فيديو الدرس: ضرب الأعداد المركبة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوسع نطاق العمليات التي نجريها على الأعداد المركبة لتشمل الضرب. سنبدأ ببحث كيفية ضرب عدد مركب في أعداد حقيقية أولًا، ثم في عدد مركب آخر. ثم سيمتد ذلك ليشمل استنتاج قاعدة عامة لتربيع الأعداد المركبة، ومعرفة كيف يساعدنا هذا في رفع عدد مركب إلى أسس أكبر من اثنين. وأخيرًا، سنتعلم كيف نطبق هذه العمليات لمساعدتنا في حل المعادلات.

إذا كنت تدرس الأعداد المركبة منذ فترة، فقد تكون على دراية بأن العمليات التي تجرى على الأعداد المركبة تشبه العمليات التي تجرى على المقادير الجبرية إن لم تكن مطابقة لها في بعض الأحيان. في الواقع، يماثل ضرب المقادير الجبرية باستثناء أن الحرف ﺕ ليس متغيرًا. ‏‏ﺕ هو بالطبع حل المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب واحد. هذا يعني أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، وعادة ما نقول إن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد.

لنبدأ بدراسة كيفية ضرب عدد مركب بالصورة ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ في ثابت. دعونا نسم الثابت ﺟ؛ حيث ﺟ عدد حقيقي. ‏‏ﺟ مضروبًا في ﻉ، وهو ما يكتب ببساطة ﺟﻉ، هو نفسه ﺟ مضروبًا في العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ كله. نضيف أقواسًا لتوضيح ذلك.

نتذكر خاصية التوزيع التي تتيح لنا ضرب كل جزء من العدد المركب في العدد الحقيقي ﺟ. وبفعل ذلك، نجد أن ﺟﻉ يساوي ﺟﺃ زائد ﺟﺏﺕ. وللتوضيح، قد يكتب هذا أحيانًا بالصورة ﺃﺟ زائد ﺏﺟﺕ. وهذا لا يثير دهشتنا. فهذا هو تمامًا ما نتوقعه عند ضرب أي مقدار جبري مكون من حدين في ثابت حقيقي.

لنلق نظرة الآن على مثال حول كيفية عمل ذلك.

إذا كان ﺭ يساوي سالب خمسة زائد اثنين ﺕ، وﻑ يساوي سالب ثمانية ناقص اثنين ﺕ؛ فأوجد قيمة اثنين ﺭ زائد ثلاثة ﻑ.

لدينا هنا العددان المركبان ﺭ وﻑ. نريد إيجاد مجموع اثنين ﺭ وثلاثة ﻑ. لذا سنقسم المسألة ونبدأ بإيجاد قيمة اثنين ﺭ وثلاثة ﻑ، كل على حدة. اثنان ﺭ هو اثنان مضروب في العدد المركب سالب خمسة زائد اثنين ﺕ. نفك القوس بضرب كل جزء من العدد المركب في الثابت اثنين. اثنان مضروب في سالب خمسة يساوي سالب ١٠، واثنان مضروب في اثنين ﺕ يساوي أربعة ﺕ. نجد أن اثنين ﺭ يساوي سالب ١٠ زائد أربعة ﺕ.

نكرر هذه العملية مع ثلاثة ﻑ. هذه المرة، نضرب كل جزء من العدد المركب ﻑ في الثابت ثلاثة. ثلاثة مضروب في سالب ثمانية يساوي سالب ٢٤، وثلاثة مضروب في سالب اثنين ﺕ يساوي سالب ستة ﺕ. أما وقد عرفنا العددين المركبين اثنين ﺭ وثلاثة ﻑ، علينا إيجاد مجموعهما. إنه سالب ١٠ زائد أربعة ﺕ زائد سالب ٢٤ ناقص ستة ﺕ.

