن ، ويمكننا إيجاد قيمة باستخدام المحيط. نبدأ برسم المعلومات المعطاة.

محيط القطاع يساوي مجموع أطوال أضلاعه، إذن يصبح لدينا:

ومن ثَمَّ، بالتعويض بقيمتَي ، في صيغة المساحة؛ نحصل على:

إذن، مساحة هذا القطاع تساوي ٢٥ سم^٢.

مثال ٤: القطاعات الدائرية ومساحات الدوائر

ثلاث دوائر متطابقة طول نصف قطر كلٍّ منها ٤٣ سم، وكلٌّ منها يمسُّ الآخَر. أوجد مساحة الجزء الذي بين الدوائر لأقرب سنتيمتر مربع.

الحل

لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين الدوائر سنبدأ بربط مراكزها معًا باستخدام القطع المستقيمة. المساحة التي علينا إيجادها هي المنطقة المظللة في الشكل الآتي. ثلاث دوائر طول نصف قطر كلٍّ منها ٤٣ سم؛ ومن ثَمَّ يمكننا تحديد أطوال أنصاف الأقطار الآتية:

نلاحظ إذن أن هذا مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٨٦ سم. بما أن هذا المثلث متساوي الأضلاع فإن الزوايا الداخلية تساوي . وبدلًا من إيجاد مساحة المنطقة المظللة يمكننا إيجاد مساحة المثلث ثم طَرْح مساحات القطاعات منها.

مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع. لإيجاد ارتفاع المثلث علينا تكوين المثلث القائم الزاوية الآتي:

ارتفاع المثلث المتساوي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متطابقين قائمَي الزاوية. طول وتر أحد المثلثين القائمَي الزاوية يساوي ٨٦ سم، وطول القاعدة يساوي نصف طول أيِّ ضلع في المثلث المتساوي الأضلاع؛ وبذلك يكون طولها . يمكننا بعد ذلك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد :

إذن، باستخدام مساحة المثلث؛ أي نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع العمودي، نحصل على:

نتذكَّر أن مساحة أيِّ قطاع طول نصف قطره ، وقياس الزاوية المركزية بالدرجة؛ تُعطَى بالصيغة:

بالتعويض بقيمتَي ، في صيغة مساحة القطاع نحصل على:

يمكننا بعد ذلك إيجاد المساحة بين الدوائر بطرح مساحات القطاعات الثلاث من مساحة المثلث. وهذا يعطينا:

إذن، مساحة المنطقة المحصورة بين الدوائر في الشكل لأقرب سنتيمتر مربع تساوي ٢٩٨ سم^٢.

مثال ٥: حلُّ مسائل تتضمَّن القطاعات

قرَّر بستاني تصميم منطقة عشبية خضراء في حديقة ذات مناظر طبيعية، وتقسيمها إلى أجزاء متسلسلة مع أفنية دائرية تصل إلى المنطقة العشبية كما هو موضَّح في الشكل التالي. يُقسِّم البستاني المنطقة العشبية الخضراء الدائرية إلى ستة قطاعات دائرية متساوية؛ طول نصف قطر كلٍّ منها ثماني ياردات. الخطان المستقيمان ، مماسان للدائرة، والقوس يمسُّ الدائرة في نقطة واحدة.

1. أوجد مساحة القطاع . اكتب إجابتك بدلالة .
2. يريد البستاني أن يحسب طول نصف قطر الفناء الدائري. باستخدام النسب المثلثية، احسب طول نصف قطر الفناء. اكتب الإجابة في صورة كسر.
3. احسب إجمالي المساحة الخضراء في قطاع واحد. اكتب الإجابة بدلالة ، وفي أبسط صورة.

الحل

الجزء الأول

نتذكَّر أن مساحة أيِّ قطاع طول نصف قطره ، وقياس الزاوية المركزية بالدرجة؛ تُعطَى بالصيغة الآتية:

بالتعويض بقيمتَي ، في هذه الصيغة نحصل على:

بما أن قياس الأطوال بالياردة فإن مساحة هذا القطاع تساوي ياردة مربعة.

الجزء الثاني

لإيجاد طول نصف قطر هذه الدائرة نبدأ بإضافة الخطوط المستقيمة والنقاط الآتية إلى الشكل:

بما أن مماس للدائرة، ويلتقي بالدائرة عند زاوية قائمة؛ فإن ذلك يعني أن مثلث قائم الزاوية. نحن نعرف أن طولَي ، هما ؛ لأنهما نصفَا قطرين في الدائرة الداخلية. ونعرف أيضًا أن طول يساوي ٨؛ لأنه نصف قطر في الدائرة الخارجية. نختار بحيث ينصِّف الزاوية عند .

لاستخدام حساب المثلثات في المثلث علينا إيجاد طول :

نحن نعرف أن طول يساوي ٨، وأن طوله ؛ إذن:

باستخدام نسبة الجيب نحصل على: يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة :

إذن طول نصف قطر الفناء يساوي ياردة.

الجزء الثالث

المساحة الخضراء في قطاع واحد ستساوي مساحة الفناء مطروحًا منها مساحة القطاع.

مساحة دائرة طول نصف قطرها تساوي ؛ وعليه فإن مساحة الفناء تساوي:

في الجزء الأول أوضحنا أن مساحة القطاع تساوي ياردة مربعة. إذن، المساحة الخضراء تساوي: