شارح الدرس: حلُّ نظام من ثلاث معادلات باستخدام معكوس المصفوفة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُلُّ نظامًا مكوَّنًا من ثلاث معادلات خطية باستخدام معكوس مصفوفة المعاملات.

هناك العديد من المنظورات التي يمكن من خلالها استعراض الجبر الخطي على نحو مثمر ومنتظم. يتمثَّل أحد هذه المنظورات في إدراك أن المصفوفات طريقة لترميز المعلومات المتعلِّقة بكيفية تحويل المتجهات في الفضاء، الأمر الذي يقدِّم فهمًا جبريًّا للطريقة التي نتَّبعها لتغيير صور النقاط، والخطوط المستقيمة، والمستويات، والأجسام ذات الأبعاد الأعلى. هناك منظور آخر يتمثَّل في أن الجبر الخطي هو أحد التعبيرات عن فكرة عامة تُعرَف باسم فراغات المتجهات، وتُستخدَم فيها الخواص المفيدة المجرَّدة لتحديد العديد من الأنظمة التي تشترك في خواصها الجبرية مع الجبر الخطي والجبر التقليدي والعديد من فروع الرياضيات الأخرى.

من بين جميع المنظورات الممكِنة التي يمكن أن نمتلكها عن الجبر الخطي، هناك منظور واحد أسهم الإسهام الأكبر في تطوُّر هذا الموضوع، خلال المراحل الأولى على الأقل. لطالما كان اهتمام علماء الرياضيات منصبًّا، على مدار التاريخ، على حل المعادلات. وبعد أن أصبح الجبر أكثر انتشارًا، سرعان ما أصبح من المثير للاهتمام بالنسبة إلى علماء الرياضيات أن يدرسوا المعادلات الآنية؛ حيث يجب حل معادلتين لإيجاد متغيِّرين جنبًا إلى جنب. تُعمَّم هذه الفكرة بطريقة معتادة على أنظمة المعادلات التي بها العديد من المتغيِّرات المجهولة؛ حيث نبدأ برؤية تنوُّع الجبر الخطي وقدرته على دفع التطوُّر التاريخي للرياضيات، ما يوفِّر حزمة أدوات مُعَدَّة جيدًا ومتنوعة بشكل متزايد.

هدفنا في هذا الشارح هو حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام فهمنا لمعكوس المصفوفة المربعة. وكما سنرى، يمكن التعبير عن أيِّ نظام من المعادلات الخطية نسبة إلى المصفوفات، ما يعني أنه يمكننا استخدام فهمنا للجبر الخطي لحلها.

تعريف: صورة مصفوفة لنظام من معادلات خطية

نفترض أن لدينا نظامًا عامًّا من المعادلات الخطية يتضمَّن المتغيِّرات 𞸎،𞸎،،𞸎١٢𞸍 والمعاملات 󰏡𞸑𞸏: 󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁،󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁،󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁،١١١١٢٢١𞸍𞸍١٢١١٢٢٢٢𞸍𞸍٢𞸌١١𞸌٢٢𞸌𞸍𞸍𞸌

بعد ذلك، نُحدِّد مصفوفة المعاملات: 󰏡=󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡١١١٢١𞸍٢١٢٢٢𞸍𞸌١𞸌٢𞸌𞸍 والمتجهين: 󰄮𞸋=𞸎𞸎𞸎،󰄮𞸏=𞸁𞸁𞸁.١٢𞸍١٢𞸌

ومن ثَمَّ، يمكن أن تكون المعادلات الخطية جزءًا من المعادلة المصفوفية 󰏡󰄮𞸋=󰄮𞸏، التي يمكن أن تُكتَب بصيغة مطوَّلة على النحو الآتي: 󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡𞸎𞸎𞸎=𞸁𞸁𞸁.١١١٢١𞸍٢١٢٢٢𞸍𞸌١𞸌٢𞸌𞸍١٢𞸍١٢𞸌

