في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نتعرَّف على المحدِّدات، ونُوجِد قِيَم محدِّدات الرُّتبة الثانية.
تعلمنا أن هناك الكثير من العمليات المختلفة التي يُمكننا إجراؤها على المصفوفات؛ إذ يُمكننا جمعها وطرحها، كما تعلَّمنا كيف نضرب مصفوفة في كمية قياسية. والآن، سنتناول واحدًا من أهم تعريفات المصفوفة؛ وهو محدِّد المصفوفة.
أولًا، من المهم أن نعرف أنه ليس لجميع المصفوفات محدِّد. في الواقع، المصفوفات المربَّعة فقط هي التي لها محدِّد. ثانيًا، على الرغم من أنه يُمكن تعريف محدِّد أيِّ مصفوفة مربَّعة، سنتناول في هذا الشارح فقط حالة المصفوفات من الرُّتبة .
تعريف: محدِّدات الرُّتبة الثانية
محدِّد المصفوفة من الرتبة (الذي يُكتَب على الصورة ) هو الفرق بين حاصل ضرب قطرَيْها.
على سبيل المثال:
يُمكننا أيضًا كتابة المحدِّد على الصورة: ؛ لأنه قد يكون من السهل أن نخلط بين ترميز الخط الرأسي والقيمة المُطلقة لعددٍ ما. في بعض الأمثلة الأولى، سنوضِّح كيفية حساب المحدِّد لمصفوفات مختلفة.
مثال ١: إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة معيَّنة
أوجد محدِّد المصفوفة التالية:
الحل
في البداية، نلاحِظ أن المصفوفة المُعطاة مصفوفة مربَّعة من الرُّتبة .
ونعلم أنه يُمكننا حساب محدِّد المصفوفة على الصورة:
إذن، لحساب محدِّد المصفوفة، علينا إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة.
حاصل ضرب القطر الرئيسي هو:
وحاصل ضرب القطر الآخَر هو:
هذا يعني أنه يُمكننا حساب المحدِّد على النحو الآتي:
إذن، قيمة محدِّد المصفوفة تساوي ٢٦.
مثال ٢: إيجاد قيمة محدِّد
أوجد قيمة:
الحل
في هذا السؤال، مطلوب منَّا إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة . لكي نفعل ذلك، علينا إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة.
بعبارةٍ أخرى، إذا كان ، إذن .
حاصل ضرب القطر الرئيسي لهذه المصفوفة هو ، وحاصل ضرب القطر الآخَر لهذه المصفوفة هو .
إذن:
وبهذا نكون قد أوضحنا أن:
والآن بعد أن عرَّفنا المحدِّد، يُمكننا حساب محدِّد بعض المصفوفات التي نعرفها بالفعل:
هناك أيضًا خاصية أخرى مُفيدة لمحدِّد المصفوفة يُمكننا توضيحها.
إذا كانت ، فإن مدوِّر المصفوفة هو . يُمكننا إذن استخدام ذلك لحساب محدِّد مدوِّر المصفوفة :
هيا نلخِّص النواتج التي أوضحناها بشأن محدِّدات المصفوفات من الرُّتبة .
تعريف: خواص محدِّد مصفوفات من الرُّتبة الثانية
- محدِّد المصفوفة الصفرية من الرُّتبة يساوي صفرًا:
- محدِّد مصفوفة الوحدة من الرُّتبة يساوي واحدًا:
- تدوير مصفوفة من الرُّتبة لا يغيِّر قيمة محدِّدها:
في بعض الأحيان، سيكون علينا استخدام تعريف المحدِّد لإيجاد قِيَم مجهولة أو حلِّ معادلات. دعونا نتناول بعض الأمثلة على كيفية فعل ذلك.
مثال ٣: إيجاد قيمة محدِّد بدلالة س
أوجد قيمة محدِّد المصفوفة:
الحل
علمنا من معطيات السؤال أن محدِّد مصفوفة من الرُّتبة . لإيجاد قيمة هذا المحدِّد، علينا أن نتذكَّر أن:
بتطبيق هذا على المصفوفة المُعطاة لنا في السؤال، نحصل على:
إذن:
في المثال التالي، سنثبت حقيقة أن مصفوفتين غير متساويتين يُمكن أن يكون لهما المحدِّد نفسه.
