شارح الدرس: مساحات القطاعات الدائرية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مساحة قطاع دائري، ونحلُّ المسائل التي تربط هذه المساحة بطول قوس القطاع ومحيطه.

قبل أن نحدِّد كيفية إيجاد مساحة القطاع الدائري، دعونا نبدأ بتذكُّر المصطلحات المتعلِّقة بأجزاء أيِّ قطاع في الدائرة. بداية، نسترجع أن قوس الدائرة هو جزء من محيط الدائرة يقع بين نصفَي قطرين. لكن إذا كان لدينا نصفَا قطرين فإن هناك قوسين ممكنين يقعان بين نصفَي القطرين. يمكننا رؤية مثال على ذلك في الشكل الآتي:

نلاحظ أن كِلا القوسين يمثِّل جزءًا من محيط الدائرة يقع بين نصفَي القطرين نفسيهما. لتفادي هذا الخلط نُسمِّي القوس الأكبر طولًا: «القوس الأكبر»، والقوس الأصغر طولًا: «القوس الأصغر».

هذا يكافئ قولنا إنه إذا كان قياس الزاوية المركزية أقل من ٠٨١ أو 𝜋 راديان فإننا نعلم أنه القوس الأصغر، وإذا كان قياس الزاوية أكبر من هاتين القيمتين فإنه القوس الأكبر. إذن يمكننا تعريف القوسين الدائريين على النحو الآتي.

تلخيص: قوس الدائرة

قوس الدائرة هو جزء من محيط الدائرة يقع بين نصفَي قطرين.

بمعلومية نصفَي القطرين نشير إلى القوس الأكبر طولًا باعتباره القوس الأكبر، وإلى القوس الأصغر طولًا باعتباره القوس الأصغر. القوس الأكبر هو القوس ذو الزاوية المركزية الكبرى.

وأخيرًا، إذا كان القوسان متساويين في الطول فإننا نسميهما قوسين نصفَ دائريين. يحدث ذلك عندما يكون قياس الزاوية المركزية ٠٨١ أو 𝜋 راديان، أو ما يكافئهما، وذلك عندما يكوِّن نصفَا القطرين قطرًا.

أيُّ قطاع في الدائرة هو جزء من الدائرة محصور بنصفَي قطرين وقوس بينهما. نشير إلى القطاعات باعتبارها القطاع الأكبر، أو القطاع الأصغر، أو القطاع نصف الدائري بناءً على القوس الذي يقع بينهما.

مرة أخرى، إذا كان قياس الزاوية المركزية أصغر من ٠٨١ أو 𝜋 راديان فإننا نشير إلى ذلك القطاع بالقطاع الأصغر. إذا كان قياس الزاوية المركزية أكبر من ذلك فإننا نشير إلى هذا بالقطاع الأكبر. وإذا كان قياس الزاوية يساوي ٠٨١ فإن القطاع يمثِّل نصف دائرة. يمكننا تعريف ذلك تعريفًا رياضيًّا على النحو الآتي.

تعريف: قطاع الدائرة

قطاع الدائرة هو جزء من الدائرة محصور بنصفَي قطرين وقوس بينهما. نُسمِّي القطاعات بناءً على نوع القوس الذي يقع بين نصفَي القطرين.

إذا كان قياس الزاوية المركزية أصغر من ٠٨١ أو 𝜋 راديان فإننا نشير إلى ذلك باعتباره القطاع الأصغر. إذا كان قياس الزاوية المركزية أكبر من ذلك فإننا نشير إلى هذا باعتباره القطاع الأكبر. وإذا كان قياس الزاوية يساوي ٠٨١ فإن القطاع يكون نصف دائرة.

طريقة العمل: حساب مساحة القطاع الدائري

نحن الآن مستعدون لإيجاد مساحة أيِّ قطاع. دعونا نبدأ بمثال قياس الزاوية المركزية فيه يساوي ٠٩.

هذا يمثِّل ربع الدائرة؛ لذا يمكننا حساب مساحة هذا القطاع بضرب مساحة الدائرة الكاملة 󰁓𝜋؈󰁒٢ في ١٤. وبوجه عامٍّ، لأيِّ قطاع قياس الزاوية المركزية فيه 𝜃 بالدرجة فإن هذا الجزء من الدائرة يساوي 𝜃٠٦٣، ويمكن حساب مساحته باستخدام الصيغة: 𝜃٠٦٣󰁓𝜋؈󰁒٢.

يمكننا فعل الأمر نفسه بالراديان. إذا كان قياس الزاوية المركزية للقطاع بالراديان يساوي 𝜃 فإن القطاع يمثِّل جزءًا من الدائرة يساوي 𝜃٢𝜋. إذن، مساحة هذا القطاع هي: 𝜃٢𝜋󰁓𝜋؈󰁒=١٢؈𝜃.٢٢

وهذا يعطينا الصيغتين الآتيتين لإيجاد مساحات القطاعات الدائرية.

صِيَغ: مساحة القطاع الدائري

مساحة أيِّ قطاع طول نصف قطره ؈، وقياس الزاوية المركزية 𝜃 بالدرجة؛ تُعطَى بالصيغة: 𞸌=𝜃٠٦٣󰁓𝜋؈󰁒.٢

مساحة أيِّ قطاع طول نصف قطره ؈، وقياس الزاوية المركزية 𝜃 بالراديان؛ تُعطَى بالصيغة: 𞸌=١٢؈𝜃.٢

دعونا نرَ مثالًا على كيفية تطبيق الصيغة للحصول على مساحة القطاع الدائري.

مثال ١: حساب مساحة قطاع بمعلومية قياس زاويته بالراديان

قوس قياسه يساوي 𝜋٣ راديان، وطول نصف قطره يساوي ٥. أوجد مساحة القطاع في أبسط صورة بدلالة 𝜋.

الحل

نتذكَّر أنه لأيِّ دائرة طول نصف قطرها ؈؛ إذا كان قياس الزاوية المركزية للقطاع هو 𝜃 راديان فإن مساحة القطاع تُعطَى بالصيغة: 𞸌=١٢؈𝜃.٢

إذا رسمنا المعلومات المعطاة في السؤال فسنحصل على الآتي:

لدينا ؈=٥، 𝜃=𝜋٣؛ وهو ما يعطينا: 𞸌=١٢󰂔𝜋٣󰂓٥=٥٢𝜋٦.٢

إذن، مساحة هذا القطاع تساوي ٥٢𝜋٦ وحدة مساحة.

يمكننا أيضًا استخدام صيغة مساحة القطاع لإيجاد مساحة أشكال أكثر تعقيدًا كما سنرى في المثال الآتي.

مثال ٢: إيجاد مساحة قطاع دائري بمعلومية طول نصف قطره وقياس زاوية القطاع

أوجد مساحة الجزء المظلل في الرسم الموضَّح لأقرب منزلة عشرية.

الحل

المساحة المظللة في الشكل هي الفرق في المساحة بين قطاعين لدائرتين يشتركان في مركز واحد كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

طول نصف قطر الدائرة الداخلية يساوي ٧ سم، وطول نصف قطر الدائرة الخارجية يساوي ١٥ سم. يمكننا إيجاد المساحة المظللة بإيجاد مساحة قطاع الدائرة الأكبر، ثم طرح مساحة قطاع الدائرة الداخلية منها. لنبدأ بقطاع الدائرة الخارجية.

نتذكَّر أن مساحة قطاع الدائرة التي طول نصف قطرها ؈، وقياس الزاوية المركزية 𝜃 بالدرجة، تُعطَى بالصيغة: 𞸌=𝜃٠٦٣󰁓𝜋؈󰁒.٢

طول نصف القطر يساوي ١٥ سم، وقياس الزاوية المركزية يساوي ٠٦. بالتعويض بهاتين القيمتين في الصيغة نحصل على: اعار=٠٦٠٦٣󰁓𝜋(٥١)󰁒=٥٧𝜋٢.٢٢

يمكننا بعد ذلك إيجاد مساحة قطاع الدائرة الداخلية.

طول نصف القطر يساوي ٧ سم، وقياس الزاوية المركزية يساوي ٠٦؛ وهو ما يعطينا: اعاا=٠٦٠٦٣󰁓𝜋(٧)󰁒=٩٤𝜋٦.٢٢

وأخيرًا، المساحة المظللة هي الفرق بين هاتين القيمتين: اا=٥٧𝜋٢٩٤𝜋٦=٨٨𝜋٣٣٥١٫٢٩.٢

ومن ثَمَّ، تكون مساحة المنطقة المظللة في الشكل هي ٩٢٫٢ سم٢ لأقرب منزلة عشرية.

في المثال التالي سنستخدم طول نصف قطر الدائرة ومحيط القطاع لإيجاد مساحة القطاع. قبل القيام بذلك نتذكَّر أنه لأيِّ دائرة طول نصف قطرها ؈، وقوس قياس زاويته المركزية 𝜃؛ يمكن إيجاد طول القوس 𞸋 على النحو الآتي:

  • إذا كان قياس 𝜃 بالدرجة فإن طول القوس يساوي 𞸋=٢𝜋؈󰂔𝜃٠٦٣󰂓.
  • إذا كان قياس 𝜃 بالراديان فإن طول القوس يساوي 𞸋=؈𝜃.

وبما أن مساحة القطاع تساوي: 𞸌=١٢؈𝜃٢ عند قياس 𝜃 بالراديان، فإنه يصبح لدينا أيضًا: 𞸌=١٢؈𝜃=١٢؈󰁓؈𝜃󰁒=١٢؈𞸋.٢

وبالمثل، إذا كان قياس 𝜃 بالدرجة: 𞸌=𝜃٠٦٣󰁓𝜋؈󰁒=١٢؈󰂔٢𝜋؈󰂔𝜃٠٦٣󰂓󰂓=١٢؈𞸋.٢

في كلتا الحالتين مساحة القطاع تساوي نصف حاصل ضرب طول نصف القطر في طول القوس.

صيغة: مساحة قطاع دائري باستخدام طول القوس

إذا كان قطاع دائرة طول نصف قطرها ؈، له طول قوس 𞸋؛ فإن المساحة 𞸌 للقطاع تُعطَى بالصيغة: 𞸌=١٢؈𞸋.

دعونا نرَ كيفية تطبيق هذه النتيجة في المثال التالي.

مثال ٣: إيجاد مساحة قطاع بمعلومية طول نصف قطر الدائرة ومحيط القطاع

طول نصف قطر دائرة ١٠ سم، ومحيط قطاع دائري فيها ٢٥ سم. أوجد مساحة القطاع الدائري.

الحل

بما أنه ليست لدينا الزاوية المركزية للقطاع، ولدينا بدلًا من ذلك محيط القطاع؛ فإننا نبدأ بتذكُّر الصيغة التالية لمساحة القطاع: إذا كان قطاع دائرة طول نصف قطرها ؈، له طول قوس 𞸋؛ فإن المساحة 𞸌 للقطاع تُعطَى بالصيغة: 𞸌=١٢؈𞸋.

نحن نعلم من السؤال أن ؈=٠١، ويمكننا إيجاد قيمة 𞸋 باستخدام المحيط. نبدأ برسم المعلومات المعطاة.

محيط القطاع يساوي مجموع أطوال أضلاعه، إذن يصبح لدينا: ٥٢=٠١+٠١+𞸋𞸋=٥.

ومن ثَمَّ، بالتعويض بقيمتَي 𞸋=٥، ؈=٠١ في صيغة المساحة؛ نحصل على: 𞸌=١٢×٥×٠١=٥٢.٢

إذن، مساحة هذا القطاع تساوي ٢٥ سم٢.

في المثال التالي سنتعرَّف على كيفية تطبيق الخواصِّ الهندسية مع صيغة مساحة أيِّ قطاع في الدائرة لإيجاد المساحات المعطاة في شكل.