وسنرى لاحقًا أن هذه الطريقة لاستخدام ضرب المصفوفات هي طريقة مفيدة جدًّا للتعبير عن نظام من المعادلات الخطية؛ حيث تسمح لنا باستخدام أيِّ أداة من مجموعة الأدوات الرياضية الكبيرة الخاصة بالجبر الخطي. على سبيل المثال، نفترض وجود نظام المعادلات الخطية الآتي:

٣𞸎+𞸑=١،٢𞸎+٤𞸑=٤٢.()

في هذه المرحلة، قد نميل إلى حل هذا النظام من المعادلات الخطية باستخدام أيٍّ من الطرق المعروفة والمعيارية لحل المعادلات الآنية لمتغيِّرين. لكننا اخترنا اتباع التعريف المذكور سابقًا والتعبير عن نظام المعادلات الخطية المذكورة سابقًا عن طريق تكوين المصفوفات: 󰏡=󰂔٣١٢٤󰂓،󰄮𞸋=󰂔𞸎𞸑󰂓،󰄮𞸏=󰂔١٤٢󰂓.

ومن ثَمَّ، يمكن التعبير عن نظام المعادلات الخطية بالصورة 󰏡󰄮𞸋=󰄮𞸏. وهذا يعطينا الصيغة المطوَّلة:

󰂔٣١٢٤󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔١٤٢󰂓.()

قد يبدو منطقيًّا أن هذا التمثيل لم يكن مفيدًا لنا على الإطلاق؛ حيث يمكن وضع مفهوم معكوس المصفوفة لتوفير الدعم. افترض أننا سنكوِّن معكوس مصفوفة لـ 󰏡 باستخدام الصيغة المعروفة لمعكوس المصفوفة من الرتبة ٢×٢. بالنسبة إلى المصفوفات العامة من الرتبة ٢×٢: 𞸁=󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀، يكون معكوس المصفوفة هو: 𞸁=١󰏡𞸃𞸁𞸢󰃁𞸃𞸁𞸢󰏡󰃀.١

بالنسبة إلى المصفوفة 󰏡، قد نجد أن: 󰏡=١٣×٤١×(٢)󰂔٤١٢٣󰂓=١٤١󰂔٤١٢٣󰂓.١

نفترض الآن أننا سنضرب الطرف الأيمن من المعادلة (٢) في معكوس المصفوفة 󰏡١. سنحصل على: ١٤١󰂔٤١٢٣󰂓󰂔٣١٢٤󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=١٤١󰂔٤١٢٣󰂓󰂔١٤٢󰂓.

وبما أن ضرب المصفوفات عملية تجميعية، إذن يمكننا تجميع الحدود في الطرف الأيمن بالترتيب الآتي: ١٤١󰂔󰂔٤١٢٣󰂓󰂔٣١٢٤󰂓󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=١٤١󰂔٤١٢٣󰂓󰂔١٤٢󰂓.

وكما لو أن الأمر بفعل السحر، نجد أن الحد الموجود بين القوسين نسخة من مصفوفة الوحدة. يعطينا إكمال عملية ضرب المصفوفة هذه: ١٤١󰂔٤١٠٠٤١󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=١٤١󰂔٤١٢٣󰂓󰂔١٤٢󰂓، ما يسمح لنا باستخدام العدد الثابت في المصفوفة لإيجاد: 󰂔١٠٠١󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=١٤١󰂔٤١٢٣󰂓󰂔١٤٢󰂓.

يعطينا إكمال عملية ضرب المصفوفة النهائية في الطرف الأيمن: 󰂔𞸎𞸑󰂓=١٤١󰂔٤١٢٣󰂓󰂔١٤٢󰂓.

أصبح لدينا الآن تعبير رياضي عن 𞸎، 𞸑 بدلالة عملية ضرب نهائية للمصفوفة. وبإجراء ذلك، نحصل على: 󰂔𞸎𞸑󰂓=١٤١󰂔٨٢٠٧󰂓=󰂔٢٥󰂓.

يمكننا التحقُّق من أن 𞸎=٢، 𞸑=٥ هما القيمتان الوحيدتان اللتان تَحُلَّان نظام المعادلات الخطية في النقطة (١)، ما يؤكِّد على أننا حللنا المسألة.

بدلًا من التركيز على المسألة المحدَّدة سابقًا، يمكننا توضيح أن هذه الطريقة يمكن تطبيقها على نظام عام من المعادلات الخطية، بشرط استيفاء بعض الشروط. نفترض أن لدينا نظامًا خطيًّا يتساوى فيه عدد المعادلات مع عدد المتغيِّرات المجهولة. بعبارة أخرى، لدينا: 󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁،󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁،󰏡𞸎+󰏡𞸎󰏡𞸎=𞸁٫١١١١٢٢١𞸍𞸍١٢١١٢٢٢٢𞸍𞸍٢𞸍١١𞸍٢٢𞸍𞸍𞸍𞸍

بعد ذلك، نُحدِّد المصفوفة ومتجهين: 󰏡=󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡،󰄮𞸋=𞸎𞸎𞸎،󰄮𞸏=𞸁𞸁𞸁.١١١٢١𞸍٢١٢٢٢𞸍𞸍١𞸍٢𞸍𞸍١٢𞸍١٢𞸍

عندئذٍ، يمكن وصف نظام المعادلات الخطية باستخدام المعادلة المصفوفية: 󰏡󰄮𞸋=󰄮𞸏، حيث 󰏡 مصفوفة مربعة. من الضروري أن يكون 󰏡 مصفوفة مربعة؛ لأن المعكوس الضربي غير معرَّف بالنسبة إلى المصفوفات غير المربعة. والآن، نفترض وجود 󰏡١، ويمكننا ضربه في الطرف الأيمن من المعادلة السابقة، ما يعطينا: 󰏡(󰏡󰄮𞸋)=󰏡󰄮𞸏.١١

ضرب المصفوفات عملية دامجة؛ بمعنى أنه يمكننا أن نكتب: 󰁓󰏡󰏡󰁒󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏.١١

حسب التعريف، لدينا 󰏡󰏡=𝐼١𞸍؛ حيث 𝐼𞸍 مصفوفة الوحدة 𞸍×𞸍. وهذا يعني ضمنيًّا أن: 𝐼󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏.𞸍١

كما نعلم أيضًا أن مصفوفة الوحدة 𝐼𞸍 تترك المصفوفة دون تغيير عند دمجها خلال إجراء عملية ضرب المصفوفة. وهذا يسمح بالتبسيط النهائي: 󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏.١

إذا كان هدفنا هو إيجاد المتجه 󰄮𞸋، فقد تحقَّق هذا الهدف في المعادلة السابقة. سنوضِّح الآن كيف يمكن تطبيق هذه الطريقة على أنظمة معادلات خطية أخرى.

مثال ١: استخدام معكوس المصفوفة لحل نظام من المعادلات الخطية

حُلَّ نظام المعادلتين الخطيتين:٣𞸎+٢𞸑=٨،٦𞸎٩𞸑=٣، باستخدام معكوس المصفوفة.

الحل

يمكننا تكوين المصفوفات المناظرة لنظام المعادلات الخطية السابق. إذا حدَّدنا أن: 󰏡=󰂔٣٢٦٩󰂓،󰄮𞸋=󰂔𞸎𞸑󰂓،󰄮𞸏=󰂔٨٣󰂓، فسيمكن ترميز المسألة بطريقة متساوية باستخدام المعادلة المصفوفية: 󰂔٣٢٦٩󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٨٣󰂓.

بصورة أكثر إيجازًا، يمكننا كتابة: 󰏡󰄮𞸋=󰄮𞸏.

هدفنا هو حل هذه المعادلة لإيجاد 󰄮𞸋، إذا كان هذا المتجه يحتوي على المتغيِّرين 𞸎، 𞸑 اللذين نريد إيجادهما. بافتراض وجود المعكوس 󰏡١، يمكننا ضربه في الطرف الأيمن من المعادلة، ما يعطينا: 󰏡󰂔󰏡󰄮𞸋󰂓=󰏡󰄮𞸏.١١

بمعلومية أن عملية ضرب المصفوفة عملية دامجة، فإن هذه العبارة تكافئ قول إن: 󰁓󰏡󰏡󰁒󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏.١١

طبقًا للتعريف، نعرف أن 󰏡󰏡=𝐼١٢؛ حيث 𝐼٢ مصفوفة الوحدة ٢×٢، يعطينا: 𝐼󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏.٢١

أما مصفوفة الوحدة، فستترك المتجه 󰄮𞸋 كما هو عند جمعه خلال عملية ضرب المصفوفة 𝐼󰄮𞸋٢. وهذا يعني ضمنيًّا أن:

󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏.١()

لدينا الآن صيغة لإيجاد 󰄮𞸋، بشرط أن نتمكَّن من إيجاد 󰏡١. لنفعل ذلك، نستخدم التعبير الرياضي عن معكوس المصفوفة من الرتبة ٢×٢: 𞸁=󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀،𞸁=١󰏡𞸃𞸁𞸢󰃁𞸃𞸁𞸢󰏡󰃀.١

بمعلومية أن: 󰏡=󰂔٣٢٦٩󰂓 يصبح لدينا: 󰏡=١٣×(٩)٢×٦󰂔٩٢٦٣󰂓=١٩٣󰂔٩٢٦٣󰂓.١

يمكننا الآن أن نستخدم المعادلة (٣) لإيجاد 󰄮𞸋: 󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏=١٩٣󰂔٩٢٦٣󰂓󰂔٨٣󰂓=١٩٣󰂔٨٧٩٣󰂓=󰂔٢١󰂓.١

في مرحلة سابقة، حدَّدنا أن: 󰄮𞸋=󰂔𞸎𞸑󰂓.

لذا، وجدنا أن 𞸎=٢، 𞸑=١، كما يمكننا التحقُّق من الإجابة في المعادلات الأصلية.

قد يبدو الأمر في هذه المرحلة كما لو أن الطريقة التي توصَّلنا إليها هي طريقة معقَّدة للغاية لإيجاد حل نظام من المعادلات الخطية يتضمَّن متغيِّرين ومجهولين. عادةً ما نفضِّل استخدام طريقة مألوفة وأكثر بساطةً لحل المعادلات الآنية من هذا النوع. يمكن فهم أهمية طريقة عكس المصفوفة بصورة أسهل عند التعامل مع المصفوفات من الرتبة ٣×٣ أو أعلى. كما أن معكوس المصفوفة المربعة هو أمر قد يتطلَّب منا أن نركِّز عليه بشكل مستقل، دون النظر إلى المسألة الفعلية التي نحاول حلها؛ لذا، نحسب هذه المصفوفة دون النظر إلى المسألة التي تتضمَّنها والتي نحاول حلها.

هناك نقطة أكثر دقةً يجب أن نضعها في اعتبارنا أيضًا. في المثال السابق، افترض أن نظام المعادلات الخطية هو نفسه تمامًا باستثناء الكميات الموجودة في الطرف الأيمن من كلتا المعادلتين، كما تم ترميزه بواسطة المتجه 󰄮𞸏. لكي نَحُل هذه المسألة، نظل بحاجة إلى إيجاد معكوس المصفوفة 󰏡١ وإكمال العملية الحسابية 󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏١. من هذا المنطلق، يكون إيجاد معكوس المصفوفة عملًا من شأنه أن يَحُل نظام المعادلات الخطية لأيِّ متجه 󰄮𞸏. إضافة إلى ذلك، قد لا يمكننا أن نُوجِد 󰏡١؛ لأن المصفوفة 󰏡 لها محدِّد يساوي صفرًا. في هذه الحالة، لن تكون قيمة 󰄮𞸏 مهمة؛ لأنه لن يكون من الممكن حل المسألة.

