شارح الدرس: محدِّدات الرتبة الثانية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نتعرَّف على المحدِّدات، ونُوجِد قِيَم محدِّدات الرُّتبة الثانية.

تعلمنا أن هناك الكثير من العمليات المختلفة التي يُمكننا إجراؤها على المصفوفات؛ إذ يُمكننا جمعها وطرحها، كما تعلَّمنا كيف نضرب مصفوفة في كمية قياسية. والآن، سنتناول واحدًا من أهم تعريفات المصفوفة؛ وهو محدِّد المصفوفة.

أولًا، من المهم أن نعرف أنه ليس لجميع المصفوفات محدِّد. في الواقع، المصفوفات المربَّعة فقط هي التي لها محدِّد. ثانيًا، على الرغم من أنه يُمكن تعريف محدِّد أيِّ مصفوفة مربَّعة، سنتناول في هذا الشارح فقط حالة المصفوفات من الرُّتبة ٢×٢.

تعريف: محدِّدات الرُّتبة الثانية

محدِّد المصفوفة 󰏡 من الرتبة ٢×٢ (الذي يُكتَب على الصورة |󰏡|) هو الفرق بين حاصل ضرب قطرَيْها.

على سبيل المثال: 󰍾𞸀𞸁𞸢𞸃󰍾=𞸀𞸃𞸁𞸢.

يُمكننا أيضًا كتابة المحدِّد على الصورة: اد󰃁𞸀𞸁𞸢𞸃󰃀؛ لأنه قد يكون من السهل أن نخلط بين ترميز الخط الرأسي والقيمة المُطلقة لعددٍ ما. في بعض الأمثلة الأولى، سنوضِّح كيفية حساب المحدِّد لمصفوفات مختلفة.

مثال ١: إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة معيَّنة

أوجد محدِّد المصفوفة التالية: 󰂔٥١١٥󰂓.

الحل

في البداية، نلاحِظ أن المصفوفة المُعطاة مصفوفة مربَّعة من الرُّتبة ٢×٢.

ونعلم أنه يُمكننا حساب محدِّد المصفوفة 󰏡=󰃁𞸀𞸁𞸢𞸃󰃀 على الصورة: 󰍾𞸀𞸁𞸢𞸃󰍾=𞸀𞸃𞸁𞸢.

إذن، لحساب محدِّد المصفوفة، علينا إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة.

حاصل ضرب القطر الرئيسي هو: ٥×٥=٥٢.

وحاصل ضرب القطر الآخَر هو: ١×(١)=١.

هذا يعني أنه يُمكننا حساب المحدِّد على النحو الآتي: 󰍻٥١١٥󰍻=٥×٥١×(١)=٥٢(١)=٦٢.

إذن، قيمة محدِّد المصفوفة 󰂔٥١١٥󰂓 تساوي ٢٦.

مثال ٢: إيجاد قيمة محدِّد

أوجد قيمة: 󰍻٢٩٧٧󰍻.

الحل

في هذا السؤال، مطلوب منَّا إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢. لكي نفعل ذلك، علينا إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة.

بعبارةٍ أخرى، إذا كان 󰏡=󰃁𞸀𞸁𞸢𞸃󰃀، إذن 󰍾𞸀𞸁𞸢𞸃󰍾=𞸀𞸃𞸁𞸢.

حاصل ضرب القطر الرئيسي لهذه المصفوفة هو ٢×٧=٤١، وحاصل ضرب القطر الآخَر لهذه المصفوفة هو ٩×٧=٣٦.

إذن: 󰍻٢٩٧٧󰍻=(٢)×٧(٩)×٧=٤١(٣٦)=٩٤.

وبهذا نكون قد أوضحنا أن: 󰍻٢٩٧٧󰍻=٩٤.

والآن بعد أن عرَّفنا المحدِّد، يُمكننا حساب محدِّد بعض المصفوفات التي نعرفها بالفعل: ||=󰍸٠٠٠٠󰍸=٠×٠٠×٠=٠،٢|𝐼|=󰍻١٠٠١󰍻=١×١٠×٠=١.٢

هناك أيضًا خاصية أخرى مُفيدة لمحدِّد المصفوفة يُمكننا توضيحها.

