نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على المحددات، ونوجد قيم محددات الرتبة الثانية. سنبدأ بتناول بعض التعريفات والقاعدة التي سنستخدمها لحساب قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. يرمز لمحدد المصفوفة بخطي القيمة المطلقة بدلًا من الأقواس المربعة. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وهي: ﺃ، ﺏ ، ﺟ، ﺩ، فسيكتب محدد هذه المصفوفة على الصورة: ﺃ، ﺏ ، ﺟ، ﺩ بين خطي القيمة المطلقة.
وبالنسبة لأي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، يمكن إيجاد قيمة المحدد بطرح حاصل ضرب قطري المصفوفة. محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وهي: ﺃ، ﺏ ، ﺟ، ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. إذ نضرب القيمة الموجودة في أعلى يمين المصفوفة في القيمة الموجودة في أسفل يسار المصفوفة، ثم نطرح حاصل ضرب القيمتين في أعلى يسار المصفوفة وأسفل يمينها. سنتناول الآن بعض الأسئلة المحددة التي علينا فيها حساب قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين.
أوجد محدد المصفوفة التالية: خمسة، واحد، سالب واحد، خمسة.
نحن نتذكر أن محدد أي مصفوفة يكتب بين خطي القيمة المطلقة. إن محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وهي: ﺃ، ﺏ ، ﺟ، ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. ومن ثم، فإن محدد المصفوفة: خمسة، واحد، سالب واحد، خمسة يساوي خمسة مضروبًا في خمسة ناقص واحد مضروبًا في سالب واحد. خمسة مضروبًا في خمسة يساوي ٢٥. وعند ضرب عدد موجب في عدد سالب، نحصل على قيمة سالبة. إذن، واحد مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب واحد. ونحن نعلم أن طرح سالب واحد هو نفسه إضافة واحد. إذن، محدد المصفوفة: خمسة، واحد، سالب واحد، خمسة يساوي ٢٦.
في السؤال التالي، سنوجد قيمة محدد مصفوفة أخرى رتبتها اثنان في اثنين.
أوجد قيمة محدد المصفوفة: سالب اثنين، سالب تسعة، سبعة، سبعة.
يشير خطا القيمة المطلقة اللذان يقعان على جانبي المصفوفة إلى أنه علينا حساب المحدد. نحن نعلم أنه لحساب محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين وهي: ﺃ، ﺏ ، ﺟ، ﺩ، علينا طرح ﺏﺟ من ﺃﺩ. في هذا السؤال، سنبدأ بضرب سالب اثنين وسبعة. علينا بعد ذلك طرح سالب تسعة مضروبًا في سبعة. عند ضرب عدد سالب وعدد موجب، نحصل على قيمة سالبة.
إذن سالب اثنين مضروبًا في سبعة يساوي سالب ١٤. علينا طرح سالب ٦٣ من هذا. طرح سالب ٦٣ هو نفسه إضافة ٦٣. إذن، سالب ١٤ زائد ٦٣ يساوي ٤٩. يمكننا ملاحظة ذلك على خط الأعداد الذي يوضح أن ١٤ زائد ٤٩ يساوي ٦٣. إضافة ١٤ إلى سالب ١٤ يأخذنا إلى صفر، وإضافة ٤٩ بعد ذلك يأخذنا إلى ٤٩. إذن، محدد المصفوفة: سالب اثنين، سالب تسعة، سبعة، سبعة، يساوي ٤٩.
في السؤال التالي، علينا إيجاد المحدد في صورة مقدار جبري.
أوجد قيمة محدد المصفوفة ﺃ: ﺱ، سالب ١١، ﺱ، سالب واحد.
يرمز لمحدد المصفوفة بخطي القيمة المطلقة، ومحدد أي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين على الصورة: ﺃ، ﺏ ، ﺟ، ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. وهذا يعني أن محدد المصفوفة: ﺱ، سالب ١١، ﺱ، سالب واحد، يساوي ﺱ مضروبًا في سالب واحد ناقص سالب ١١ مضروبًا في ﺱ. عند ضرب القيمة الموجودة أعلى اليمين في القيمة الموجودة أسفل اليسار، فإننا نحصل على سالب ﺱ. وعند ضرب القيمة الموجودة أعلى اليسار في القيمة الموجودة أسفل اليمين، فإننا نحصل على سالب ١١ﺱ. علينا طرح هذا من سالب ﺱ. يمكن تبسيط ذلك إلى سالب ﺱ زائد ١١ﺱ. إذن، قيمة محدد المصفوفة ﺃ: ﺱ، سالب ١١، ﺱ، سالب واحد هي ١٠ﺱ.
في السؤال التالي، علينا حل معادلة بالاستعانة بما نعرفه عن المحددات.
إذا كان محدد المصفوفة: واحد، ﺱ، ﺱ، ثلاثة يساوي محدد المصفوفة: اثنان، واحد، أربعة، ثلاثة، فإن ﺱ يساوي (فراغًا).