مثال ٢: استخدام معكوس المصفوفة لحل نظام من المعادلات الخطية (باستخدام طريقة جاوس-جوردان)

حُلَّ نظام المعادلات الخطية: 𞸎+𞸑+𞸏=٨،٢𞸎+𞸑𞸏=٥،٦𞸎٣𞸑=٦، باستخدام معكوس المصفوفة.

الحل

نبدأ بتحديد القيم: 󰏡=󰃭١١١٢١١٦٣٠󰃬،󰄮𞸋=󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬،󰄮𞸏=󰃭٨٥٦󰃬.

الأمر الذي يُمكِّننا من كتابة نظام المعادلات الخطية السابق على النحو الآتي: 󰃭١١١٢١١٦٣٠󰃬󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃭٨٥٦󰃬.

على نحو مكافئ، أصبح يمكننا الآن تحديد المعادلات بصورة مرتبة للغاية: 󰏡󰄮𞸋=󰄮𞸏.

بعد صياغتها على هذه الصورة، أصبح هدفنا الآن إيجاد 󰄮𞸋؛ حيث يحتوي هذا المتجه على جميع المتغيِّرات المجهولة 𞸎،𞸑، 𞸏. ولكي نفعل ذلك، يكون علينا أولًا أن نفترض وجود المعكوس 󰏡١، ثم نضرب الطرف الأيمن من المعادلة السابقة في هذه المصفوفة: 󰏡(󰏡󰄮𞸋)=󰏡󰄮𞸏.١١

وبمعلومية أن 󰏡󰏡=𝐼١٣ طبقًا للتحديد؛ حيث 𝐼٣ مصفوفة الوحدة، وأيضًا بمعلومية أن 𝐼𞸁=𞸁٣ لأيِّ مصفوفة 𞸁 ذات الرتبة ٣×٣، نحصل على:

󰄮𞸏=󰏡󰄮𞸋.١()

أصبحنا نَعرِف الآن كيفية التعبير عن 󰄮𞸏 بدلالة معكوس المصفوفة 󰏡١، وهو ما علينا أن نحسبه الآن. للقيام بذلك، نستخدم طريقة حذف جاوس-جوردان لحساب معكوس المصفوفات المربعة. نذكِّر أنفسنا بالمصفوفتين: 󰏡=󰃭١١١٢١١٦٣٠󰃬،𝐼=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬،٣ اللتين نضمُّهما معًا بعد ذلك لتصبحا: 󰂔󰏡𝐼󰂓=١١١١٠٠٢١١٠١٠٦٣٠٠٠١.٣

إذا كان المعكوس 󰏡١ موجودًا، فسيمكننا استخدام العمليات الصفية الأوَّلية لتغيير المصفوفة السابقة لتصبح على صورة 󰂔𝐼󰏡󰂓٣١. أولًا، نُحدِّد المحور، وهو العنصر الأول الذي لا يساوي صفرًا في كل صف: ١١١١٠٠٢١١٠١٠٦٣٠٠٠١.

العنصر ١ في الركن العلوي الأيسر ملائم إلى حدٍّ ما، لكن من المفيد أكثر إذا كانت قيمة هذا العنصر تساوي ١. نقيس الصف العلوي سريعًا باستخدام العملية 𞸓𞸓١١، ما يعطينا: ١١١١٠٠٢١١٠١٠٦٣٠٠٠١.

للحصول على الصيغة المطلوبة، علينا الحصول على مصفوفة الوحدة 𝐼٣ في الطرف الأيمن من المصفوفة الملحقة. تحتوي مصفوفة الوحدة على العدد ١ في مكان العنصر الموجود أعلى اليسار، وباقي عناصر هذا العمود تساوي صفرًا. لذا، من الضروري أن نحذف العنصرين المحوريين في العمود الأول باستخدام عمليات الصف 𞸓𞸓+٢𞸓٢٢١، 𞸓𞸓٦𞸓٣٣١: ١١١١٠٠٠١٣٢١٠٠٣٦٦٠١.

