فيديو الدرس: مساحات القطاعات الدائرية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مساحة قطاع دائري، ونحل المسائل التي تربط هذه المساحة بطول قوس القطاع ومحيطه. دعونا نسترجع أولًا أن القوس هو جزء من محيط الدائرة. والقطاع هو جزء من الدائرة نفسها يشكل بنصفي قطرين. أي المستقيمين اللذين يصلان مركز الدائرة بمحيطها والقوس. إنه يشبه تمامًا شكل شريحة جبن مثلثة مقطوعة من قرص جبن دائري أو شكل شريحة من البيتزا. الزاوية التي في مركز هذا الشكل المثلثي؛ أي الزاوية الواقعة بين نصفي القطرين، والتي يرمز إليها عادة بالحرف اليوناني 𝜃، يطلق عليها الزاوية المركزية للقطاع.

إذا كان قياس هذه الزاوية المركزية 𝜃 أقل من ١٨٠ درجة، فإننا نطلق على هذا القطاع اسم القطاع الأصغر. لأنه سيكون هناك أيضًا قطاع آخر في الدائرة زاويته المركزية قياسها أكبر من ١٨٠ درجة. إنه قطاع أكبر، لذا نطلق عليه اسم القطاع الأكبر. والوصول إلى صيغة لإيجاد مساحة القطاع عملية سهلة ومباشرة إلى حد ما، لكنها تعتمد على ما إذا كنا نستخدم الدرجات أم الراديان لقياس الزاوية المركزية.

دعونا نفكر أولًا في تحديد صيغة لحساب المساحة بالدرجات. نحن نعلم أن مساحة الدائرة بالكامل تحسب باستخدام الصيغة 𝜋 نق تربيع. لكن عندما نتعامل مع القطاع، يكون لدينا جزء فقط من الدائرة الكاملة، وبالتالي لا نريد سوى إيجاد جزء من مساحتها. هذا الجزء من الدائرة يحدد من خلال الزاوية المركزية. وسيساوي 𝜃 على ٣٦٠؛ لأن هناك ٣٦٠ درجة في الدورة الكاملة. إذن، لإيجاد مساحة القطاع، نضرب مساحة الدائرة الكاملة في الجزء الذي يمثله القطاع. وبالتالي، يصبح لدينا 𝜃 على ٣٦٠ مضروبًا في 𝜋 نق تربيع.

هذا جيد إذا كنا نستخدم الدرجات. لكن إذا كنا نستخدم الراديان، فسنحتاج إلى شيء مختلف. في المسألة الأولى، سنتناول كيف يمكننا استنتاج صيغة بديلة لاستخدامها إذا كان قياس الزاوية المركزية بالراديان.

اكتب تعبيرًا يدل على مساحة قطاع قياس قوسه يساوي 𝜃 راديان، علمًا بأن التعبير الذي يدل على مساحة قطاع قياس قوسه 𝜃 درجة يساوي 𝜋 نق تربيع 𝜃 على ٣٦٠.

حسنًا، نحن نعلم الصيغة التي يمكننا استخدامها لحساب مساحة قطاع عندما يعطى قياس الزاوية المركزية بالدرجات. ومطلوب منا استخدام هذه الصيغة لتحديد صيغة مختلفة يمكننا استخدامها عندما يعطى قياس الزاوية بالراديان. علينا أن نتذكر هنا أنه عندما نستخدم الراديان، فإن الدورة الكاملة، والتي تكافئ بالدرجات ٣٦٠ درجة، تساوي اثنين 𝜋 بالراديان. ومن ثم، يمكننا استخدام الصيغة التي نعرفها لإيجاد مساحة القطاع بالدرجات والتعويض عن ٣٦٠ في المقام، الذي يمثل دورة كاملة قياسها ٣٦٠ درجة، بالقيمة اثنين 𝜋. عند القيام بذلك، نحصل على 𝜋 نق تربيع 𝜃 على اثنين 𝜋. والآن، يمكننا بالطبع حذف العامل 𝜋 من بسط هذا الكسر ومقامه، ويتبقى لدينا نق تربيع 𝜃 على اثنين، أو ما يكافئ نصف نق تربيع 𝜃.