مثال ٤: حلُّ معادلة بسيطة باستخدام المحدِّدات
إذا كان ، فإن .
- ١
- ٢
الحل
في هذا السؤال، نعلم أن محدِّدَيْ مصفوفتين مختلفتين من الرُّتبة متساويان، ومطلوب منَّا إيجاد القيمة المجهولة . لكي نفعل ذلك، سنحسب كل محدِّد على حِدة.
تذكَّر أن:
لنبدأ بالمحدِّد الموجود في الطرف الأيمن من المعادلة:
بعد ذلك، نحسب المحدِّد الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة:
مذكور في السؤال أن هذين المحدِّدين لا بدَّ أن يكونا متساويين، وهذا يُعطينا:
يُمكننا الآن حلُّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة :
هذا يعني أنه لكي يتساوى محدِّدا هاتين المصفوفتين، إمَّا أن يكون ، وإمَّا أن يكون .
إذن، الإجابة هي الخيار (ج).
من المُمكِن أيضًا أن تحتوي المصفوفات على دوالَّ، وهو ما يعني أنه سيكون علينا استخدام متطابقات وطُرق أخرى من مجالات الرياضيات المختلفة لإيجاد قيمة هذه المحدِّدات. هيا نتناول بعض الأمثلة على ذلك.
مثال ٥: استخدام متطابقات مثلثية لإيجاد قيمة محدِّد
أوجد قيمة .
الحل
مطلوب منَّا إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ، يمثِّل كلُّ عنصر فيها دالةً مثلثية.
سنحسب قيمة محدِّد هذه المصفوفة من خلال إيجاد الفرق بين حاصل ضرب القطرين:
تذكَّر أن متطابقة فيثاغورس تُخبرنا أن:
يُمكننا استخدام هذه المتطابقة لتبسيط المقدار الذي أوجدناه لحساب قيمة المحدِّد:
إذن:
في المثال التالي، سنوضِّح كيفية توسيع نطاق هذه الفكرة لتشمل إيجاد محدِّد مصفوفة تُمثِّل عناصرها مقلوب الدوال المثلثية.
مثال ٦: حلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن محدِّدات
حُلَّ المعادلة: حيث .
الحل
علينا حلُّ معادلة تتضمَّن محدِّدًا لمصفوفة من الرُّتبة .
سنحسب قيمة محدِّد هذه المصفوفة من خلال إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة:
يُمكننا تبسيط ذلك من خلال تذكُّر المتطابقة المثلثية الآتية:
إذن:
لحلِّ المعادلة الأصلية، سنجعل هذا المقدار يساوي لقِيَم في الفترة :
يُمكننا بعد ذلك أخذ المقلوب لإعادة كتابة المعادلة على الصورة:
تذكَّر أن ، وهذا يُعطينا حلًّا واحدًا لهذه المعادلة في الفترة المُعطاة. لكنَّنا ما زلنا بحاجة إلى التحقُّق من وجود حلول أخرى مُمكِنة. سنفعل ذلك من خلال رسم المنحنى ، والمستقيم .
ستكون حلول المعادلة هي النقاط التي يتقاطع عندها المستقيم مع المنحنى. التقاطع الوحيد في الفترة يحدث عند ، وهذا هو الحلُّ الوحيد.
وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه إذا كان ، ، إذن:
سنُنهي هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها فيه بشأن محدِّد مصفوفة من الرُّتبة .
النقاط الرئيسية
- يُمكن حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة من خلال إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة:
- محدِّد المصفوفة الصفرية من الرُّتبة يساوي صفرًا.
- محدِّد مصفوفة الوحدة من الرُّتبة يساوي واحدًا.
- تدوير مصفوفة من الرُّتبة لا يغيِّر قيمة محدِّدها.