لأسباب مشابهة للسابقة، نفضِّل أن تكون قيمة المحور في الصف الثاني تساوي ١؛ لذا نُجري عملية الصف 𞸓𞸓٢٢: ١١١١٠٠٠١٣٢١٠٠٣٦٦٠١.

والآن، نحذف المحور في الصف الثالث؛ لأنه يقع أسفل المحور في الصف الثاني مباشرةً. تعطينا عملية الصف 𞸓𞸓٣𞸓٣٣٢ المصفوفة: ١١١١٠٠٠١٣٢١٠٠٠٣٠٣١.

في هذه المرحلة، قد نرغب في إجراء عملية الصف 𞸓١٣𞸓٣٣ على الفور، الأمر الذي من شأنه أن يعطينا كسورًا في الصف الثالث؛ ومن ثَمَّ، بقية العمليات الحسابية. على الرغم من أن هذا ضروري، فإنه يُفضَّل عادةً تجنُّبه إن أمكن. وبسبب ذلك، اخترنا عملية الصف 𞸓𞸓٣٣، التي تعطينا: ١١١١٠٠٠١٣٢١٠٠٠٣٠٣١.

كما نُكمل عمليَّتَي الصف 𞸓٣𞸓١١، 𞸓٣𞸓٢٢: ٣٣٣٣٠٠٠٣٩٦٣٠٠٠٣٠٣١.

وبذلك، نكون قد أكملنا عمليَّتَي الصف هاتين كإجراء تحضيري. والآن، نحذف العناصر التي لا تساوي صفرًا، التي تقع أعلى المحور في الصف الثالث، باستخدام عمليَّتَي الصف 𞸓𞸓٣𞸓٢٢٣، 𞸓𞸓+𞸓١١٣. ستكون المصفوفة الناتجة: ٣٣٠٣٣١٠٣٠٦٦٣٠٠٣٠٣١.

وصلنا الآن إلى الخطوة قبل الأخيرة، وهي حذف العنصر الذي لا يساوي صفرًا أعلى المحور في الصف الثاني. عملية الصف 𞸓𞸓+𞸓١١٢ تعطينا: ٣٠٠٣٣٢٠٣٠٦٦٣٠٠٣٠٣١.

وبدلًا من كتابة الصورة 󰂔𝐼󰏡󰂓٣١ كوَّنا المصفوفة 󰂔٣𝐼󰏡󰂓٣١. وهذا بالطبع لا يُعَدُّ خطأً منا؛ لأنه يمكننا الآن كتابة: 󰏡=١٣󰃭٣٣٢٦٦٣٠٣١󰃬.١

يمكن التحقُّق من أن 󰏡󰏡=𝐼١٣، ما يعني أننا أوجدنا المعكوس الصحيح. يمكننا الآن حل المسألة باستخدام المعادلة (٤). حصلنا على: 󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏=١٣󰃭٣٣٢٦٦٣٠٣١󰃬󰃭٨٥٦󰃬=١٣󰃁٣٠١٢󰃀=󰃁١٠٧󰃀.١

ما يعطينا الإجابات النهائية أن 𞸎=١، 𞸑=٠، 𞸏=٧. يمكننا التحقُّق في نظام المعادلات الخطية الأصلي من أن هذه هي القيم الصحيحة.

في السؤال السابق، استخدمنا طريقة جاوس-جوردان لإيجاد معكوس المصفوفة لنظام معادلات خطية مناظر. يُعَدُّ استخدام العمليات الصفية للتعامل مع المصفوفة مهارة أساسية في علم الجبر الخطي، وتمثِّل الأسئلة مثل السؤال السابق مصدرًا رائعًا للتدرُّب. وعلى الرغم من ذلك، فإن هناك طرقًا أخرى يمكن استخدامها لحساب معكوس المصفوفات، والتي قد تكون مفضَّلة طبقًا للمصفوفة التي لدينا. في المثال التالي، نستخدم طريقة المصفوفة الملحقة لحساب معكوس المصفوفة المطلوب. غالبًا ما تُعَدُّ هذه أفضل طريقة في حساب معكوس المصفوفات؛ لا سيما مع المصفوفات من الرتبة ٣×٣، ولكنها تنطبق على المصفوفات المربعة من أي رتبة.

مثال ٣: استخدام معكوس المصفوفة لحل نظام من المعادلات الخطية (باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة)

استخدم معكوس المصفوفة لحل نظام المعادلات الخطية: ٤𞸎٢𞸑٩𞸏=٨،٣𞸎٢𞸑٦𞸏=٣،𞸎+𞸑٦𞸏=٧.

الحل

نُكوِّن أولًا المصفوفات: 󰏡=󰃭٤٢٩٣٢٦١١٦󰃬،󰄮𞸋=󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬،󰄮𞸏=󰃭٨٣٧󰃬.

يمكن ترميز نظام المعادلات الخطية بالتساوي باستخدام عملية ضرب المصفوفات: 󰃭٤٢٩٣٢٦١١٦󰃬󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃭٨٣٧󰃬.

وهذا يعطينا أبسط تعبير رياضي عن نظام المعادلات، في صورة 󰏡󰄮𞸋=󰄮𞸏. من خلال ضرب الطرف الأيمن في المعكوس 󰏡١، ثم التبسيط، يمكننا التعبير عن المتجه 󰄮𞸋 بالمقدار:

󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏.١()

إننا نريد حساب 󰄮𞸋، بما أن هذا المتجه له عناصر هي المتغيِّرات المجهولة 𞸎،𞸑، 𞸏. لاستخدام المعادلة السابقة لإيجاد 󰄮𞸋، علينا أولًا حساب 󰏡١. لفعل ذلك، نستخدم طريقة المصفوفة الملحقة، الموضَّحة على النحو الآتي.

يعني استخدام طريقة المصفوفة الملحقة أن علينا حساب قيمة محدِّد 󰏡. نستخدم قاعدة ساروس، التي تعطينا:

|󰏡|=󰏡|󰏡|󰏡|󰏡|+󰏡|󰏡|=٤×󰎁٢٦١٦󰎁(٢)×󰎁٣٦١٦󰎁٩×󰎁٣٢١١󰎁=٤×٨١(٢)×٢١٩×(٥)=٣.١١١١١٢١٢١٣١٣()

وبما أن المحدِّد لا يساوي صفرًا، إذن نعرف أن المصفوفة 󰏡 غير منفردة؛ ومن ثَمَّ، يكون المعكوس 󰏡١ موجودًا. لقد استخدمنا بالفعل ٣ من المصفوفات الصغرى 󰏡 في حساب |󰏡|، ولكن، من أجل استخدام طريقة المصفوفة الملحقة لحساب 󰏡١، من الضروري أن نكتب جميع المصفوفات الصغرى التسع لـ 󰏡: 󰏡=󰂔٢٦١٦󰂓،󰏡=󰂔٣٦١٦󰂓،󰏡=󰂔٣٢١١󰂓،󰏡=󰂔٢٩١٦󰂓،󰏡=󰂔٤٩١٦󰂓،󰏡=󰂔٤٢١١󰂓،󰏡=󰂔٢٩٢٦󰂓،󰏡=󰂔٤٩٣٦󰂓،󰏡=󰂔٤٢٣٢󰂓.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

بالنسبة إلى المصفوفات من الرتبة ٢×٢، يمكننا حساب المحدِّدات، ولكن علينا أن نتذكَّر أنه يحتوي على حد التماثل المستخدَم في تكوين المصفوفة الملحقة. بعد أن نضم ذلك، نحصل على: +|󰏡|=+󰍻٢٦١٦󰍻=٨١،|󰏡|=󰍻٣٦١٦󰍻=٢١،+|󰏡|=+󰍻٣٢١١󰍻=٥،|󰏡|=󰍻٢٩١٦󰍻=١٢،+|󰏡|=+󰍻٤٩١٦󰍻=٥١،|󰏡|=󰍻٤٢١١󰍻=٦،+|󰏡|=+󰍻٢٩٢٦󰍻=٦،|󰏡|=󰍻٤٩٣٦󰍻=٣،+|󰏡|=+󰍻٤٢٣٢󰍻=٢.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

تملأ مصفوفة العوامل المرافقة الحدود اليسرى للمعادلات التسع المذكورة سابقًا: 𞸎=󰃭٨١٢١٥١٢٥١٦٦٣٢󰃬.

