فيديو الدرس: حل نظام من ثلاث معادلات باستخدام معكوس المصفوفة الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل نظامًا مكونًا من ثلاث معادلات خطية باستخدام معكوس مصفوفة المعاملات. في هذه المرحلة، لعلك تعلم عددًا من الطرق التي يمكنك استخدامها لمساعدتك في حل أنظمة المعادلات الخطية. إحدى هذه الطرق هي طريقة الحذف التي تتضمن جمع معادلتين أو طرحهما بهدف حذف متغير واحد ثم حل المعادلة المتبقية لإيجاد المتغير الآخر. لكن هذه الطريقة قد تكون طويلة بعض الشيء عند التعامل مع أكثر من متغيرين.

لذا لدينا طريقة بديلة. تتضمن هذه الطريقة البديلة كتابة نظام المعادلات على صورة مصفوفة. وبذلك نحصل على المعادلة ﺃﺱ يساوي ﺏ، حيث ﺃ، في أي نظام مكون من ثلاث معادلات، هو مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. وقد يمثل ﺱ مصفوفات العمود أو متجهات العمود. بعد ذلك، نضرب طرفي هذه المعادلة في معكوس المصفوفة ﺃ، ونتذكر بالطبع أهمية الترتيب المتبع لإجراء ذلك. وبتذكر أن حاصل ضرب أي مصفوفة ومعكوسها يساوي مصفوفة الوحدة، سنجد أن 𝐼ﺱ يساوي معكوس المصفوفة ﺃ في ﺏ. بعبارة أخرى، ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺏ.

نجد هنا أن ﺱ هو مصفوفة العمود التي تحتوي على المتغيرات التي نريد إيجاد قيمتها. إذن ما علينا فعله هو إيجاد طريقة نصوغ بها هذه المعادلات لإتمام هذه العملية. هيا نتناول نظامًا يتكون من ثلاث معادلات خطية. يمكننا تعميم ذلك، لكن اهتمامنا يقتصر في هذا الفيديو على ثلاث معادلات خطية فقط. القيم المجهولة هنا أو المتغيرات هي ﺱ وﺹ وﻉ. والمعاملات هي ﺃ مع الأعداد السفلية. إذن ﺃ هو مصفوفة المعاملات. وهي مكونة من العناصر ﺃ واحد واحد، وﺃ واحد اثنين، وﺃ واحد ثلاثة، وهكذا حتى نصل إلى ﺃ ثلاثة ثلاثة. والمتجه ﺱ هو ﺱ، ﺹ، ﻉ. وهو يتضمن هذه المتغيرات. أما المتجه ﺏ، فهو ﺏ واحد، وﺏ اثنان، وﺏ ثلاثة. إنه يتضمن هذه القيم.

يرجع السبب في إمكانية استخدام هذه المصفوفات والمتجهات إلى أننا عندما نعود إلى المصفوفة ﺃ ونضربها في المتجه ﺱ، فإننا بالأساس نوجد حاصل الضرب القياسي للعناصر الموجودة في الصف الأول من هذه المصفوفة والعمود الأول أو العمود الوحيد للمتجه ﺱ، وهو ما يعطينا هذه المعادلة الخطية الأولى. ثم نعود لنضرب الصف الثاني من المصفوفة ﺃ في متجه العمود ﺱ. فنحصل على المعادلة الخطية الثانية. وأخيرًا نكرر ذلك مع الصف الثالث، ونضرب كل عنصر به في المتجه ﺱ. فنحصل على المعادلة الخطية الثالثة. والآن بعد أن عرفنا كيفية كتابة نظام من المعادلات على صورة مصفوفة، دعونا نتدرب مباشرة على هذه العملية.

انظر نظام المعادلات الآتي‎. عبر عن هذا النظام في صورة معادلة مصفوفية واحدة.

تذكر أنه يمكن استخدام المعادلة المصفوفية لمساعدتنا في حل أنظمة المعادلات الخطية. وتكون على الصورة ﺃﺱ يساوي ﺏ، حيث ﺃ يسمى مصفوفة المعاملات، وﺱ متجه عمود يتضمن متغيرات المعادلة، وﺏ يحتوي على جميع الثوابت في المعادلة. دعونا نحدد أولًا عناصر مصفوفة المعاملات. هذه هي المصفوفة التي سنسميها ﺃ. ولدينا ثلاث معادلات تتضمن ثلاثة متغيرات. لذلك ستكون المصفوفة ﺃ مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. وعناصر الصف الأول من المصفوفة ﺃ هي معاملات ﺵ وﻕ وﺭ على الترتيب في المعادلة الأولى.