إننا نتذكر أن محدد أي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين على الصورة: ﺃ، ﺏ ، ﺟ، ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. لنبدأ بالنظر إلى المصفوفة: واحد، ﺱ، ﺱ، ثلاثة. بضرب القيمة الموجودة أعلى اليمين في القيمة الموجودة أسفل اليسار، نحصل على ثلاثة. وبضرب القيمة الموجودة أعلى اليسار في القيمة الموجودة أسفل اليمين، نحصل على ﺱ تربيع. هذا يعني أن محدد هذه المصفوفة هو ثلاثة ناقص ﺱ تربيع. يمكننا تكرار هذه العملية مع المصفوفة الثانية. اثنان مضروبًا في ثلاثة يساوي ستة. وواحد مضروبًا في أربعة يساوي أربعة. وبما أن ستة ناقص أربعة يساوي اثنين، فإن محدد هذه المصفوفة هو اثنان.
لكي نحسب قيمة ﺱ، علينا حل المعادلة: ثلاثة ناقص ﺱ تربيع يساوي اثنين. يمكننا إضافة ﺱ تربيع إلى كلا طرفي المعادلة، وطرح اثنين من كلا الطرفين. ذلك يعطينا ثلاثة ناقص اثنين يساوي ﺱ تربيع. وبما أن ﺱ تربيع يساوي واحدًا، يمكننا أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة. الجذر التربيعي لواحد يساوي واحدًا. هذا يعني أن ﺱ يمكن أن يكون موجب واحد أو سالب واحد؛ لأنه بعد أخذ الجذر التربيعي لعدد ما، يمكن أن تكون الإجابة موجبة أو سالبة. إذا كانت قيمتا محددي المصفوفتين متساويتين، فإن ﺱ يمكن أن يساوي واحدًا أو سالب واحد.
يمكننا التأكد من هذه الإجابة بالتعويض بهاتين القيمتين في المقدار: ثلاثة ناقص ﺱ تربيع. بتربيع واحد أو سالب واحد، نحصل على واحد. إذن، يصبح لدينا ثلاثة ناقص واحد. وبما أن هذا يساوي اثنين، وهو ما يساوي محدد المصفوفة الثانية، فإننا نعرف بذلك أن إجابتنا صحيحة. إذن، ﺱ يمكن أن يساوي واحدًا أو سالب واحد.
في السؤال الأخير، سنوجد قيمة محدد مصفوفة بالاستعانة بمعرفتنا بحساب المثلثات.
أوجد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، وهي: ١٠ جتا ﺱ، سالب اثنين جا ﺱ، ١٠ جا ﺱ، اثنان جتا ﺱ.
نحن نعلم أن قيمة محدد أي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين وهي: ﺃ، ﺏ ، ﺟ، ﺩ تساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. في هذا السؤال، نبدأ بضرب ١٠ جتا ﺱ واثنين جتا ﺱ. ١٠ مضروبًا في اثنين يساوي ٢٠، وجتا ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ يساوي جتا تربيع ﺱ. إذن، ١٠ جتا ﺱ مضروبًا في اثنين جتا ﺱ يساوي ٢٠ جتا تربيع ﺱ. علينا أيضًا ضرب سالب اثنين جا ﺱ و١٠ جا ﺱ. ذلك يعطينا سالب ٢٠ جا تربيع ﺱ. يمكن إعادة كتابة المحدد على الصورة: ٢٠ جتا تربيع ﺱ زائد ٢٠ جا تربيع ﺱ. في هذه المرحلة، يمكننا أخذ العامل المشترك الأكبر ٢٠. ذلك يعطينا ٢٠ مضروبًا في جتا تربيع ﺱ زائد جا تربيع ﺱ.
تنص إحدى المتطابقات المثلثية على أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. وهذا يعني أن جتا تربيع ﺱ زائد جا تربيع ﺱ يساوي واحدًا أيضًا. علينا الآن ضرب ٢٠ في واحد. إذن، محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وهي: ١٠ جتا ﺱ، سالب اثنين جا ﺱ، ١٠ جا ﺱ، اثنان جتا ﺱ يساوي ٢٠.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يكتب محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وهي: ﺃ، ﺏ ، ﺟ، ﺩ في صورة القيمة المطلقة لـ ﺃ، ﺏ ، ﺟ، ﺩ. وهو يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. إذ نضرب القيمتين في أعلى يمين المصفوفة وأسفل يسارها، ثم نطرح حاصل ضرب القيمتين في أعلى يسار المصفوفة وأسفل يمينها. من المهم أن نلاحظ أنه على الرغم من أننا نستخدم رمز القيمة المطلقة، فيمكن أن تكون قيمة المحدد سالبة. ويمكن إيجاده ببساطة بطرح حاصل ضرب قطري المصفوفة.