المصفوفة الملحقة هي مدوَّر مصفوفة العوامل المرافقة: (󰏡)=󰃭٨١١٢٦٢١٥١٣٥٦٢󰃬.

يُكتَب معكوس المصفوفة بدلالة المصفوفة الملحقة، والمحدِّد الذي حسبناه في المعادلة (٦)، باستخدام الصيغة: 󰏡=١|󰏡|(󰏡)=١٣󰃭٨١١٢٦٢١٥١٣٥٦٢󰃬.١

الآن بعدما عرفنا 󰏡١، يمكننا حل النظام الأصلي من المعادلات الخطية باستخدام المعادلة (٥): 󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏=١٣󰃭٨١١٢٦٢١٥١٣٥٦٢󰃬󰃭٨٣٧󰃬=١٣󰃭٣٢١٢٧٦٣󰃬=󰃭١٤٤٢٢١󰃬.١

يعني هذا أن حل المسألة الأصلية هو 𞸎=١٤، 𞸑=٤٢، 𞸏=٢١.

يمكن التعامل مع الأسئلة السابقة ببساطة شديدة بمجرد تبسيط نظام المعادلات إلى المعادلة المصفوفية 󰏡󰄮𞸋=󰄮𞸏. تتمثَّل فوائد هذا التعبير الرياضي في أنه يمكننا معاملته بصورة جبرية منفصلة، وهو ما يجعل من السهل معرفة أنه يمكن حل النظام باستخدام الجبر الخطي لتحقيق المعادلة المصفوفية 󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏١. من شأن التعامل مع المسألة بهذه الطريقة المجرَّدة فقط أن يبسِّط التعقيد الحسابي الذي يحدث عند محاولة حساب معكوس المصفوفة 󰏡١. إضافةً إلى ذلك، من الواضح أنه لا يمكن حل نظام المعادلات إذا لم تكن لدينا صيغة دقيقة لـ 󰏡١، تتضمَّن عادةً طريقة جاوس-جوردان أو طريقة المصفوفة الملحقة. إن القدرة على تغيير المنظور بين العرض النظري والعرض الحسابي سمة محدِّدة للجبر الخطي؛ حيث يكون علينا أن نغيِّر من منظورنا باستمرار لتحقيق الفهم الكامل للمسألة التي نتعامل معها والأساليب التي يمكننا استخدامها لحلها. بالنسبة إلى الكثير من علماء الرياضيات، يمثِّل هذا أحد مباهج دراسة الجبر الخطي، ولكن حتى إذا لم يكن هذا حال الجميع، فسيكون من الصعب ألَّا نتعاطف مع هذا المنظور في هذه الحالة بوجه خاص، بمعلومية الأمثلة السابقة.

النقاط الرئيسية

  • يمكن ترميز نظام من المعادلات الخطية باستخدام المعادلة المصفوفية 󰏡󰄮𞸋=󰄮𞸏؛ حيث يكون الهدف منه هو حل النظام من خلال إيجاد 󰄮𞸋.
  • إذا كان 󰏡 مصفوفة مربعة قابلة للعكس، فسيمكننا إيجاد المصفوفة 󰏡١ إما باستخدام طريقة جاوس-جوردان، أو باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة.
  • إذا أمكن إيجاد المعكوس 󰏡١، فسيمكننا استخدام الجبر الخطي لإيجاد 󰄮𞸋=󰏡󰄮𞸏١.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.