نلاحظ أن المعاملات هي اثنان، واثنان، وأربعة. وبالتالي هذا هو الصف الأول من المصفوفة. وعناصر الصف الثاني من المصفوفة ﺃ هي معاملات ﺵ وﻕ وﺭ في المعادلة الثانية. وهي سالب واحد، وسالب واحد، وسالب واحد. وبالتالي هذه هي عناصر الصف الثاني من المصفوفة. سنكرر هذه العملية مع الصف الثالث من المصفوفة، حيث نبحث عن معاملات ﺵ وﻕ وﺭ في المعادلة الثالثة. فنلاحظ أنها اثنان، وخمسة، وستة. وبذلك نكون قد حددنا عناصر مصفوفة المعاملات. وهي اثنان، اثنان، أربعة؛ وسالب واحد، سالب واحد، سالب واحد؛ واثنان، خمسة، ستة.

بعد ذلك، ننتقل إلى المتجه ﺱ. وهو متجه المتغيرات. وبالتالي علينا كتابة المتغيرات في هذه المعادلة. إنها ﺵ وﻕ وﺭ. وفي الواقع، من المهم جدًّا أن نكتبها بهذا الترتيب. فعلينا أن نجعلها بهذا الترتيب بحيث عندما نضرب المصفوفة ﺃ في متجه العمود ﺱ، نحصل في النهاية على المقادير الأصلية: اثنان ﺵ زائد اثنين ﻕ زائد أربعة ﺭ، وسالب ﺵ ناقص ﻕ ناقص ﺭ، وهكذا. إذا بدلنا ترتيب هذه المتغيرات، فلن نحصل في النهاية على المعادلة نفسها.

وأخيرًا، ننتقل إلى متجه الثوابت ﺏ الذي يحتوي على جميع ثوابت المعادلات. مرة أخرى، علينا كتابة هذه الثوابت بالترتيب الصحيح. وبذلك، نجد أن المتجه ﺏ يساوي أربعة، ١٤، ١٠. ونكتب هذا في صورة معادلة مصفوفية واحدة عن طريق إعادتها إلى الصورة ﺃﺱ يساوي ﺏ. وعندئذ نجد أن المعادلة المصفوفية المطلوبة هي اثنان، اثنان، أربعة، وسالب واحد، سالب واحد، سالب واحد، واثنان، خمسة، ستة في المتجه ﺵ، ﻕ، ﺭ يساوي المتجه أربعة، ١٤، ١٠.

والآن بعد أن عرفنا كيفية التعبير عن النظام في صورة معادلة مصفوفية، لنلق نظرة على كيفية استخدام معكوس المصفوفة لحل نظام يتكون من ثلاث معادلات.

أوجد حل المعادلة المصفوفية المعطاة باستخدام معكوس المصفوفة.

تذكر أنه بمعلومية المعادلة المصفوفية ﺃﺱ يساوي ﺏ، حيث ﺱ وﺏ متجها عمود، يمكننا الحل عن طريق ضرب كلا الطرفين في معكوس المصفوفة ﺃ. والترتيب مهم بالطبع عند الضرب، لذا نكتب ذلك كما هو موضح. لكن بما أن معكوس ﺃ في ﺃ يساوي مصفوفة الوحدة، سيصبح لدينا ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺏ. إذن دعونا نحدد عناصر المصفوفة ﺃ لتكون هذه المصفوفة المربعة في السؤال. متجه العمود ﺱ هو متجه المتغيرات، وﺏ هو متجه الثوابت. وهذا يعني أنه يمكننا حل هذه المعادلة بإيجاد معكوس المصفوفة ﺃ. إذن كيف نوجد معكوس مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؟

إحدى الطرق التي أمامنا هي توسيع المصفوفة ﺃ باستخدام مصفوفة الوحدة. عند فعل ذلك، ستبدو بهذا الشكل تقريبًا. ومهمتنا هي إجراء عمليات صفية أولية حتى تصبح المصفوفة ﺃ هي مصفوفة الوحدة. لاحظ بالطبع أن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا اختيارها لإيجاد معكوس المصفوفة. فهذا ليس إلا تفضيلًا شخصيًّا، وما دمنا نحصل على قيمة المعكوس نفسها بغض النظر عن الطريقة التي نختارها، فهذا لا يهم حقًّا.

سنحدد كل صف من الصفوف التي لدينا كما هو موضح. وتذكر أنه يمكننا جمع الصفوف أو طرحها أو ضربها في أعداد ثابتة. بل يمكننا أيضًا تبديل الصفوف. ويشبه ذلك عادة حل الألغاز بعض الشيء. فلا يوجد بالضرورة مسار واحد فقط يمكننا اتباعه. أول ما سنفعله هو جمع القيم الموجودة في الصف ﺹ اثنين مع جميع القيم الموجودة في الصف ﺹ واحد. ومن ثم، ستظل القيم الموجودة في ﺹ اثنين وﺹ ثلاثة دون تغيير مؤقتًا. واحد زائد واحد يساوي اثنين، وسالب واحد زائد واحد يساوي صفرًا، وسالب واحد زائد سالب واحد يساوي سالب اثنين. وبالطبع علينا إجراء الأمر نفسه في الجانب الأيسر. واحد زائد صفر يساوي واحدًا، وصفر زائد واحد يساوي واحدًا، وصفر زائد صفر يساوي صفرًا.

بعد ذلك، سنطرح كل عنصر من العناصر الموجودة في الصف الثاني من عناصر الصف الثالث. ونتيجة لذلك، سيساوي هذان العنصران صفرًا. وهذا العنصر سيساوي واحدًا، وهو أمر مفيد للغاية. فهذا هو الصف الأخير من مصفوفة الوحدة.

والآن في هذه الحالة، يظل بالطبع ﺹ واحد وﺹ اثنان دون تغيير. واحد ناقص واحد يساوي صفرًا، وواحد ناقص واحد يساوي صفرًا، وصفر ناقص سالب واحد يساوي واحدًا. ثم في الطرف الأيسر، نحصل على صفر، وسالب واحد، وواحد. ربما نلاحظ هنا أنه إذا ضاعفنا كل عنصر من عناصر الصف الثالث وجمعناه مع عناصر الصف الأول، فسنتخلص من عنصرين. هذا العنصر سيظل صفرًا، وسيصبح هذا صفرًا. اثنان زائد اثنين في صفر يساوي اثنين، وصفر زائد اثنين في صفر يساوي صفرًا، وسالب اثنين زائد اثنين في واحد يساوي صفرًا. نكرر العملية في الطرف الأيسر. ونحصل على واحد هنا، وسالب واحد هنا، واثنين هنا.

يبدو هذا جيدًا للغاية حتى الآن. نلاحظ أن الصف السفلي يشبه بالفعل مصفوفة الوحدة. وقد نلاحظ أنه إذا قسمنا جميع العناصر الموجودة في الصف العلوي على اثنين، فإنه سيشبه مصفوفة الوحدة أيضًا. إذن لنجر هذه الخطوة الآن. عند إجرائها، نحصل على واحد، صفر، صفر باعتباره الصف الأول في الطرف الأيمن. ثم نقسم كل عنصر من العناصر في الطرف الأيسر على اثنين. فنحصل على نصف وسالب نصف، ثم نصف اثنين يساوي واحدًا. وهكذا فإن الصفين الأول والأخير كلاهما يبدو رائعًا.

هيا نتعامل مع الصف الأوسط. ربما نلاحظ أنه إذا طرحنا الصف الأول من الصف الثاني، فسيصبح هذا العنصر صفرًا. لكن أيضًا إذا أضفنا الصف الثالث إلى الصف الثاني، فسيصبح هذا العنصر صفرًا أيضًا. وبهذا نحصل على الصف الأوسط الذي نريده في الطرف الأيمن. دعونا نكرر العملية في الطرف الأيسر. العنصر الأول في هذا الصف هو صفر ناقص نصف زائد صفر، وهو ما يساوي سالب نصف. ثم لدينا واحد ناقص سالب نصف زائد سالب واحد، وهو ما يساوي نصفًا. وأخيرًا، لدينا صفر ناقص واحد زائد واحد، وهو ما يساوي صفرًا.

والآن أصبح لدينا مصفوفة الوحدة في الجانب الأيمن. إذن المصفوفة الموجودة في الجانب الأيسر هي معكوس المصفوفة ﺃ. والآن أصبحنا مستعدين لحل المعادلة. دعونا نفرغ بعض المساحة. نعلم أن متجه المتغيرات ﺱ يساوي معكوس المصفوفة ﺃ في متجه الثوابت ﺏ. ويبدو هذا كما هو موضح. يمكننا الآن القول إن ﺱ يساوي حاصل الضرب القياسي لعناصر الصف الأول من معكوس المصفوفة ﺃ وعناصر متجه العمود ﺏ. إذن ﺱ يساوي نصفًا في تسعة زائد سالب نصف في سالب ١١ زائد واحد في ستة، وهو ما يساوي ٤٫٥ زائد ٥٫٥ زائد ستة، أو ١٦.