مثال ٤: القطاعات الدائرية ومساحات الدوائر

ثلاث دوائر متطابقة طول نصف قطر كلٍّ منها ٤٣ سم، وكلٌّ منها يمسُّ الآخَر. أوجد مساحة الجزء الذي بين الدوائر لأقرب سنتيمتر مربع.

الحل

لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين الدوائر سنبدأ بربط مراكزها معًا باستخدام القطع المستقيمة. المساحة التي علينا إيجادها هي المنطقة المظللة في الشكل الآتي. ثلاث دوائر طول نصف قطر كلٍّ منها ٤٣ سم؛ ومن ثَمَّ يمكننا تحديد أطوال أنصاف الأقطار الآتية:

نلاحظ إذن أن هذا مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٨٦ سم. بما أن هذا المثلث متساوي الأضلاع فإن الزوايا الداخلية تساوي ٠٦. وبدلًا من إيجاد مساحة المنطقة المظللة يمكننا إيجاد مساحة المثلث ثم طَرْح مساحات القطاعات منها.

مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع. لإيجاد ارتفاع المثلث علينا تكوين المثلث القائم الزاوية الآتي:

ارتفاع المثلث المتساوي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متطابقين قائمَي الزاوية. طول وتر أحد المثلثين القائمَي الزاوية يساوي ٨٦ سم، وطول القاعدة يساوي نصف طول أيِّ ضلع في المثلث المتساوي الأضلاع؛ وبذلك يكون طولها ٦٨٢=٣٤. يمكننا بعد ذلك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد 𞸏: ٦٨=٣٤+𞸏𞸏=٦٨٣٤𞸏=󰋴٧٤٥٥.٢٢٢٢٢٢

إذن، باستخدام مساحة المثلث؛ أي نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع العمودي، نحصل على: ا=١٢×٦٨×󰂔󰋴٧٤٥٥󰂓=٩٤٨١󰋴٣.٢

نتذكَّر أن مساحة أيِّ قطاع طول نصف قطره ؈، وقياس الزاوية المركزية 𝜃 بالدرجة؛ تُعطَى بالصيغة: 𞸌=𝜃٠٦٣󰁓𝜋؈󰁒.٢

بالتعويض بقيمتَي 𝜃=٠٦، ؈=٣٤ في صيغة مساحة القطاع نحصل على: 𞸌=٠٦٠٦٣󰁓𝜋(٣٤)󰁒=٩٤٨١𝜋٦.٢

يمكننا بعد ذلك إيجاد المساحة بين الدوائر بطرح مساحات القطاعات الثلاث من مساحة المثلث. وهذا يعطينا: ا=٩٤٨١󰋴٣٣󰂔٩٤٨١𝜋٦󰂓=٩٤٨١󰋴٣٩٤٨١𝜋٢٩٥١٫٨٩٢.٢

إذن، مساحة المنطقة المحصورة بين الدوائر في الشكل لأقرب سنتيمتر مربع تساوي ٢٩٨ سم٢.

في المثال الأخير سنتعرَّف على كيفية تطبيق صيغة مساحة القطاع في مسألة حياتية.

مثال ٥: حلُّ مسائل تتضمَّن القطاعات

قرَّر بستاني تصميم منطقة عشبية خضراء في حديقة ذات مناظر طبيعية، وتقسيمها إلى أجزاء متسلسلة مع أفنية دائرية تصل إلى المنطقة العشبية كما هو موضَّح في الشكل التالي. يُقسِّم البستاني المنطقة العشبية الخضراء الدائرية إلى ستة قطاعات دائرية متساوية؛ طول نصف قطر كلٍّ منها ثماني ياردات. الخطان المستقيمان 𞸅󰏡، 𞸅𞸁 مماسان للدائرة، والقوس 󰏡𞸁 يمسُّ الدائرة في نقطة واحدة.

