شارح الدرس: حلُّ نظام من ثلاث معادلات باستخدام معكوس المصفوفة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُلُّ نظامًا مكوَّنًا من ثلاث معادلات خطية باستخدام معكوس مصفوفة المعاملات.

هناك العديد من المنظورات التي يمكن من خلالها استعراض الجبر الخطي على نحو مثمر ومنتظم. يتمثَّل أحد هذه المنظورات في إدراك أن المصفوفات طريقة لترميز المعلومات المتعلِّقة بكيفية تحويل المتجهات في الفضاء، الأمر الذي يقدِّم فهمًا جبريًّا للطريقة التي نتَّبعها لتغيير صور النقاط، والخطوط المستقيمة، والمستويات، والأجسام ذات الأبعاد الأعلى. هناك منظور آخر يتمثَّل في أن الجبر الخطي هو أحد التعبيرات عن فكرة عامة تُعرَف باسم فراغات المتجهات، وتُستخدَم فيها الخواص المفيدة المجرَّدة لتحديد العديد من الأنظمة التي تشترك في خواصها الجبرية مع الجبر الخطي والجبر التقليدي والعديد من فروع الرياضيات الأخرى.

من بين جميع المنظورات الممكِنة التي يمكن أن نمتلكها عن الجبر الخطي، هناك منظور واحد أسهم الإسهام الأكبر في تطوُّر هذا الموضوع، خلال المراحل الأولى على الأقل. لطالما كان اهتمام علماء الرياضيات منصبًّا، على مدار التاريخ، على حل المعادلات. وبعد أن أصبح الجبر أكثر انتشارًا، سرعان ما أصبح من المثير للاهتمام بالنسبة إلى علماء الرياضيات أن يدرسوا المعادلات الآنية؛ حيث يجب حل معادلتين لإيجاد متغيِّرين جنبًا إلى جنب. تُعمَّم هذه الفكرة بطريقة معتادة على أنظمة المعادلات التي بها العديد من المتغيِّرات المجهولة؛ حيث نبدأ برؤية تنوُّع الجبر الخطي وقدرته على دفع التطوُّر التاريخي للرياضيات، ما يوفِّر حزمة أدوات مُعَدَّة جيدًا ومتنوعة بشكل متزايد.

هدفنا في هذا الشارح هو حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام فهمنا لمعكوس المصفوفة المربعة. وكما سنرى، يمكن التعبير عن أيِّ نظام من المعادلات الخطية نسبة إلى المصفوفات، ما يعني أنه يمكننا استخدام فهمنا للجبر الخطي لحلها.

وسنرى لاحقًا أن هذه الطريقة لاستخدام ضرب المصفوفات هي طريقة مفيدة جدًّا للتعبير عن نظام من المعادلات الخطية؛ حيث تسمح لنا باستخدام أيِّ أداة من مجموعة الأدوات الرياضية الكبيرة الخاصة بالجبر الخطي. على سبيل المثال، نفترض وجود نظام المعادلات الخطية الآتي:

في هذه المرحلة، قد نميل إلى حل هذا النظام من المعادلات الخطية باستخدام أيٍّ من الطرق المعروفة والمعيارية لحل المعادلات الآنية لمتغيِّرين. لكننا اخترنا اتباع التعريف المذكور سابقًا والتعبير عن نظام المعادلات الخطية المذكورة سابقًا عن طريق تكوين المصفوفات:

ومن ثَمَّ، يمكن التعبير عن نظام المعادلات الخطية بالصورة . وهذا يعطينا الصيغة المطوَّلة:

قد يبدو منطقيًّا أن هذا التمثيل لم يكن مفيدًا لنا على الإطلاق؛ حيث يمكن وضع مفهوم معكوس المصفوفة لتوفير الدعم. افترض أننا سنكوِّن معكوس مصفوفة لـ باستخدام الصيغة المعروفة لمعكوس المصفوفة من الرتبة . بالنسبة إلى المصفوفات العامة من الرتبة : يكون معكوس المصفوفة هو:

بالنسبة إلى المصفوفة ، قد نجد أن:

نفترض الآن أننا سنضرب الطرف الأيمن من المعادلة (٢) في معكوس المصفوفة . سنحصل على:

وبما أن ضرب المصفوفات عملية تجميعية، إذن يمكننا تجميع الحدود في الطرف الأيمن بالترتيب الآتي:

وكما لو أن الأمر بفعل السحر، نجد أن الحد الموجود بين القوسين نسخة من مصفوفة الوحدة. يعطينا إكمال عملية ضرب المصفوفة هذه: ما يسمح لنا باستخدام العدد الثابت في المصفوفة لإيجاد:

يعطينا إكمال عملية ضرب المصفوفة النهائية في الطرف الأيمن:

أصبح لدينا الآن تعبير رياضي عن ، بدلالة عملية ضرب نهائية للمصفوفة. وبإجراء ذلك، نحصل على:

يمكننا التحقُّق من أن ، هما القيمتان الوحيدتان اللتان تَحُلَّان نظام المعادلات الخطية في النقطة (١)، ما يؤكِّد على أننا حللنا المسألة.

بدلًا من التركيز على المسألة المحدَّدة سابقًا، يمكننا توضيح أن هذه الطريقة يمكن تطبيقها على نظام عام من المعادلات الخطية، بشرط استيفاء بعض الشروط. نفترض أن لدينا نظامًا خطيًّا يتساوى فيه عدد المعادلات مع عدد المتغيِّرات المجهولة. بعبارة أخرى، لدينا:

بعد ذلك، نُحدِّد المصفوفة ومتجهين:

عندئذٍ، يمكن وصف نظام المعادلات الخطية باستخدام المعادلة المصفوفية: حيث مصفوفة مربعة. من الضروري أن يكون مصفوفة مربعة؛ لأن المعكوس الضربي غير معرَّف بالنسبة إلى المصفوفات غير المربعة. والآن، نفترض وجود ، ويمكننا ضربه في الطرف الأيمن من المعادلة السابقة، ما يعطينا:

ضرب المصفوفات عملية دامجة؛ بمعنى أنه يمكننا أن نكتب:

حسب التعريف، لدينا ؛ حيث مصفوفة الوحدة . وهذا يعني ضمنيًّا أن:

كما نعلم أيضًا أن مصفوفة الوحدة تترك المصفوفة دون تغيير عند دمجها خلال إجراء عملية ضرب المصفوفة. وهذا يسمح بالتبسيط النهائي:

إذا كان هدفنا هو إيجاد المتجه ، فقد تحقَّق هذا الهدف في المعادلة السابقة. سنوضِّح الآن كيف يمكن تطبيق هذه الطريقة على أنظمة معادلات خطية أخرى.

قد يبدو الأمر في هذه المرحلة كما لو أن الطريقة التي توصَّلنا إليها هي طريقة معقَّدة للغاية لإيجاد حل نظام من المعادلات الخطية يتضمَّن متغيِّرين ومجهولين. عادةً ما نفضِّل استخدام طريقة مألوفة وأكثر بساطةً لحل المعادلات الآنية من هذا النوع. يمكن فهم أهمية طريقة عكس المصفوفة بصورة أسهل عند التعامل مع المصفوفات من الرتبة أو أعلى. كما أن معكوس المصفوفة المربعة هو أمر قد يتطلَّب منا أن نركِّز عليه بشكل مستقل، دون النظر إلى المسألة الفعلية التي نحاول حلها؛ لذا، نحسب هذه المصفوفة دون النظر إلى المسألة التي تتضمَّنها والتي نحاول حلها.

هناك نقطة أكثر دقةً يجب أن نضعها في اعتبارنا أيضًا. في المثال السابق، افترض أن نظام المعادلات الخطية هو نفسه تمامًا باستثناء الكميات الموجودة في الطرف الأيمن من كلتا المعادلتين، كما تم ترميزه بواسطة المتجه . لكي نَحُل هذه المسألة، نظل بحاجة إلى إيجاد معكوس المصفوفة وإكمال العملية الحسابية . من هذا المنطلق، يكون إيجاد معكوس المصفوفة عملًا من شأنه أن يَحُل نظام المعادلات الخطية لأيِّ متجه . إضافة إلى ذلك، قد لا يمكننا أن نُوجِد ؛ لأن المصفوفة لها محدِّد يساوي صفرًا. في هذه الحالة، لن تكون قيمة مهمة؛ لأنه لن يكون من الممكن حل المسألة.

في السؤال السابق، استخدمنا طريقة جاوس-جوردان لإيجاد معكوس المصفوفة لنظام معادلات خطية مناظر. يُعَدُّ استخدام العمليات الصفية للتعامل مع المصفوفة مهارة أساسية في علم الجبر الخطي، وتمثِّل الأسئلة مثل السؤال السابق مصدرًا رائعًا للتدرُّب. وعلى الرغم من ذلك، فإن هناك طرقًا أخرى يمكن استخدامها لحساب معكوس المصفوفات، والتي قد تكون مفضَّلة طبقًا للمصفوفة التي لدينا. في المثال التالي، نستخدم طريقة المصفوفة الملحقة لحساب معكوس المصفوفة المطلوب. غالبًا ما تُعَدُّ هذه أفضل طريقة في حساب معكوس المصفوفات؛ لا سيما مع المصفوفات من الرتبة ، ولكنها تنطبق على المصفوفات المربعة من أي رتبة.

يمكن التعامل مع الأسئلة السابقة ببساطة شديدة بمجرد تبسيط نظام المعادلات إلى المعادلة المصفوفية . تتمثَّل فوائد هذا التعبير الرياضي في أنه يمكننا معاملته بصورة جبرية منفصلة، وهو ما يجعل من السهل معرفة أنه يمكن حل النظام باستخدام الجبر الخطي لتحقيق المعادلة المصفوفية . من شأن التعامل مع المسألة بهذه الطريقة المجرَّدة فقط أن يبسِّط التعقيد الحسابي الذي يحدث عند محاولة حساب معكوس المصفوفة . إضافةً إلى ذلك، من الواضح أنه لا يمكن حل نظام المعادلات إذا لم تكن لدينا صيغة دقيقة لـ ، تتضمَّن عادةً طريقة جاوس-جوردان أو طريقة المصفوفة الملحقة. إن القدرة على تغيير المنظور بين العرض النظري والعرض الحسابي سمة محدِّدة للجبر الخطي؛ حيث يكون علينا أن نغيِّر من منظورنا باستمرار لتحقيق الفهم الكامل للمسألة التي نتعامل معها والأساليب التي يمكننا استخدامها لحلها. بالنسبة إلى الكثير من علماء الرياضيات، يمثِّل هذا أحد مباهج دراسة الجبر الخطي، ولكن حتى إذا لم يكن هذا حال الجميع، فسيكون من الصعب ألَّا نتعاطف مع هذا المنظور في هذه الحالة بوجه خاص، بمعلومية الأمثلة السابقة.