يمكننا بعد ذلك فعل الأمر نفسه مع ﺹ. فهو حاصل الضرب القياسي لعناصر الصف الثاني ومتجه العمود ﺏ. إذن فإنه يساوي سالب نصف في تسعة زائد نصف في سالب ١١ زائد صفر في ستة. هذا يساوي سالب ٤٫٥ ناقص ٥٫٥، وهو ما يساوي بالطبع سالب ١٠. نكرر ذلك الآن مرة أخرى لإيجاد قيمة ﻉ. وهي حاصل الضرب القياسي لهذه العناصر الموجودة في هذا الصف مع هذه العناصر الموجودة في هذا المتجه. وهو ما يساوي صفرًا في تسعة زائد سالب واحد في سالب ١١ زائد واحد في ستة، أي ١١ زائد ستة، أو ١٧. وبذلك نكون قد أوجدنا حل المعادلة. لقد وجدنا أن ﺱ يساوي ١٦، وﺹ يساوي سالب ١٠، وﻉ يساوي ١٧.

في المثال الأخير، سنتناول دمج هذين المثالين معًا لمساعدتنا على استخدام المصفوفات لحل نظام من المعادلات.

استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات الآتي.

تذكر أنه إذا تمكنا من كتابة نظام المعادلات على الصورة ﺃﺱ يساوي ﺏ، حيث ﺃ هو مصفوفة المعاملات، وﺱ هو متجه العمود الذي يحتوي على جميع المتغيرات، وﺏ هو متجه الثوابت، يمكننا عندئذ ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في معكوس المصفوفة ﺃ. وبذلك، نجد أن متجه المتغيرات ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺏ.

ومن ثم، لحل هذا النظام من المعادلات، علينا كتابته بهذه الصورة ثم إيجاد معكوس مصفوفة المعاملات. لدينا ثلاث معادلات تتضمن ثلاثة متغيرات. إذن، المصفوفة ﺃ ستكون من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. سنكتب معاملات المتغيرات بالترتيب من المعادلة الأولى. وهي سالب واحد، وثمانية، وسالب ثلاثة. هذه ببساطة المعاملات الموضحة.

في المعادلة الثانية، لدينا أربعة، وسالب ثلاثة، وثمانية. وفي المعادلة الثالثة، لدينا ستة، وسالب ١٢، و١٩. بعد ذلك، يحتوي المتجه ﺱ على جميع المتغيرات. وهي ﺱ، ﺹ، ﻉ. وبالطبع يحتوي متجه الثوابت على الثوابت، وهي سالب ١٠، و١٢، و١٨. إذن مهمتنا الأولى هي إيجاد معكوس المصفوفة ﺃ.

هناك بالطبع عدة طرق لفعل ذلك. إحدى هذه الطرق هي توسيع المصفوفة باستخدام مصفوفة الوحدة وإجراء العمليات الصفية الأولية. وقد نختار أيضًا استخدام الآلة الحاسبة. لكن دعونا نتذكر كيف يمكننا استخدام محددات المصفوفات الصغرى، ومصفوفة العوامل المرافقة، وطريقة المصفوفة الملحقة. نبدأ بإيجاد مصفوفة محددات المصفوفات الصغرى. نتجاهل القيم الموجودة في الصف والعمود قيد النظر ونحسب محدد القيم المتبقية. إذن لإيجاد العنصر الأول في الصف الأول، سنحسب سالب ثلاثة في ١٩ ناقص ثمانية في سالب ١٢، وهو ما يساوي ٣٩. ثم نتجاهل جميع العناصر الموجودة في الصف الأول والعمود الثاني. ونوجد قيمة أربعة في ١٩ ناقص ثمانية في ستة، وهو ما يساوي ٢٨. وأخيرًا نتجاهل العناصر الموجودة في الصف الأول والعمود الثالث. ونوجد قيمة أربعة في سالب ١٢ ناقص سالب ثلاثة في ستة. فنحصل على سالب ٣٠.

وبالاستمرار في إجراء العملية، تصبح مصفوفة محددات المصفوفات الصغرى كما هو موضح. بعد ذلك، نوجد مصفوفة العوامل المرافقة باستخدام هذا النوع من نمط لوح الشطرنج. يتطلب هذا تغيير إشارة العنصر الثاني في الصف الأول، والعنصرين الأول والثالث في الصف الثاني، والعنصر الثاني في الصف الثالث. بعد ذلك، نوجد المصفوفة الملحقة. تبقى عناصر القطر كما هي، ثم نبدل فقط مواضع كل العناصر المتبقية. ننتقل مباشرة لذلك القطر. ونبدل سالب ١١٦ وسالب ٢٨، و٥٥ وسالب ٣٠، وسالب أربعة و٣٦.

والخطوة الأخيرة هي ضرب هذه المصفوفة في واحد على محدد المصفوفة ﺃ. يمكننا استخدام قيم مصفوفة محددات المصفوفات الصغرى لإجراء ذلك. سنضرب كل عنصر من عناصر الصف العلوي للمصفوفة الأصلية في العامل المرافق الذي يشغل الموقع نفسه. إذن، نضرب سالب واحد في ٣٩. ثم نطرح حاصل ضرب ثمانية في ٢٨. ثم نجمع حاصل ضرب سالب ثلاثة في سالب ٣٠. وبالتالي، نجد أن محدد ﺃ يساوي سالب ١٧٣. وبذلك، نجد أن معكوس ﺃ يساوي سالب واحد على ١٧٣ مضروبًا في تلك المصفوفة الملحقة.

هيا نفرغ بعض المساحة، والآن يمكننا حل هذا النظام من المعادلات. إذن ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺏ كما هو موضح. يمكننا ضرب كل عنصر من عناصر معكوس ﺃ في سالب واحد على ١٧٣. ويمكننا فعل ذلك في النهاية. لنبدأ بإيجاد حاصل الضرب القياسي لعناصر الصف الأول من معكوس المصفوفة والمتجه ﺏ. عندما نفعل ذلك، نحصل على سالب واحد على ١٧٣ في ٣٩ في سالب ١٠ ناقص ١١٦ في ١٢ زائد ٥٥ في ١٨، وهو ما يساوي سالب ٧٩٢. إذن ﺱ يساوي سالب واحد على ١٧٣ في سالب ٧٩٢، وهو ما يساوي ٧٩٢ على ١٧٣.

سنفعل الأمر نفسه مع ﺹ هذه المرة بإيجاد حاصل الضرب القياسي للعناصر الموجودة في هذا الصف مع المتجه، لنحصل على سالب واحد على ١٧٣ في ١٩٦، وهو ما يساوي سالب ١٩٦ على ١٧٣. هيا نكرر ذلك لمعرفة قيمة ﻉ بإيجاد حاصل الضرب القياسي للعناصر الموجودة في الصف الثالث من معكوس المصفوفة ومتجه العمود ﺏ. وهذه المرة، نحصل على سالب واحد على ١٧٣ في ٢١٠ أو سالب ٢١٠ على ١٧٣.

وبذلك، نكون قد أوجدنا قيم ﺱ وﺹ وﻉ. دعونا نعد هذه القيم إلى الصورة المتجهة. في الواقع، من السهل فعل ذلك بأخذ العامل الثابت واحد على ١٧٣ عاملًا مشتركًا. وبذلك نكون قد أوجدنا حل هذا النظام من المعادلات. وبالصورة المتجهة، يمكننا القول إن ﺱ، ﺹ، ﻉ يساوي واحدًا على ١٧٣ في المتجه ٧٩٢، سالب ١٩٦، سالب ٢١٠.

سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الدرس. في هذا الدرس، تعلمنا أنه يمكننا تمثيل نظام مكون من ثلاث معادلات في صورة معادلة مصفوفية. إذا كان ﺃ مصفوفة المعاملات، وﺱ متجه المتغيرات، وﺏ متجه الثوابت، فإن المعادلة تكون على الصورة ﺃﺱ يساوي ﺏ. وبضرب طرفي هذه المعادلة في معكوس ﺃ، نجد أن ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺏ.

بالنسبة إلى أي نظام مكون من ثلاث معادلات خطية على الصورة ﺃ واحد واحد ﺱ زائد ﺃ واحد اثنين ﺹ زائد ﺃ واحد ثلاثة ﻉ يساوي ﺏ واحد، وهكذا، فإن مصفوفة المعاملات تساوي ﺃ واحد واحد، ﺃ واحد اثنين، ﺃ واحد ثلاثة؛ وﺃ اثنين واحد، ﺃ اثنين اثنين، ﺃ اثنين ثلاثة؛ وﺃ ثلاثة واحد، ﺃ ثلاثة اثنين، ﺃ ثلاثة ثلاثة. ومتجه المتغيرات يساوي ﺱ، ﺹ، ﻉ. ومتجه الثوابت يساوي ﺏ واحد، ﺏ اثنين، ﺏ ثلاثة.