إذا كانت 󰏡=󰃁𞸀𞸁𞸢𞸃󰃀، فإن مدوِّر المصفوفة 󰏡 هو 󰏡=󰃁𞸀𞸢𞸁𞸃󰃀. يُمكننا إذن استخدام ذلك لحساب محدِّد مدوِّر المصفوفة 󰏡: |󰏡|=󰍾𞸀𞸢𞸁𞸃󰍾=𞸀𞸃𞸢𞸁=𞸀𞸃𞸁𞸢=|󰏡|.

هيا نلخِّص النواتج التي أوضحناها بشأن محدِّدات المصفوفات من الرُّتبة ٢×٢.

تعريف: خواص محدِّد مصفوفات من الرُّتبة الثانية

  • محدِّد المصفوفة الصفرية من الرُّتبة ٢×٢ يساوي صفرًا: 󰍸٠٠٠٠󰍸=٠.
  • محدِّد مصفوفة الوحدة من الرُّتبة ٢×٢ يساوي واحدًا: 󰍻١٠٠١󰍻=١.
  • تدوير مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢ لا يغيِّر قيمة محدِّدها: 󰍾𞸀𞸁𞸢𞸃󰍾=󰍾𞸀𞸢𞸁𞸃󰍾=𞸀𞸃𞸁𞸢.

في بعض الأحيان، سيكون علينا استخدام تعريف المحدِّد لإيجاد قِيَم مجهولة أو حلِّ معادلات. دعونا نتناول بعض الأمثلة على كيفية فعل ذلك.

مثال ٣: إيجاد قيمة محدِّد بدلالة س

أوجد قيمة محدِّد المصفوفة: 󰏡=󰍻𞸎١١𞸎١󰍻.

الحل

علمنا من معطيات السؤال أن 󰏡 محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢. لإيجاد قيمة هذا المحدِّد، علينا أن نتذكَّر أن: 󰍾𞸀𞸁𞸢𞸃󰍾=𞸀𞸃𞸁𞸢.

بتطبيق هذا على المصفوفة المُعطاة لنا في السؤال، نحصل على: 󰍻𞸎١١𞸎١󰍻=𞸎×(١)(١١)×𞸎=𞸎+١١𞸎=٠١𞸎.

إذن: 󰏡=󰍻𞸎١١𞸎١󰍻=٠١𞸎.

في المثال التالي، سنثبت حقيقة أن مصفوفتين غير متساويتين يُمكن أن يكون لهما المحدِّد نفسه.

مثال ٤: حلُّ معادلة بسيطة باستخدام المحدِّدات

إذا كان 󰍻١𞸎𞸎٣󰍻=󰍻٢١٤٣󰍻، فإن 𞸎=.

  1. ١
  2. ٢
  3. ١،١
  4. 󰋴٥

الحل

في هذا السؤال، نعلم أن محدِّدَيْ مصفوفتين مختلفتين من الرُّتبة ٢×٢ متساويان، ومطلوب منَّا إيجاد القيمة المجهولة 𞸎. لكي نفعل ذلك، سنحسب كل محدِّد على حِدة.

تذكَّر أن: 󰍾𞸀𞸁𞸢𞸃󰍾=𞸀𞸃𞸁𞸢.

لنبدأ بالمحدِّد الموجود في الطرف الأيمن من المعادلة: 󰍻١𞸎𞸎٣󰍻=١×٣𞸎×𞸎=٣𞸎.٢

بعد ذلك، نحسب المحدِّد الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة: 󰍻٢١٤٣󰍻=٢×٣١×٤=٦٤=٢.

مذكور في السؤال أن هذين المحدِّدين لا بدَّ أن يكونا متساويين، وهذا يُعطينا: ٣𞸎=٢.٢

يُمكننا الآن حلُّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎: 𞸎=١𞸎=±١.٢

هذا يعني أنه لكي يتساوى محدِّدا هاتين المصفوفتين، إمَّا أن يكون 𞸎=١، وإمَّا أن يكون 𞸎=١.

إذن، الإجابة هي الخيار (ج).

