شارح الدرس: محدِّدات الرتبة الثانية الرياضيات

مثال ١: إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة معيَّنة

أوجد محدِّد المصفوفة التالية:

الحل

في البداية، نلاحِظ أن المصفوفة المُعطاة مصفوفة مربَّعة من الرُّتبة .

ونعلم أنه يُمكننا حساب محدِّد المصفوفة على الصورة:

إذن، لحساب محدِّد المصفوفة، علينا إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة.

حاصل ضرب القطر الرئيسي هو:

وحاصل ضرب القطر الآخَر هو:

هذا يعني أنه يُمكننا حساب المحدِّد على النحو الآتي:

إذن، قيمة محدِّد المصفوفة تساوي ٢٦.

مثال ٢: إيجاد قيمة محدِّد

أوجد قيمة:

الحل

في هذا السؤال، مطلوب منَّا إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة . لكي نفعل ذلك، علينا إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة.

بعبارةٍ أخرى، إذا كان ، إذن .

حاصل ضرب القطر الرئيسي لهذه المصفوفة هو ، وحاصل ضرب القطر الآخَر لهذه المصفوفة هو .

إذن:

وبهذا نكون قد أوضحنا أن:

مثال ٣: إيجاد قيمة محدِّد بدلالة س

أوجد قيمة محدِّد المصفوفة:

الحل

علمنا من معطيات السؤال أن محدِّد مصفوفة من الرُّتبة . لإيجاد قيمة هذا المحدِّد، علينا أن نتذكَّر أن:

بتطبيق هذا على المصفوفة المُعطاة لنا في السؤال، نحصل على:

إذن:

مثال ٤: حلُّ معادلة بسيطة باستخدام المحدِّدات

إذا كان ، فإن .

1. ١
2. ٢

الحل

في هذا السؤال، نعلم أن محدِّدَيْ مصفوفتين مختلفتين من الرُّتبة متساويان، ومطلوب منَّا إيجاد القيمة المجهولة . لكي نفعل ذلك، سنحسب كل محدِّد على حِدة.

تذكَّر أن:

لنبدأ بالمحدِّد الموجود في الطرف الأيمن من المعادلة:

بعد ذلك، نحسب المحدِّد الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة:

مذكور في السؤال أن هذين المحدِّدين لا بدَّ أن يكونا متساويين، وهذا يُعطينا:

يُمكننا الآن حلُّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة :

هذا يعني أنه لكي يتساوى محدِّدا هاتين المصفوفتين، إمَّا أن يكون ، وإمَّا أن يكون .

إذن، الإجابة هي الخيار (ج).

مثال ٥: استخدام متطابقات مثلثية لإيجاد قيمة محدِّد

أوجد قيمة .

الحل

مطلوب منَّا إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ، يمثِّل كلُّ عنصر فيها دالةً مثلثية.

سنحسب قيمة محدِّد هذه المصفوفة من خلال إيجاد الفرق بين حاصل ضرب القطرين:

تذكَّر أن متطابقة فيثاغورس تُخبرنا أن:

يُمكننا استخدام هذه المتطابقة لتبسيط المقدار الذي أوجدناه لحساب قيمة المحدِّد:

إذن:

مثال ٦: حلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن محدِّدات

حُلَّ المعادلة: حيث .

الحل

علينا حلُّ معادلة تتضمَّن محدِّدًا لمصفوفة من الرُّتبة .

سنحسب قيمة محدِّد هذه المصفوفة من خلال إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة:

يُمكننا تبسيط ذلك من خلال تذكُّر المتطابقة المثلثية الآتية:

إذن:

لحلِّ المعادلة الأصلية، سنجعل هذا المقدار يساوي لقِيَم في الفترة :

يُمكننا بعد ذلك أخذ المقلوب لإعادة كتابة المعادلة على الصورة:

تذكَّر أن ، وهذا يُعطينا حلًّا واحدًا لهذه المعادلة في الفترة المُعطاة. لكنَّنا ما زلنا بحاجة إلى التحقُّق من وجود حلول أخرى مُمكِنة. سنفعل ذلك من خلال رسم المنحنى ، والمستقيم .

ستكون حلول المعادلة هي النقاط التي يتقاطع عندها المستقيم مع المنحنى. التقاطع الوحيد في الفترة يحدث عند ، وهذا هو الحلُّ الوحيد.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه إذا كان ، ، إذن: