فيديو السؤال: ضرب الأعداد المركبة التي تتضمن قوى الأعداد التخيلية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

بسط خمسة ناقص ﺕ أس ٨٣ مضروبًا في خمسة ناقص ﺕ أس ٦٩ مضروبًا في خمسة ناقص ﺕ أس ٦١.

في هذا السؤال، مطلوب منا تبسيط حاصل ضرب ثلاثة أعداد مركبة. نلاحظ أن هناك شيئًا مشتركًا مثيرًا للاهتمام بين الأعداد المركبة الثلاثة المضروبة معًا. فهي تحتوي على ﺕ مرفوعًا لأس قيمته كبيرة جدًّا. قد نرغب في البدء بتوزيع الأقواس مباشرة. لكننا هنا سنبسط ما بداخل الأقواس أولًا.

للقيام بذلك، دعونا نبدأ باسترجاع أننا نعرف ﺕ بأنه يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد. وهذا يعطينا خاصية مفيدة للغاية. يمكننا أن نطرح السؤال: ماذا سيحدث إذا قمنا بتربيع طرفي هذه المعادلة؟ نجد عندئذ أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. ويمكننا استخدام ذلك مباشرة لتبسيط العوامل الثلاثة.

لنبدأ بسالب ﺕ أس ٨٣. بكتابة حاصل الضرب هذا بالكامل وتبسيط الكل باستخدام قوانين الأسس، يمكننا ملاحظة أنه يساوي سالب واحد مضروبًا في ﺕ أس ٨٢ مضروبًا في ﺕ. ولكن يمكن كتابة ﺕ أس ٨٢ بدلالة ﺕ تربيع. بكتابة حاصل الضرب بالكامل والتبسيط أو باستخدام قوانين الأسس، يمكننا ملاحظة أن ﺕ أس ٨٢ يساوي ﺕ تربيع الكل أس ٤١. لكننا نعلم أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن، يمكن تبسيط ذلك لنحصل على سالب واحد في سالب واحد أس ٤١ مضروبًا في ﺕ.

يمكننا الآن إيجاد قيمة هذا المقدار باستخدام حقيقة أن سالب واحد مرفوعًا لقوة زوجية يساوي واحدًا، وسالب واحد مرفوعًا لقوة فردية يساوي سالب واحد. هذا يعني أن سالب واحد أس ٤١ يساوي سالب واحد. نضرب هذا في سالب واحد لنحصل على واحد. إذن، يمكن تبسيط هذا المقدار بأكمله لنحصل على ﺕ. دعونا نكتب ما أوضحناه هنا. لقد أوضحنا حتى الآن أن سالب واحد في ﺕ أس ٨٣ يساوي ﺕ.

يمكننا الآن فعل الشيء نفسه مع الحد الثاني. وهذه المرة، علينا تبسيط سالب واحد في ﺕ أس ٦٩. سنبدأ بإعادة كتابة ذلك على الصورة سالب واحد في ﺕ أس ٦٨ مضروبًا في ﺕ. مرة أخرى، نستخدم حقيقة أن ﺕ أس ٦٨ يساوي ﺕ تربيع الكل أس ٣٤ لإعادة كتابة المقدار. إذن، كل ما نستخدمه هو حقيقة أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. وهذا يعطينا سالب واحد في سالب واحد أس ٣٤ مضروبًا في ﺕ. وبما أن سالب واحد أس ٣٤ يساوي سالب واحد مرفوعًا لقوة زوجية، فإن هذا يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكن تبسيط ذلك كله إلى سالب ﺕ.

دعونا نكتب هذا أيضًا. سالب واحد في ﺕ أس ٦٩ يساوي سالب ﺕ. لنفرغ بعض المساحة ونفعل الشيء نفسه مع العامل الأخير. هذه المرة، نريد تبسيط سالب واحد في ﺕ أس ٦١. سنبدأ بكتابة ذلك على الصورة سالب واحد في ﺕ أس ٦٠ مضروبًا في ﺕ. بعد ذلك، نعيد كتابة ﺕ أس ٦٠ على الصورة ﺕ تربيع الكل أس ٣٠. نستخدم بعدئذ حقيقة أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد لنكتب ذلك على الصورة سالب واحد في سالب واحد أس ٣٠ مضروبًا في ﺕ. وبالطبع، سالب واحد أس ٣٠ يساوي واحدًا. ويمكن تبسيط هذا كله إلى سالب ﺕ.

لنكتب هذا التبسيط الأخير لأننا سنحتاج إليه لاحقًا. نفرغ بعض المساحة، ونصبح الآن مستعدين لتبسيط المقدار. سنبدأ بكتابة هذا المقدار بالكامل. وهو خمسة ناقص ﺕ أس ٨٣ مضروبًا في خمسة ناقص ﺕ أس ٦٩ في خمسة ناقص ﺕ أس ٦١.

سنستخدم عمليات التبسيط الثلاث لدينا. هذا يجعلنا نكتب العامل الأول على الصورة خمسة زائد ﺕ، والعامل الثاني على الصورة خمسة ناقص ﺕ، والعامل الثالث أيضًا على الصورة خمسة ناقص ﺕ. لكن تذكر أنه مطلوب منا في السؤال تبسيط هذا المقدار. ويمكننا تبسيطه بتوزيع جميع الأقواس.

يمكننا إجراء ذلك عاملًا عاملًا باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. لكن هناك طريقة أسهل. يمكننا ملاحظة أن أول عاملين في هذا المقدار تحليل لفرق بين مربعين. وهو على الصورة ﺱ زائد ﺹ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺹ. نعلم أن هذا يساوي ﺱ تربيع ناقص ﺹ تربيع. لذا، بدلًا من ضربهما بالكامل، نعلم بالفعل أن حاصل ضربهما هو خمسة تربيع ناقص ﺕ تربيع. وهذا يعطينا خمسة تربيع ناقص ﺕ تربيع مضروبًا في خمسة ناقص ﺕ.

يمكننا تبسيط ذلك بتذكر أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. هذا يعطينا ٢٥ ناقص سالب واحد الكل مضروبًا في خمسة ناقص ﺕ. وبالطبع، طرح سالب واحد هو نفسه إضافة واحد. و٢٥ زائد واحد يساوي ٢٦. إذن، لدينا ٢٦ مضروبًا في خمسة ناقص ﺕ. وأخيرًا، سنوزع ٢٦ على القوس. بما أن ٢٦ مضروبًا في خمسة يساوي ١٣٠، فإن هذا يعطينا الإجابة النهائية وهي ١٣٠ ناقص ٢٦ﺕ.

بذلك، نكون قد تمكنا من تبسيط المقدار خمسة ناقص ﺕ أس ٨٣ في خمسة ناقص ﺕ أس ٦٩ مضروبًا في خمسة ناقص ﺕ أس ٦١. وأوضحنا أنه يساوي ١٣٠ ناقص ٢٦ﺕ.