وتذكر أنه لجمع عددين مركبين، نجمع ببساطة جزأيهما الحقيقيين ثم نجمع جزأيهما التخيليين، كل على حدة. سالب ١٠ زائد سالب ٢٤ يساوي سالب ٣٤، وأربعة ﺕ زائد سالب ستة ﺕ يساوي سالب اثنين ﺕ. إذن بالنسبة للعددين المركبين المعطيين، فإن اثنين ﺭ زائد ثلاثة ﻑ يساوي سالب ٣٤ ناقص اثنين ﺕ.

هذا جيد جدًا. لكن ماذا لو كنا نضرب الأعداد المركبة في عدد تخيلي بحت؟ رأينا بالفعل أن خاصية التوزيع مفيدة جدًا في ضرب الأعداد المركبة في ثابت حقيقي. وفي الواقع، يمكننا استخدام هذه الخاصية لضرب عدد مركب في عدد تخيلي بحت. وهو عدد بالصورة ﺟﺕ؛ حيث ﺟ عدد حقيقي، وﺕ عدد تخيلي، وهو حل المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب واحد.

هذه المرة سنضرب عددًا مركبًا بالصورة ﺃ زائد ﺏﺕ في ﺟﺕ. عندما نفعل ذلك، نحصل على ﺟﺕ مضروبًا في ﺃ زائد ﺏﺕ. ‏‏ﺟﺕ مضروبًا في ﺃ يساوي ﺟﺃﺕ، وﺟﺕ مضروبًا في ﺏﺕ يساوي ﺟﺏﺕ تربيع. ولكن بما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، فيمكننا كتابة ذلك على الصورة سالب ﺟﺏ. وإذا كتبناه بدلًا من ذلك على صورة عدد مركب، سنجد أن العدد المركب الذي لدينا مضروبًا في عدد تخيلي بحت يساوي سالب ﺟﺏ زائد ﺟﺃﺕ.

ها قد أوجدنا صيغة لضرب عدد مركب في عدد تخيلي بحت. ولكن علينا التركيز جيدًا على تطبيق العمليات في كل مرة بدلًا من محاولة حفظها عن ظهر قلب. هنا، سندرس مثالًا يمكننا فيه تطبيق هذه العمليات لضرب عدد مركب في عدد تخيلي بحت.

ما ناتج سالب سبعة ﺕ مضروبًا في سالب خمسة زائد خمسة ﺕ؟

لدينا العدد المركب سالب خمسة زائد خمسة ﺕ، ونريد ضربه في العدد التخيلي البحت سالب سبعة ﺕ. ونعلم أن ضرب الأعداد التخيلية يماثل ضرب المقادير الجبرية. يمكننا هنا تطبيق خاصية التوزيع لفك القوس. نضرب كل جزء داخل القوس في العدد الموجود خارجه. هذا يساوي سالب سبعة ﺕ مضروبًا في سالب خمسة؛ وهو ما يعطينا ٣٥ﺕ، وسالب سبعة ﺕ مضروبًا في خمسة ﺕ؛ وهو ما يعطينا سالب ٣٥ﺕ تربيع.

وهنا نتذكر حقيقة أن ﺕ هو حل المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب واحد؛ حيث إن ﺕ تربيع يجب أن يساوي سالب واحد. إذن سالب ٣٥ﺕ تربيع هو نفسه سالب ٣٥ مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يساوي ببساطة ٣٥. وبما أنه لدينا الآن عدد مركب هو بالطبع ناتج جمع عدد حقيقي وعدد تخيلي، نكتبه على الصورة: ٣٥ زائد ٣٥ﺕ.

وكما يمكننا أن نتوقع، يمكننا توسيع نطاق هذه الأفكار لتشمل ضرب عددين مركبين. وسنبدأ بدراسة حاصل الضرب العام لعددين مركبين. لنقل إن لدينا عددين مركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين؛ حيث ﻉ واحد يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ، وﻉ اثنان يساوي ﺟ زائد ﺩﺕ. حاصل ضرب ﻉ واحد وﻉ اثنين يساوي حاصل ضرب ﺃ زائد ﺏﺕ، وﺟ زائد ﺩﺕ.

وقد رأينا بالفعل أنه يمكننا تطبيق الطرق الجبرية على الأعداد المركبة. هنا يمكننا استخدام أي طريقة نريدها لضرب مقدارين من ذوات الحدين. تعد طريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني وطريقة الشبكة طريقتين شائعتين. سنتناول طريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني.

نبدأ بالحدين الأولين. نضرب الحد الأول داخل القوس الأول في الحد الأول داخل القوس الثاني. ‏‏ﺃ مضروبًا في ﺟ يساوي ببساطة ﺃﺟ. ننتقل بعد ذلك إلى الطرفين. نضرب الطرفين ونحصل على ﺃﺩﺕ. بعد ذلك، لدينا الوسطان. نضرب الوسطين ونحصل على ﺏﺟﺕ. وفي النهاية، لدينا الحدان الأخيران. نضرب الحد الأخير في كل قوس لنحصل على ﺏﺩﺕ تربيع.

وبما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، يمكننا كتابة هذا الجزء الأخير على صورة سالب ﺏﺩ. يمكننا إعادة ترتيب ذلك قليلًا لنجد أن حاصل ضرب ﻉ واحد وﻉ اثنين يساوي ﺃﺟ ناقص ﺏﺩ زائد ﺃﺩ زائد ﺏﺟﺕ. إنه عدد مركب يشتمل على الجزء الحقيقي ﺃﺟ ناقص ﺏﺩ، والجزء التخيلي ﺃﺩ زائد ﺏﺟ. مرة أخرى، أوجدنا صيغة لضرب عدد مركب في عدد مركب آخر. ولكن علينا التركيز جيدًا على تطبيق العمليات في كل مرة.

اضرب سالب ثلاثة زائد ﺕ في اثنين زائد خمسة ﺕ.

ضرب عددين مركبين يماثل ضرب مقدارين من ذوات الحدين، ويمكننا استخدام أي طريقة نريدها. دعونا نجرب طريقة الشبكة. اثنان مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي سالب ستة، واثنان مضروبًا في ﺕ يساوي اثنين ﺕ. خمسة ﺕ مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي سالب ١٥ﺕ، وخمسة ﺕ مضروبًا في ﺕ يساوي خمسة ﺕ تربيع. وبالتأكيد ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن خمسة ﺕ تربيع يساوي خمسة مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يساوي سالب خمسة.

سنقوم بالتبسيط بعد قليل من خلال تجميع الحدود المتشابهة. الآن نجمع كل جزء على حدة، لنحصل على سالب ستة ناقص خمسة زائد اثنين ﺕ ناقص ١٥ﺕ. سالب ستة ناقص خمسة يساوي سالب ١١، واثنان ﺕ ناقص ١٥ﺕ يساوي سالب ١٣ﺕ. فعندما نضرب سالب ثلاثة زائد ﺕ في اثنين زائد خمسة ﺕ، نحصل على سالب ١١ ناقص ١٣ﺕ.

في المثال التالي، سندرس كيفية توسيع نطاق هذه الأفكار لتشمل تربيع الأعداد المركبة.

إذا كان ﺭ يساوي سالب اثنين زائد أربعة ﺕ، وﻑ يساوي ثمانية ناقص ﺕ؛ فأوجد ﺭ ناقص ﻑ الكل تربيع.

في هذه المسألة لدينا عددان مركبان، ومطلوب منا إيجاد مربع الفرق بينهما؛ أي ﺭ ناقص ﻑ. يمكننا بالتأكيد كتابة ﺭ ناقص ﻑ تربيع على الصورة ﺭ ناقص ﻑ في ﺭ ناقص ﻑ، وفك هذين القوسين بالطريقة المعتادة. عند القيام بذلك، نجد أن لدينا ثلاثة أجزاء مختلفة: ﺭ تربيع، وﻑ تربيع، وسالب اثنين ﺭﻑ. يتطلب إيجاد قيمة كل من هذه الأعداد المركبة الكثير من العمل منا.

بدلًا من ذلك سنوجد الفرق بين العددين أولًا، ثم سنحسب مربع الناتج. ‏‏ﺭ ناقص ﻑ يساوي سالب اثنين زائد أربعة ﺕ ناقص ثمانية ناقص ﺕ. ولطرح عددين مركبين، نطرح جزأيهما الحقيقيين وجزأيهما التخيليين. ويمكننا أيضًا اعتبار ذلك مشابهًا لتجميع الحدود المتشابهة. ولكن قبل أن نفعل ذلك، دعونا نفك القوس الثاني بضرب كل جزء بداخله في سالب واحد. هذا يعطينا سالب ثمانية زائد ﺕ.

سالب اثنين ناقص ثمانية يساوي سالب ١٠، وأربعة ﺕ زائد ﺕ يساوي خمسة ﺕ. إذن ﺭ ناقص ﻑ يساوي سالب ١٠ زائد خمسة ﺕ. هذا يعني أن ﺭ ناقص ﻑ تربيع يساوي سالب ١٠ زائد خمسة ﺕ تربيع. لكن بما أن تربيع أي عدد يماثل ضربه في نفسه، نكتب هذا بصورة سالب ١٠ زائد خمسة ﺕ مضروبًا في سالب ١٠ زائد خمسة ﺕ.

وضرب عددين مركبين مماثل تمامًا لضرب ذوات الحدين. يمكننا استخدام أي طريقة نريدها. لنستخدم طريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. سنبدأ بضرب الحد الأول داخل القوس الأول في الحد الأول داخل القوس الثاني. سالب ١٠ مضروبًا في سالب ١٠ يساوي ١٠٠، ثم نضرب الطرفين، سالب ١٠ مضروبًا في خمسة ﺕ يساوي سالب ٥٠ﺕ. ونحصل على الناتج نفسه إذا ضربنا الوسطين.

وأخيرًا، نضرب الحدين الأخيرين في كل قوس. ونحصل على ٢٥ﺕ تربيع. ولكن بما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، فيمكننا كتابة ذلك بصورة ٢٥ مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يساوي سالب ٢٥. ‏‏١٠٠ ناقص ٢٥ يساوي ٧٥. وسالب ٥٠ ناقص ٥٠ يساوي سالب ١٠٠. إذن نحصل على سالب ١٠٠ﺕ. إذن، نجد أن ﺭ ناقص ﻑ الكل تربيع يساوي ٧٥ ناقص ١٠٠ﺕ.

أما وقد رأينا مثالًا على كيفية تربيع عدد مركب، دعونا نوسع نطاق ذلك ونستنتج الصيغة العامة. لنقل إن لدينا عددًا مركبًا ﻉ على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان. ‏‏ﻉ تربيع يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ الكل تربيع. لكننا نعلم أنه يمكننا تربيع عدد مركب بضربه في نفسه وتطبيق الطرق نفسها التي استخدمناها لفك الأقواس.

نضرب الحدين الأولين داخل كل قوس ونحصل على ﺃ تربيع. وعند ضرب الطرفين، نحصل على ﺃﺏﺕ. وعند ضرب الوسطين، نحصل على ﺃﺏﺕ مرة أخرى. وعند ضرب الحدين الأخيرين، نحصل على ﺏ تربيع ﺕ تربيع. ولكن بالطبع ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. وبالتالي فهذا الحد الأخير يساوي سالب ﺏ تربيع. ونجد أن ﻉ تربيع يساوي ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع زائد اثنين ﺃﺏﺕ.

