تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: ضرب الأعداد المركَّبة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نضرب عددين مركَّبين.

جبر الأعداد المركَّبة يشبه إلى حدٍّ كبير جبر ذوات الحدين. ومن ثَمَّ، فإن تطبيق معرفتنا بالتعامل مع ذوات الحدين سيفيدنا كثيرًا عند التعامل مع الأعداد المركَّبة. قبل أن نتناول ضرب الأعداد المركَّبة بوجه عام، سنتطرق إلى أبسط الحالات التي يكون فيها العدد المركَّب مضروبًا في عدد حقيقي، والعدد المركَّب مضروبًا في عدد تخيُّلي بحت.

افترض أن العدد المركَّب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕. إذا ضربنا طرفَي هذه المعادلة في عدد حقيقي 𞸢، فسنحصل على 𞸢𞸏=𞸢(󰏡+𞸁𞸕). وباستخدام خاصية التوزيع، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: 𞸢𞸏=𞸢󰏡+𞸢𞸁𞸕، مثلما توقَّعنا.

مثال ١: ضرب الأعداد المركَّبة في الأعداد الحقيقية

إذا كان 𞸓=٥+٢𞸕، 𞸐=٨٢𞸕، فأوجد ٢𞸓+٣𞸐.

الحل

بالتعويض بقيمتَي 𞸓، 𞸐 في المقدار، نحصل على: ٢𞸓+٣𞸐=٢(٥+٢𞸕)+٣(٨٢𞸕).

بفك الأقواس باستخدام خاصية التوزيع، نحصل على: ٢𞸓+٣𞸐=٠١+٤𞸕+(٤٢٦𞸕).

وأخيرًا، يمكننا تجميع الحدود المتشابهة لإيجاد: ٢𞸓+٣𞸐=٤٣٢𞸕.

بعد أن تناولنا أبسط حالة لضرب عدد مركَّب في أعداد حقيقية، يمكننا التفكير الآن في ضرب عدد مركَّب في عدد تخيُّلي بحت. بفرض أن 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، يمكننا ضرب كلا طرفَي المعادلة في عدد تخيُّلي بحت 𞸢𞸕 لنحصل على (𞸢𞸕)𞸏=𞸢𞸕(󰏡+𞸁𞸕). مرةً أخرى، يمكننا استخدام خاصية التوزيع لإعادة كتابة هذا على الصورة: (𞸢𞸕)𞸏=𞸢󰏡𞸕+𞸢𞸁𞸕.٢

وبما أن 𞸕=١٢، إذن يمكننا تبسيط هذا إلى: (𞸢𞸕)𞸏=𞸢𞸁+𞸢󰏡𞸕.

صيغتا ضرب الأعداد المركَّبة في الأعداد الحقيقية والتخيُّلية ليستا صيغتين علينا أن نتعلَّمهما. بدلًا من ذلك، علينا التركيز على معرفة الطرق الجبرية المطلوبة للتعامل مع الأعداد المركَّبة بوجه عام.

مثال ٢: ضرب الأعداد المركَّبة في الأعداد التخيُّلية

ما ناتج ٧𞸕(٥+٥𞸕)؟

الحل

بفك الأقواس باستخدام خاصية التوزيع، يمكننا كتابة: ٧𞸕(٥+٥𞸕)=٥٣𞸕٥٣𞸕.٢

وبما أن 𞸕=١٢، إذن يمكننا تبسيط هذا إلى: ٧𞸕(٥+٥𞸕)=٥٣+٥٣𞸕.

هيا نتناول الآن حاصل ضرب عددين مركَّبين على الصورة العامة 𞸏=󰏡+𞸁𞸕١ و𞸏=𞸢+𞸃𞸕٢: 𞸏𞸏=(󰏡+𞸁𞸕)(𞸢+𞸃𞸕).١٢

باستخدام أيِّ طريقة لضرب اثنتين من ذوات الحدين (الطريقة الأفقية بضرب حدَّي القوس الأول في حدَّي القوس الثاني أو طريقة الشبكة/نموذج المساحة أو طريقة الضرب المطوَّلة)، يمكننا التعبير عن هذا على الصورة: 𞸏𞸏=󰏡𞸢+󰏡𞸃𞸕+𞸁𞸢𞸕+𞸁𞸃𞸕.١٢٢

وباستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢، وتجميع الحدود المتشابهة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: 𞸏𞸏=󰏡𞸢𞸁𞸃+(󰏡𞸃+𞸁𞸢)𞸕.١٢

سنلخِّص هذا فيما يلي.

حاصل ضرب عددين مركَّبين

لكل عددين مركَّبين 𞸏=󰏡+𞸁𞸕١، 𞸏=𞸢+𞸃𞸕٢ نُعرِّف حاصل ضربهما كالآتي: 𞸏𞸏=󰏡𞸢𞸁𞸃+(󰏡𞸃+𞸁𞸢)𞸕.١٢

وعلى الرغم من أننا وضَّحنا صورة عامة، فإنه بدلًا من حفظها، من المهم أن نكون على دراية بطرق ضرب الأعداد المركَّبة.

مثال ٣: ضرب الأعداد المركَّبة

اضرب (٣+𞸕) في (٢+٥𞸕).

الحل

باستخدام طريقة ضرب حدَّي القوس الأول في حدَّي القوس الثاني، أو أي طريقة أخرى، يمكننا فك الأقواس كالآتي: (٣+𞸕)(٢+٥𞸕)=(٣)×٢+(٣)×٥𞸕+٢𞸕+٥𞸕=٦٥١𞸕+٢𞸕+٥𞸕.٢٢

وبما أن 𞸕=١٢، إذن يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة: (٣+𞸕)(٢+٥𞸕)=٦٥١𞸕+٢𞸕٥.