إذن، استخدمنا مساحة القطاع بالدرجات لإيجاد تعبير يدل على مساحة القطاع عندما يكون قياس الزاوية المركزية معطى بالراديان؛ إنه نصف نق تربيع 𝜃.

ومن ثم، أصبحت لدينا الآن صيغتان لتحديد مساحة أي قطاع دائري زاويته المركزية مقيسة بالدرجات أو بالراديان. عندما نحل مسألة ما، يجب التأكد من اختيار الصيغة المناسبة للقياس المستخدم لإيجاد الزاوية المركزية. سيكون من المفيد أيضًا في هذه المرحلة أن نتذكر صيغتي حساب طول القوس بكل من الدرجات والراديان.

بالدرجات أولًا؛ طول القوس يساوي 𝜃 على ٣٦٠ مضروبًا في 𝜋 ﻕ أو اثنين 𝜋 نق. إنه جزء من الدائرة مضروبًا في محيط الدائرة. وبالراديان؛ طول القوس يساوي نق 𝜃. ذلك لأننا إذا أخذنا الصيغة بالدرجات ثم عوضنا عن ٣٦٠ باثنين 𝜋 وعن ﻕ، وهو القطر، باثنين نق، فسيصبح لدينا 𝜃 على اثنين 𝜋 مضروبًا في 𝜋 مضروبًا في اثنين نق. وبالطبع، سنحذف القيمتين 𝜋 وكذلك العددين اثنين معًا، ليتبقى لدينا نق 𝜃.

لقد تعرفنا على كل الصيغ التي نحتاجها. دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة. إن المسائل التي سنتناولها في هذا الفيديو هي تطبيقات لهذه النتائج على أسئلة تتطلب الحل لإيجاد أحد عناصرها.

دائرة نصف قطرها خمسة سنتيمترات، ومساحة قطاع دائري فيها ١٥ سنتيمترًا مربعًا. أوجد قياس الزاوية المركزية بالراديان، لأقرب منزلة عشرية.

في هذه المسألة، لدينا قطاع دائري. نحن نعلم أن نصف قطر الدائرة يساوي خمسة سنتيمترات، ونعلم أن مساحة القطاع الدائري فيها هي ١٥ سنتيمترًا مربعًا. لكننا لا نعلم قياس الزاوية المركزية. مطلوب منا إيجاد قياس الزاوية المركزية بالراديان. إذن، علينا تذكر الصيغة الأساسية التي نحتاجها. عندما نستخدم القياس بالراديان، فإن مساحة القطاع الدائري تساوي نصف نق تربيع 𝜃، حيث نق يمثل نصف قطر الدائرة و𝜃 يمثل قياس الزاوية المركزية. ومن ثم، يمكننا استخدام المعلومات المعطاة لتكوين معادلة. مساحة القطاع الدائري تساوي ١٥ سنتيمترًا مربعًا، ونصف قطر الدائرة يساوي خمسة سنتيمترات. بالتالي، يصبح لدينا المعادلة ١٥ يساوي نصفًا مضروبًا في خمسة تربيع مضروبًا في 𝜃. يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃.

أولًا، نحسب قيمة خمسة تربيع، وهي ٢٥. يمكننا بعد ذلك ضرب طرفي المعادلة في اثنين، ثم نقسم كلا الطرفين على ٢٥، وهو ما يعطينا 𝜃 يساوي اثنين مضروبًا في ١٥ على ٢٥. اثنان مضروبًا في ١٥ يساوي ٣٠، ثم يمكننا حذف العامل خمسة من البسط والمقام. إذن، يمكن تبسيط ذلك إلى ستة على خمسة. ستة على خمسة يساوي واحدًا وخمسًا؛ أي ١٫٢. بهذا نكون قد توصلنا إلى إجابة المسألة. قياس الزاوية المركزية لهذا القطاع الدائري بالراديان هو ١٫٢ راديان.

لاحظ أنه في هذا السؤال كان من المهم استخدام صيغة المساحة بالراديان. وكان من الممكن أن نستخدم بدلًا من ذلك صيغة المساحة بالدرجات، ثم نحول الإجابة من الدرجات إلى الراديان في النهاية. لكن هذا سيتطلب خطوة إضافية. وبالطبع، ربما ننسى تحويل الإجابة.

سنتناول الآن مثالًا نستعين فيه بمعرفتنا بمساحة القطاع الدائري لإيجاد مساحة منطقة مرتبطة به.

أوجد مساحة الجزء الملون من الربع في هذا الشكل بدلالة 𝜋.

حسنًا، نريد هنا إيجاد مساحة الجزء الأزرق في الشكل. علمنا من المعطيات أن لدينا ربعًا. إنه ربع دائرة؛ ما يعني أن هذا القطاع زاويته المركزية زاوية قائمة. بالنظر جيدًا إلى الشكل، نلاحظ أن هذه المساحة الملونة بالأزرق تتكون من ربع دائرة نصف قطرها يساوي ٢٥ سنتيمترًا، مستقطع منه ربع دائرة أصغر نصف قطرها يساوي ١٧ سنتيمترًا. إذن، المساحة التي نريد إيجادها تساوي الفرق بين مساحتي هذين الربعين. يطلب منا السؤال كتابة الإجابة بدلالة 𝜋، وربما طلب منا ذلك لسببين؛ إما لأننا مطالبين بإعطاء إجابة دقيقة أو لأنه من المفترض أن نجيب عن هذه المسألة بدون استخدام الآلة الحاسبة.

لم يخبرنا السؤال أن نستخدم الدرجات أو الراديان؛ لذا سنختار الحل باستخدام الدرجات. نحن نعلم أن مساحة القطاع الذي زاويته المركزية 𝜃 ونصف قطره نق، تساوي 𝜃 على ٣٦٠ مضروبًا في 𝜋 نق تربيع. في هذه المسألة، قياس الزاوية المركزية يساوي ٩٠ درجة؛ لذا يصبح لدينا ٩٠ على ٣٦٠ مضروبًا في 𝜋 نق تربيع، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ربع مضروبًا في 𝜋 نق تربيع أو 𝜋 نق تربيع على أربعة. وهذا منطقي بالطبع؛ لأننا نعلم أن الربع يمثل ربع دائرة؛ ومن ثم، فإن مساحة الربع ستساوي ربع مساحة الدائرة الكاملة. بالنسبة إلى مساحة الربع الأكبر أولًا، لدينا ربع مضروبًا في 𝜋 مضروبًا في ٢٥ تربيع. وبالنسبة إلى الربع الأصغر، فإن مساحته تساوي ربعًا مضروبًا في 𝜋 مضروبًا في ١٧ تربيع.

يمكننا أخذ 𝜋 على أربعة كعامل مشترك، وهو ما يعطينا 𝜋 على أربعة مضروبًا في ٢٥ تربيع ناقص ١٧ تربيع. ٢٥ تربيع يساوي ٦٢٥، و ١٧ تربيع يساوي ٢٨٩. ٦٢٥ ناقص ٢٨٩ يساوي ٣٣٦. إذن، يصبح لدينا ٣٣٦‏𝜋‏ على أربعة. وأخيرًا، يمكننا حذف العامل أربعة من البسط والمقام لنحصل على ٨٤‏𝜋‏. وبما أن وحدة نصفي القطرين هي السنتيمتر، فإن وحدة المساحتين ستكون السنتيمتر المربع. إذن، وجدنا أن مساحة الجزء الملون من الربع بدلالة 𝜋 هي ٨٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا.

دعونا نتناول الآن مسألة سنرى فيها كيفية إيجاد طول قوس القطاع إذا كنا نعلم مساحته وقياس زاويته المركزية.

مساحة قطاع دائري ١٨٨٨ سنتيمترًا مربعًا وقياس زاويته المركزية ١٫٧ راديان. أوجد طول قوس القطاع الدائري لأقرب سنتيمتر.