ويمكننا القول إنه بصفة عامة عند تربيع عدد مركب ما ﻉ على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ؛ فإن الجزء الحقيقي من العدد ﻉ تربيع هو ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع، والجزء التخيلي هو اثنان ﺃﺏ. رأينا في هذا الفيديو أن تذكر الطريقة أهم من تذكر الصيغة. في هذه الحالة، يمكن في الواقع أن تكون معرفة صيغة مربع العدد المركب مفيدة جدًا.

لنر مثالًا على إحدى الحالات التي يمكن أن يفيدنا فيها تبسيط عملية حسابية.

أوجد الجزء الحقيقي من سبعة ناقص اثنين ﺕ الكل تربيع.

لدينا هنا العدد المركب سبعة ناقص اثنين ﺕ، ومطلوب منا إيجاد الجزء الحقيقي من مربعه. يمكننا البدء بكتابة سبعة ناقص اثنين ﺕ تربيع على الصورة سبعة ناقص اثنين ﺕ مضروبًا في سبعة ناقص اثنين ﺕ، ثم فك الأقواس بالكامل. ويمكننا استخدام أي طريقة لضرب ذوات الحدين. على سبيل المثال، يمكننا توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني.

نضرب الحد الأول داخل القوس الأول في الحد الأول داخل القوس الثاني. هذا يساوي سبعة مضروبًا في سبعة وهو ما يعطينا ٤٩. نضرب الطرفين. هذا يساوي سبعة مضروبًا في سالب اثنين ﺕ وهو ما يعطينا سالب ١٤ﺕ. ونحصل على العدد نفسه عند ضرب الوسطين. يمكننا ضرب الحدين الأخيرين من كل قوس لنحصل على موجب أربعة ﺕ تربيع. ولكن بالطبع ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن يبسط هذا بطريقة ما إلى ٤٩ ناقص ٢٨ﺕ ناقص أربعة وهو ما يساوي ٤٥ ناقص ٢٨ﺕ.

حسنًا، العدد المركب الذي على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ؛ الجزء الحقيقي منه هو ﺃ، والجزء التخيلي هو ﺏ. وفي هذه الحالة، يمكننا القول إن الجزء الحقيقي من العدد المركب الذي لدينا هو ٤٥. ومع أن هذه الطريقة صحيحة، فمقدار الجهد المبذول يعد غير ضروري. فبدلًا من ذلك، سنتذكر الصيغة العامة لمربع العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ. وهي الصيغة: ﻉ تربيع يساوي ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع زائد اثنين ﺃﺏﺕ.

الجزء الحقيقي هو ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع، والجزء التخيلي هو اثنان ﺃﺏ. في العدد المركب الذي لدينا، الجزء الحقيقي هو سبعة؛ ﺃ يساوي سبعة. والجزء التخيلي ﺏ يساوي سالب اثنين. إذن يمكننا القول إن الجزء الحقيقي من ﻉ تربيع يساوي سبعة تربيع ناقص سالب اثنين تربيع، أو ٤٩ ناقص أربعة. ‏‏٤٩ ناقص أربعة يساوي ٤٥. وهذه هي الإجابة نفسها التي أوجدناها من قبل.

يمكن أن تساعدنا القواعد التي تعلمناها حول تربيع الأعداد المركبة في إيجاد القوى العليا لهذه الأعداد.

إذا كان ﺭ يساوي اثنين زائد ﺕ، فاكتب ﺭ تكعيب في صورة ﺃ زائد ﺏﺕ.

نبدأ هنا بإعادة كتابة ﺭ تكعيب. ‏‏ﺭ تكعيب يساوي ﺭ في ﺭ في ﺭ، وهو ما يساوي اثنين زائد ﺕ في اثنين زائد ﺕ في اثنين زائد ﺕ. سنبدأ بضرب اثنين زائد ﺕ في اثنين زائد ﺕ. ويمكننا فك هذين القوسين كما نفك ذوات الحدين.

