نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة محدد المصفوفة التي عناصرها ١٠جتا ﺱ، سالب اثنين جا ﺱ، ١٠جا ﺱ، اثنان جتا ﺱ.
أولًا، دعونا نوضح الترميز المستخدم في السؤال. هذان الخطان الرأسيان على جانبي المصفوفة يعنيان أننا نريد حساب قيمة محدد هذه المصفوفة. لنتذكر ما يعنيه المحدد. محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ يساوي القيمة القياسية ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. هذا هو حاصل ضرب عنصري القطر الرئيسي، أي ﺃ وﺩ، ناقص حاصل ضرب عنصري القطر الآخر، أي ﺏ وﺟ.
إذن لكي نحسب قيمة محدد المصفوفة لدينا، نأخذ عنصري القطر الرئيسي وهما ١٠جتا ﺱ ثم اثنان جتا ﺱ. ونأخذ حاصل ضربهما. ثم نطرح بعد ذلك حاصل ضرب عنصري القطر الآخر، وهما سالب اثنين جا ﺱ و١٠جا ﺱ.
إذن، لدينا ١٠جتا ﺱ مضروبًا في اثنين جتا ﺱ ناقص سالب اثنين جا ﺱ مضروبًا في ١٠جا ﺱ. ١٠ مضروبًا في اثنين يساوي ٢٠. وجتا ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ يساوي جتا تربيع ﺱ. لذلك، يبسط الحد الأول إلى ٢٠جتا تربيع ﺱ.
في الحد الثاني، سالب اثنين مضروبًا في ١٠ يساوي سالب ٢٠. وجا ﺱ مضروبًا في جا ﺱ يساوي جا تربيع ﺱ. لذا، يصبح لدينا ٢٠جتا تربيع ﺱ ناقص سالب ٢٠جا تربيع ﺱ. تكون الإشارتان السالبتان معًا إشارة موجبة. إذا طرحنا سالب ٢٠جا تربيع ﺱ، فإن هذا يماثل إضافة ٢٠جا تربيع ﺱ. إذن، يصبح لدينا ٢٠جتا تربيع ﺱ زائد ٢٠جا تربيع ﺱ.
في هذه المرحلة، علينا تذكر إحدى المتطابقات المثلثية، وهي أنه لأي زاوية ﺱ، فإن جتا تربيع ﺱ زائد جا تربيع ﺱ يساوي واحدًا دائمًا. يمكننا أن نلاحظ ذلك باستخدام دائرة الوحدة؛ لأن جتا ﺱ وجا ﺱ يمثلان الضلعين الأفقي والرأسي في المثلث القائم الزاوية. وواحد هو طول الوتر. إذن، بتطبيق نظرية فيثاغورس، يمكننا إثبات هذه النتيجة.
ومن ثم، يمكننا أخذ ٢٠ عاملًا مشتركًا من تعبير محدد هذه المصفوفة، وهو ما يعطينا ٢٠ مضروبًا في جتا تربيع ﺱ زائد جا تربيع ﺱ. بما أن جتا تربيع ﺱ زائد جا تربيع ﺱ يساوي واحدًا، فإن لدينا ٢٠ مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي ٢٠.
إذن، وجدنا أن محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ١٠جتا ﺱ، سالب اثنين جا ﺱ، ١٠جا ﺱ، اثنان جتا ﺱ يساوي ٢٠.