في هذه المسألة لدينا قطاع دائري. ونعلم أن مساحته تساوي ١٨٨٨ سنتيمترًا مربعًا، كما نعلم أن قياس زاويته المركزية، التي يمكننا أن نطلق عليها 𝜃، هو ١٫٧ راديان. نريد حساب طول قوس القطاع، والذي نرمز إليه عادة بالحرف ﻝ. الشيء المهم الذي علينا ملاحظته هو أن الزاوية المركزية للقطاع مقيسة بالراديان. ومن ثم، فإن الصيغتين اللتين سنستخدمهما لكل من مساحة القطاع وطول القوس يجب أن يكونا بالراديان. إنهما نصف نق تربيع 𝜃 لمساحة القطاع، ونق 𝜃 لطول القوس.

لحساب طول القوس، علينا معرفة كل من نصف القطر وقياس الزاوية المركزية. دعونا نستخدم المعطيات التي لدينا عن المساحة لتكوين معادلة. المساحة تساوي ١٨٨٨ سنتيمترًا مربعًا. لكننا لا نعلم نصف القطر، لذا سنبقي الحرف نق. وقياس الزاوية المركزية 𝜃 بالراديان هو ١٫٧. يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد نصف قطر القطاع، وهو ما يمكننا التعويض به في صيغة طول القوس. يمكننا ضرب طرفي المعادلة في اثنين ثم القسمة على ١٫٧، لنحصل على نق تربيع يساوي ١٨٨٨ مضروبًا في اثنين على ١٫٧، وهو ما يساوي ٢٢٢١٫١٧٦ في صورة عدد عشري.

لإيجاد قيمة نق، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، مع أخذ القيمة الموجبة فقط؛ لأن نق يمثل طولًا. هذا يعطينا ٤٧٫١٢٩، وسنحتفظ في الوقت الحالي بهذه القيمة الدقيقة على شاشة الآلة الحاسبة. وبهذا، نكون قد حسبنا نصف قطر القطاع، ويتبقى فقط حساب طول القوس. باستخدام صيغة طول القوس نق 𝜃، نضرب القيمة التي حسبناها للتو في قياس الزاوية المركزية ١٫٧، وهو ما يعطينا ٨٠٫١١٩. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر، لذا سنقرب لأسفل. إذن، باستخدام المساحة وقياس الزاوية المركزية المعلومين لهذا القطاع الدائري، وجدنا أن طول القوس لأقرب سنتيمتر يساوي ٨٠ سنتيمترًا.

في المثال الأخير، سنرى كيف يمكننا حل مسألة هندسية مختلفة عن طريق تطبيق هذه الطرق.

ثلاث دوائر متطابقة طول نصف قطر كل منها ٤٣ سنتيمترًا، وكل منها تمس الأخرى. أوجد مساحة الجزء الذي بين الدوائر لأقرب سنتيمتر مربع.

حسنًا، علينا إيجاد مساحة الجزء الموجود بين هذه الدوائر. أي هذا الجزء هنا. نحن نعلم أن الدوائر متطابقة، أي متماثلة، وطول نصف قطر كل منها ٤٣ سنتيمترًا. إذا وصلنا مراكز الدوائر الثلاثة، فسيصبح لدينا مثلث. يتكون كل ضلع في هذا المثلث من نصفي قطرين. وفي الواقع، هذا مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه يساوي اثنين في ٤٣؛ أي ٨٦ سنتيمترًا. المساحة التي نريد إيجادها تقع داخل هذا المثلث. والمساحات الأخرى داخل هذا المثلث، أي هذه المساحات الثلاثة هنا، هي ثلاثة قطاعات دائرية متطابقة. إذن، الطريقة التي سنتبعها لإيجاد المساحة الملونة بالأزرق هي إيجاد مساحة المثلث ثم طرح مساحات هذه القطاعات الثلاثة.