  1. أوجد مساحة القطاع 𞸅󰏡𞸁. اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.
  2. يريد البستاني أن يحسب طول نصف قطر الفناء الدائري. باستخدام النسب المثلثية، احسب طول نصف قطر الفناء. اكتب الإجابة في صورة كسر.
  3. احسب إجمالي المساحة الخضراء في قطاع واحد. اكتب الإجابة بدلالة 𝜋، وفي أبسط صورة.

الحل

الجزء الأول

نتذكَّر أن مساحة أيِّ قطاع طول نصف قطره ؈، وقياس الزاوية المركزية 𝜃 بالدرجة؛ تُعطَى بالصيغة الآتية: ع=𝜃٠٦٣󰁓𝜋؈󰁒.٢

بالتعويض بقيمتَي ؈=٨، 𝜃=٠٦ في هذه الصيغة نحصل على: اع=٠٦٠٦٣󰁓𝜋(٨)󰁒=٢٣𝜋٣.٢

بما أن قياس الأطوال بالياردة فإن مساحة هذا القطاع تساوي ٢٣𝜋٣ ياردة مربعة.

الجزء الثاني

لإيجاد طول نصف قطر هذه الدائرة نبدأ بإضافة الخطوط المستقيمة والنقاط الآتية إلى الشكل:

بما أن 𞸅󰏡 مماس للدائرة، ويلتقي بالدائرة عند زاوية قائمة؛ فإن ذلك يعني أن 𞸅𞸌𞸢 مثلث قائم الزاوية. نحن نعرف أن طولَي 𞸌𞸢، 𞸢𞸃 هما ؈؛ لأنهما نصفَا قطرين في الدائرة الداخلية. ونعرف أيضًا أن طول 𞸅𞸃 يساوي ٨؛ لأنه نصف قطر في الدائرة الخارجية. نختار 𞸅𞸃 بحيث ينصِّف الزاوية عند 𞸅.

لاستخدام حساب المثلثات في المثلث 𞸅𞸌𞸢 علينا إيجاد طول 𞸅𞸢: 𞸅𞸃=𞸅𞸢+𞸢𞸃.

نحن نعرف أن طول 𞸅𞸃 يساوي ٨، وأن 𞸢𞸃 طوله ؈؛ إذن: ٨=𞸅𞸢+؈𞸅𞸢=٨؈.

باستخدام نسبة الجيب نحصل على: ؛(٠٣)=𞸌𞸢𞸅𞸢 يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ؈: (٠٣)=؈٨؈١٢=؈٨؈٨؈=٢؈؈=٨٣.

إذن طول نصف قطر الفناء يساوي ٨٣ ياردة.

الجزء الثالث

المساحة الخضراء في قطاع واحد ستساوي مساحة الفناء مطروحًا منها مساحة القطاع.

مساحة دائرة طول نصف قطرها ؈ تساوي 𝜋؈٢؛ وعليه فإن مساحة الفناء تساوي: 𝜋󰂔٨٣󰂓=٤٦𝜋٩.٢ردة

في الجزء الأول أوضحنا أن مساحة القطاع تساوي ٢٣𝜋٣ ياردة مربعة. إذن، المساحة الخضراء تساوي: ٢٣𝜋٣٤٦𝜋٩=٢٣𝜋٩.ردة

دعونا نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها فيه.

النقاط الرئيسية

  • أيُّ قطاع في الدائرة هو جزء من الدائرة محصور بنصفَي قطرين وقوس بينهما.
  • مساحة أيِّ قطاع طول نصف قطره ؈، وقياس الزاوية المركزية 𝜃 بالدرجة؛ تُعطَى بالصيغة: 𞸌=𝜃٠٦٣󰁓𝜋؈󰁒.٢
  • مساحة أيِّ قطاع طول نصف قطره ؈، وقياس الزاوية المركزية 𝜃 بالراديان؛ تُعطَى بالصيغة: 𞸌=١٢؈𝜃.٢
  • إذا كان قطاع دائرة طول نصف قطرها ؈، له طول قوس 𞸋؛ فإن المساحة 𞸌 للقطاع تُعطَى بالصيغة: 𞸌=١٢؈𞸋.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.