فيديو السؤال: استخدام معكوس المصفوفة لحل نظام من المعادلات الخطية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

استخدم معكوس المصفوفة لحل المعادلة المصفوفية؛ حيث المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة التي عناصرها اثنان، ثلاثة، أربعة، سالب خمسة، خمسة، ستة، سبعة، ثمانية، تسعة، مضروبة في مصفوفة عمود عناصرها ﺱ، ﺹ، ﻉ تساوي مصفوفة العمود التي عناصرها صفر، ٤٥، سالب ٤٥، واكتب الإجابة في صورة مصفوفة مناسبة.

حسنًا، لدينا هنا نظام من المعادلات الخطية على الصورة: ﺃ مضروبًا في ﺱ يساوي ﺏ؛ حيث ﺃ مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وﺱ مصفوفة عمود، وﺏ مصفوفة عمود. تحتوي مصفوفة العمود ﺱ على ثلاثة مجاهيل هي: ﺱ وﺹ وﻉ. ومطلوب منا حل نظام المعادلات هذا باستخدام معكوس المصفوفة. هذا يعني أننا سنفترض أن المصفوفة ﺃ غير منفردة؛ أي إنه يوجد معكوس للمصفوفة ﺃ. وإذا أوجدنا معكوس المصفوفة ﺃ، فإنه يمكننا ضرب المعادلة الموجودة على الجانب الأيمن بالكامل في معكوس المصفوفة ﺃ. ويمكننا استخدام حقيقة أن معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في المصفوفة ﺃ يساوي المصفوفة ﺃ مضروبة في معكوس المصفوفة ﺃ، وهو ما يساوي مصفوفة وحدة غير منفردة من الرتبة ﻥ في ﻥ.

باسترجاع أن مصفوفة الوحدة من الرتبة ﻥ في ﻥ هي المصفوفة التي تكون جميع عناصرها أصفارًا ما عدا عناصر القطر الرئيسي التي تكون جميعها العدد واحدًا، نجد أن مصفوفة الوحدة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة تكتب على الصورة الموضحة أمامنا. وعليه، يكون لدينا في الطرف الأيمن معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في المصفوفة ﺃ، وهو ما يساوي 𝐼، مضروبًا في ﺱ. و𝐼 مضروبًا في ﺱ يساوي ببساطة ﺱ. وبهذا، نكون قد عزلنا ﺱ بمفرده في الطرف الأيمن، وعلينا ألا ننسى أن ﺱ هو مصفوفة العمود التي عناصرها هي: ﺱ، ﺹ، ﻉ. وهذه هي المجاهيل لدينا. أما في الطرف الأيسر، فلدينا معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في ﺏ. ومن ثم، إذا أوجدنا معكوس المصفوفة ﺃ، فإنه يمكننا الحل لإيجاد قيم ﺱ، ﺹ، ﻉ.

لإيجاد معكوس المصفوفة ﺃ، سنستخدم طريقة المصفوفة الملحقة. هذه الطريقة تنص على أنه لأي مصفوفة ﺃ غير منفردة من الرتبة ﻥ في ﻥ، يكون معكوس المصفوفة ﺃ يساوي واحدًا على محدد المصفوفة ﺃ مضروبًا في المصفوفة الملحقة لـ ﺃ. هذا يعني أن علينا إيجاد محدد المصفوفة ﺃ والمصفوفة الملحقة لـ ﺃ. لإيجاد المحدد، يمكننا الفك باستخدام الصف الأول من المصفوفة ﺃ، وبهذا نجد أن محدد المصفوفة ﺃ يساوي العنصر ﺃ واحد واحد؛ أي اثنين، مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد من الرتبة اثنين في اثنين ناقص العنصر ﺃ واحد اثنين مضروبًا في محدد مصفوفته الصغرى زائد العنصر ﺃ واحد ثلاثة، الذي يساوي أربعة، مضروبًا في محدد مصفوفته الصغرى. تذكر أن المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ هي المصفوفة ﺃ بعد إزالة الصف ﺹ والعمود ﻉ منها.

في الحالة التي لدينا على سبيل المثال، تكون المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد هي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين الناتجة بعد إزالة الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة ﺃ. وعليه، فإن المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد هي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي عناصرها: خمسة، ستة، ثمانية، تسعة. وبالمثل، في الحد الثاني، المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنان هي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي عناصرها: سالب خمسة، ستة، سبعة، تسعة. وفي الحد الثالث، المصفوفة الصغرى ﺃ واحد ثلاثة هي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي عناصرها: سالب خمسة، خمسة، سبعة، ثمانية. لحساب ذلك، علينا إيجاد محددات المصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين. تذكر أنه لأي مصفوفة ﻡ من الرتبة اثنين في اثنين التي عناصرها: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، يكون محدد ﻡ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ.

على سبيل المثال، في الحد الأول، سيكون المحدد هو خمسة مضروبًا في تسعة ناقص ستة مضروبًا في ثمانية. وهذا يساوي ٤٥ ناقص ٤٨، وهو ما يساوي سالب ثلاثة، إذن الحد الأول يساوي اثنين في سالب ثلاثة؛ أي سالب ستة. في الحد الثاني، سيكون لدينا سالب ثلاثة مضروبًا في سالب خمسة في تسعة ناقص ستة في سبعة، وهو ما يساوي سالب ثلاثة في سالب ٨٧. وبالنسبة إلى الحد الثالث، فسيكون لدينا أربعة مضروبًا في سالب خمسة في ثمانية ناقص خمسة في سبعة، وهو ما يساوي أربعة في سالب ٧٥. وبهذا، نجد أن المحدد لدينا يساوي سالب ستة زائد ٢٦١ ناقص ٣٠٠، وهو ما يساوي سالب ٤٥. والآن بعد أن حصلنا على قيمة محدد المصفوفة ﺃ، علينا إيجاد المصفوفة الملحقة لها.

بينما نفرغ بعض المساحة ونكتب قيمة المحدد النهائية، دعونا نسترجع أن المصفوفة الملحقة لمصفوفة ما هي مدور مصفوفة العوامل المرافقة لها، التي تكتب على الصورة الموضحة أمامنا عندما تكون المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. لأي عنصر ﺃﺹﻉ، يكون العامل المرافق ﻡﺹﻉ مساويًا لسالب واحد مرفوعًا للقوة ﺹ زائد ﻉ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ. لاحظ أن سالب واحد مرفوعًا للقوة ﺹ زائد ﻉ يعطينا إشارة العامل المرافق. لأي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، تكون إشارات العوامل فيها هي: موجب، سالب، موجب، سالب، موجب، سالب، موجب، سالب، موجب.

لقد عرفنا بالفعل ثلاثة من العوامل المرافقة عند حساب قيمة محدد المصفوفة. ‏ﻡ واحد واحد هو المحدد الموجب للمصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد. وهو يساوي خمسة مضروبًا في تسعة ناقص ستة مضروبًا في ثمانية، الذي يساوي ٤٥ ناقص ٤٨، وهذا يعطينا، كما رأينا سابقًا، سالب ثلاثة. وبالمثل، العامل المرافق الثاني ﻡ واحد اثنان يساوي سالب سالب ٨٧. وهذا هو موجب ٨٧. أما العامل المرافق الثالث ﻡ واحد ثلاثة، فيساوي سالب ٧٥. والآن، سنكتب الصفين التاليين من العوامل المرافقة. العامل المرافق ﻡ اثنان واحد يساوي خمسة، وﻡ اثنان اثنان يساوي سالب ١٠، وﻡ اثنان ثلاثة يساوي خمسة. والصف الأخير من العوامل المرافقة هو: ﻡ ثلاثة واحد يساوي سالب اثنين، وﻡ ثلاثة اثنان يساوي سالب ٣٢، وﻡ ثلاثة ثلاثة يساوي ٢٥. لاحظ أنه من المهم جدًّا أن تكون الإشارات صحيحة؛ أي موجب، سالب، موجب، وهكذا.

يمكننا الآن كتابة المصفوفة الملحقة. إنها تساوي مدور المصفوفة التي عناصرها: سالب ثلاثة، ٨٧، سالب ٧٥، خمسة، سالب ١٠، خمسة، سالب اثنين، سالب ٣٢، ٢٥. والآن، بإفراغ بعض المساحة يمكننا كتابة المصفوفة الملحقة، التي تمثل مدور مصفوفة العوامل المرافقة، ولإيجاد مدور المصفوفة، علينا تحويل الصفوف لأعمدة في المصفوفة. هذا يعني أن الصف الأول سيصبح العمود الأول، والصف الثاني سيصبح العمود الثاني، والصف الثالث سيصبح العمود الثالث. تذكر أن ما نريد إيجاده فعليًّا في هذه المرحلة هو معكوس المصفوفة ﺃ. ومعكوس المصفوفة يساوي واحدًا مقسومًا على محدد المصفوفة مضروبًا في المصفوفة الملحقة، وهو ما يساوي في الحالة التي لدينا واحدًا على سالب ٤٥ في المصفوفة الملحقة. وبالطبع يمكننا تحريك الإشارة السالبة إلى البسط.

تذكر أن المعادلة الأصلية هي: ﺱ يساوي معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في ﺏ. وبكتابة ذلك باستخدام المصفوفات، تصبح لدينا المعادلة الموضحة أمامنا. ولحل هذه المعادلة، فإننا ببساطة نضرب المصفوفتين الموجودتين في الطرف الأيسر معًا، ونستخدم تساوي المصفوفات. لكن قبل أن نفعل ذلك، يمكننا تبسيط ما لدينا قليلًا بضرب المصفوفة ﺏ في سالب واحد على ٤٥. وهذا يعطينا: صفرًا، وسالب ٤٥ على ٤٥؛ أي سالب واحد، وسالب سالب ٤٥ على ٤٥؛ أي موجب واحد. وبهذا يحذف العامل القياسي سالب واحد على ٤٥. ومن ثم، سنعوض في الطرف الأيسر عن سالب واحد على ٤٥ مضروبًا في ﺏ بمصفوفة العمود التي عناصرها هي: صفر، سالب واحد، واحد.

باستخدام عملية ضرب المصفوفات بعد ذلك، نحصل على: سالب ثلاثة مضروبًا في صفر زائد خمسة مضروبًا في سالب واحد زائد سالب اثنين مضروبًا في واحد. وسنفعل الشيء نفسه في الصفين الثاني والثالث؛ حيث نحصل في الصف الثاني على ٨٧ مضروبًا في صفر زائد سالب ١٠ في سالب واحد زائد سالب ٣٢ في واحد، وفي الصف الثالث نحصل على سالب ٧٥ في صفر زائد خمسة في سالب واحد زائد ٢٥ في واحد. وبحساب هذا، نجد أن الصفوف الثلاثة هي: سالب سبعة، سالب ٢٢، ٢٠. إذن، مصفوفة الحل المناسبة للمعادلة المصفوفية هي مصفوفة العمود التي عناصرها: سالب سبعة، سالب ٢٢، ٢٠. وهذه هي قيم ﺱ وﺹ وﻉ.