سنتناول المثلث أولًا. هذا مثلث غير قائم الزاوية؛ لذا علينا استخدام الصيغة نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ، حيث ﺃ شرطة وﺏ شرطة يمثلان طولي ضلعين في المثلث، وﺟ يمثل قياس الزاوية المحصورة بينهما. طول كل ضلع من أضلاع المثلث يساوي ٨٦ سنتيمترًا. وبما أن هذا المثلث متساوي الأضلاع، فإن قياس كل زاوية من زواياه هو ٦٠ درجة. إذن، يصبح لدينا نصف مضروبًا في ٨٦ مضروبًا في ٨٦ مضروبًا في جا ٦٠ درجة. جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، ويمكننا تبسيط مساحة المثلث إلى ١٨٤٩ جذر ثلاثة، وهي القيمة التي سنحتفظ بها في الوقت الحالي على صورتها الدقيقة.

والآن، بالنسبة إلى مساحات القطاعات، فإن مساحة كل قطاع بالدرجات تساوي 𝜃 على ٣٦٠ مضروبًا في 𝜋 نق تربيع، حيث 𝜃 هو قياس الزاوية المركزية. لكن لدينا ثلاثة قطاعات متطابقة؛ لذا سنضرب في ثلاثة. هذا يكافئ الصيغة 𝜃 على ١٢٠ مضروبًا في 𝜋 نق تربيع، حيث ثلاثة على ٣٦٠ يساوي واحدًا على ١٢٠. إذن، بالتعويض بالزاوية التي قياسها ٦٠ درجة ونصف قطر القطاع، الذي نتذكر أنه يساوي ٤٣ سنتيمترًا، يصبح لدينا ٦٠ على ١٢٠ مضروبًا في 𝜋 مضروبًا في ٤٣ تربيع. يبسط ٦٠ على ١٢٠ إلى نصف، و ٤٣ تربيع يساوي ١٨٤٩. إذن، مساحة القطاعات تساوي ١٨٤٩ ‏𝜋‏ على اثنين.

يمكننا الآن المتابعة وحساب قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. عند القيام بذلك، نحصل على ٢٩٨٫١٥٩. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر مربع؛ لذا سنقرب لأسفل. بهذا، نكون قد أوجدنا أن مساحة الجزء الواقع بين الدوائر؛ أي الفرق بين مساحة المثلث غير القائم الزاوية ومساحات القطاعات الدائرية الثلاثة، تساوي ٢٩٨ سنتيمترًا مربعًا.

دعونا الآن نراجع بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. القطاع الدائري هو جزء من دائرة تشكل بنصفي قطرين وقوس. نستخدم الحرف اليوناني 𝜃 للإشارة إلى قياس الزاوية المحصورة بين نصفي القطرين، والتي نطلق عليها الزاوية المركزية للقطاع. إذا كان قياس الزاوية المركزية أقل من ١٨٠ درجة أو 𝜋 راديان، يكون القطاع هو القطاع الأصغر، وإذا كان قياسها أكبر من ١٨٠ درجة، أي أكبر من 𝜋 راديان، يكون القطاع هو القطاع الأكبر. تعتمد الصيغة التي نستخدمها لحساب مساحة أي قطاع على ما إذا كانت الزاوية المركزية مقيسة بالدرجات أم بالراديان. بالدرجات، تكون الصيغة 𝜃 على ٣٦٠ مضروبًا في 𝜋 نق تربيع، بينما بالراديان تكون الصيغة نصف نق تربيع 𝜃.

علينا أيضًا تذكر الصيغة المستخدمة لحساب طول القوس. بالدرجات، تكون الصيغة 𝜃 على ٣٦٠ مضروبًا في اثنين 𝜋 نق أو 𝜋 ﻕ. وبالراديان، تكون الصيغة نق 𝜃. نستخدم عادة الحرف ﻝ للإشارة إلى طول القوس. إذا أردنا حساب محيط القطاع الدائري بدلًا من طول القوس وحده، فإننا نضيف إليه ضعف نصف القطر. إذن، محيط القطاع يساوي ﻝ زائد اثنين نق. يمكننا استخدام هذه الصيغ لحل المسائل المتعلقة بطول القوس ومساحة القطاع، بالإضافة إلى مسائل في سياق هندسي أو واقعي.