ويمكن أيضًا أن نتذكر أنه بالنسبة للعدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ، فإن مربع هذا العدد المركب يساوي ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع زائد اثنين ﺃﺏﺕ. الجزء الحقيقي من العدد المركب ﺃ هو اثنان. والجزء التخيلي هو معامل ﺕ، وهو واحد. يمكننا إذن تربيع هذا العدد بالتعويض بـ ﺃ يساوي اثنين، وﺏ يساوي واحدًا في تلك الصيغة. نحصل على اثنين تربيع ناقص واحد تربيع زائد اثنين في اثنين في واحد ﺕ، وهذا كله مضروب في اثنين زائد ﺕ.

اثنان تربيع يساوي أربعة، وواحد تربيع يساوي واحدًا. إذن اثنان تربيع ناقص واحد تربيع يساوي ثلاثة، واثنان في اثنين في واحد يساوي أربعة. إذن نحصل على ثلاثة زائد أربعة ﺕ في اثنين زائد ﺕ. ويمكننا ضرب القوسين بتوزيع حدي كل قوس على حدي القوس الآخر. نضرب الحدين الأولين من كل قوس. ثلاثة في اثنين يساوي ستة. نضرب الطرفين لنحصل على ثلاثة ﺕ. وبالنسبة للوسطين، نضرب أربعة ﺕ في اثنين وهو ما يساوي ثمانية ﺕ. ثم نضرب الحدين الأخيرين، أربعة ﺕ مضروبًا في ﺕ يساوي أربعة ﺕ تربيع.

وبما أننا نعلم أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، فإن أربعة ﺕ تربيع يساوي سالب أربعة. ونعلم أيضًا أن ثلاثة ﺕ زائد ثمانية ﺕ يساوي ١١ﺕ. إذن يبسط هذا المقدار إلى اثنين زائد ١١ﺕ. إذن ﺭ تكعيب بالصورة المطلوبة هو اثنان زائد ١١ﺕ.

هناك طرق لتبسيط هذه العملية بالنسبة للقوى الأعلى لـ ﻉ، سنتعرف عليها عندما نصبح واثقين أكثر في قدرتنا على التعامل مع الأعداد المركبة. ومع ذلك يوضح المثال الأخير كيفية حل معادلة باستخدام الأعداد المركبة.

أوجد حل المعادلة ﺕﻉ يساوي سالب أربعة زائد ثلاثة ﺕ.

عادة ما نسعى إلى تطبيق قواعد حل المقادير الجبرية. سنقسم هنا على ﺕ. لكن هناك طريقة أخرى يمكننا استخدامها. نعلم أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. لذا سنضرب طرفي هذه المعادلة في ﺕ. بعد ذلك نفك القوسين بضرب كل ما بداخلهما في ﺕ. وبما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، نحصل على سالب ﻉ يساوي سالب أربعة ﺕ ناقص ثلاثة. سنضرب الكل في سالب واحد لنجد أن ﻉ يساوي ثلاثة زائد أربعة ﺕ.

من المنطقي دائمًا أن نتحقق من الإجابة بالتعويض في المعادلة الأصلية: ﺕ في ثلاثة زائد أربعة ﺕ يساوي ثلاثة ﺕ زائد أربعة ﺕ تربيع. وبما أن أربعة ﺕ تربيع يساوي أربعة في سالب واحد، نحصل على سالب أربعة. وهذا بالطبع يساوي سالب أربعة زائد ثلاثة ﺕ.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا ضرب عددين مركبين باستخدام الطرق القياسية؛ مثل: طريقة الشبكة أو طريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. عرفنا أن مربع العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ يساوي ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع زائد اثنين ﺃﺏﺕ. كذلك عرفنا كيف يمكن استخدام هذه الطرق في حالة القوى العليا لـ ﻉ، مع أن هذه ليست بالضرورة أكثر الطرق فعالية.