من المُمكِن أيضًا أن تحتوي المصفوفات على دوالَّ، وهو ما يعني أنه سيكون علينا استخدام متطابقات وطُرق أخرى من مجالات الرياضيات المختلفة لإيجاد قيمة هذه المحدِّدات. هيا نتناول بعض الأمثلة على ذلك.

مثال ٥: استخدام متطابقات مثلثية لإيجاد قيمة محدِّد

أوجد قيمة 󰍾٠١𞸎٢𞸎٠١𞸎٢𞸎󰍾.

الحل

مطلوب منَّا إيجاد قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢، يمثِّل كلُّ عنصر فيها دالةً مثلثية.

سنحسب قيمة محدِّد هذه المصفوفة من خلال إيجاد الفرق بين حاصل ضرب القطرين: 󰍾٠١𞸎٢𞸎٠١𞸎٢𞸎󰍾=٠١𞸎×٢𞸎(٢𞸎)×٠١𞸎=٠٢𞸎+٠٢𞸎=٠٢󰁓𞸎+𞸎󰁒.٢٢٢٢

تذكَّر أن متطابقة فيثاغورس تُخبرنا أن: ٢٢𞸎+𞸎١.

يُمكننا استخدام هذه المتطابقة لتبسيط المقدار الذي أوجدناه لحساب قيمة المحدِّد: ٠٢󰁓𞸎+𞸎󰁒=٠٢.٢٢

إذن: 󰍾٠١𞸎٢𞸎٠١𞸎٢𞸎󰍾=٠٢.

في المثال التالي، سنوضِّح كيفية توسيع نطاق هذه الفكرة لتشمل إيجاد محدِّد مصفوفة تُمثِّل عناصرها مقلوب الدوال المثلثية.

مثال ٦: حلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن محدِّدات

حُلَّ المعادلة: 󰍾𝜃𝜃𝜃𝜃󰍾=٢ حيث ٠<𝜃<٠٩.

الحل

علينا حلُّ معادلة تتضمَّن محدِّدًا لمصفوفة من الرُّتبة ٢×٢.

سنحسب قيمة محدِّد هذه المصفوفة من خلال إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة: 󰍾𝜃𝜃𝜃𝜃󰍾=𝜃×𝜃(𝜃)×𝜃.

يُمكننا تبسيط ذلك من خلال تذكُّر المتطابقة المثلثية الآتية: 𝜃١𝜃.

إذن: 󰍾𝜃𝜃𝜃𝜃󰍾=𝜃×𝜃(𝜃)×𝜃=𝜃×١𝜃(𝜃)×١𝜃=𝜃𝜃١.

لحلِّ المعادلة الأصلية، سنجعل هذا المقدار يساوي ٢ لقِيَم 𝜃 في الفترة ٠<𝜃<٠٩: 𝜃𝜃١=٢𝜃𝜃=١.

يُمكننا بعد ذلك أخذ المقلوب لإعادة كتابة المعادلة على الصورة: 𝜃=١.

تذكَّر أن (٥٤)=١، وهذا يُعطينا حلًّا واحدًا لهذه المعادلة في الفترة المُعطاة. لكنَّنا ما زلنا بحاجة إلى التحقُّق من وجود حلول أخرى مُمكِنة. سنفعل ذلك من خلال رسم المنحنى 𞸑=(𝜃)، والمستقيم 𞸑=١.

ستكون حلول المعادلة هي النقاط التي يتقاطع عندها المستقيم مع المنحنى. التقاطع الوحيد في الفترة ٠<𝜃<٠٩ يحدث عند 𝜃=٥٤، وهذا هو الحلُّ الوحيد.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه إذا كان 󰍾𝜃𝜃𝜃𝜃󰍾=٢، ٠<𝜃<٠٩، إذن: 𝜃=٥٤.

سنُنهي هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها فيه بشأن محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢.

النقاط الرئيسية

  • يُمكن حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢ من خلال إيجاد الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة: 󰍾𞸀𞸁𞸢𞸃󰍾=𞸀𞸃𞸁𞸢.
  • محدِّد المصفوفة الصفرية من الرُّتبة ٢×٢ يساوي صفرًا.
  • محدِّد مصفوفة الوحدة من الرُّتبة ٢×٢ يساوي واحدًا.
  • تدوير مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢ لا يغيِّر قيمة محدِّدها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.