وأخيرًا، بتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على: (٣+𞸕)(٢+٥𞸕)=١١٣١𞸕.

مثال ٤: مربع العدد المركَّب

إذا كان 𞸓=٢+٤𞸕، 𞸐=٨𞸕، فأوجد (𞸓𞸐)٢.

الحل

في مثل هذا السؤال، لدينا الخيار: هل نفك القوس (𞸓𞸐)٢ ثم نعوِّض بقيمتَي 𞸓، 𞸐، أم نفعل ذلك بالعكس؟ إذا جرَّبنا الطريقة الأولى، فسنجد أن علينا حساب 𞸓٢، 𞸐٢، 𞸓𞸐. وهذا يقتضي الكثير من العمليات الحسابية. لكن إذا بدأنا بحساب 𞸓𞸐، فسنحتاج فقط إلى إيجاد مربع الناتج، وهذا الأمر أبسط كثيرًا. هذه هي الطريقة التي سنستخدمها هنا.

أولًا، نحسب 𞸓𞸐 كالآتي: 𞸓𞸐=٢+٤𞸕(٨𞸕)=٠١+٥𞸕.

لإيجاد مربع هذا العدد، يمكننا التعبير عنه على صورة حاصل ضرب، ونستخدم طريقة ضرب الأعداد المركَّبة. ومن ثَمَّ، فإن: (𞸓𞸐)=(٠١+٥𞸕)=(٠١+٥𞸕)(٠١+٥𞸕).٢٢

باستخدام طريقة ضرب حدَّي القوس الأول في حدَّي القوس الثاني، أو طريقة أخرى لفك الأقواس، سنحصل على: (𞸓𞸐)=(٠١)+(٠١)٥𞸕+(٠١)٥𞸕+(٥𞸕)=٠٠١٠٥𞸕٠٥𞸕+٥٢𞸕.٢٢٢٢

باستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢، يمكننا تجميع الحدود المتشابهة وإعادة كتابة هذا على صورة: (𞸓𞸐)=٥٧٠٠١𞸕.٢

هذا المثال يثير السؤال عن الصورة العامة لمربع العدد المركَّب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕. باستخدام الطرق التي وضَّحناها لضرب الأعداد المركَّبة، يمكننا استنتاج صيغة لذلك تكون كالآتي: 𞸏=(󰏡+𞸁𞸕)(󰏡+𞸁𞸕).٢

بفك الأقواس، نحصل على: 𞸏=󰏡+󰏡𞸁𞸕+󰏡𞸁𞸕+𞸁𞸕.٢٢٢٢

وبتجميع الحدود المتشابهة، يمكننا كتابة الصورة العامة على النحو الآتي.

مربع العدد المركَّب

لكل عدد مركَّب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، فإن: 𞸏=󰏡𞸁+٢󰏡𞸁𞸕.٢٢٢

رغم أنه مهم جدًّا معرفة الطرق اللازمة لاستنتاج معادلات مثل هذه، فقد يكون من المفيد أيضًا حفظ الصورة العامة لمربع العدد المركَّب في الذاكرة. في المثال التالي، سنرى كيف يمكن لتذكُّر الصيغة أن يبسِّط الحسابات.

مثال ٥: مربع العدد المركَّب

أوجد اءاد󰁓(٧٢𞸕)󰁒٢.

الحل

نبدأ بحساب مربع ٧٢𞸕 كالآتي: (٧٢𞸕)=(٧٢𞸕)(٧٢𞸕).٢

وبفك الأقواس، نحصل على: (٧٢𞸕)=٩٤+٧(٢𞸕)+٧(٢𞸕)+(٢)𞸕=٩٤٤١𞸕٤١𞸕+٤𞸕.٢٢٢٢

باستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢، وتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا: (٧٢𞸕)=٥٤٨٢𞸕.٢

وأخيرًا، نحصل على الجزء الحقيقي: اءاد󰁓(٧٢𞸕)󰁒=٥٤.٢

أو بدلًا من ذلك، يمكننا أن نوفِّر على أنفسنا بعض الحسابات باستخدام حقيقة أنه، لكل عدد مركَّب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، يكون 𞸏=󰏡𞸁+٢󰏡𞸁𞸕٢٢٢. وبأخذ الجزء الحقيقي، نحصل على: اءاد󰁓𞸏󰁒=󰏡𞸁.٢٢٢

ومن ثَمَّ: اءاد󰁓(٧٢𞸕)󰁒=٧(٢)=٩٤٤=٥٤.٢٢٢

مثال ٦: قوى الأعداد المركَّبة

إذا كان 𞸓=٢+𞸕، فاكتب 𞸓٣ في صورة 󰏡+𞸁𞸕.

الحل

نبدأ بحساب 𞸓٢: 𞸓=(٢+𞸕)=(٢+𞸕)(٢+𞸕).٢٢

بفك الأقواس، يصبح لدينا: 𞸓=٤+٢𞸕+٢𞸕+𞸕=٣+٤𞸕.٢٢

لحساب 𞸓٣، يمكننا الآن ضرب كلا طرفَي المعادلة في 𞸓 لنحصل على: 𞸓=(٣+٤𞸕)(٢+𞸕).٣ وبفك الأقواس، نحصل على: 𞸓=٦+٣𞸕+٨𞸕+٤𞸕=٢+١١𞸕.٣٢

من الواضح أن العمل بهذا الشكل لحساب القوى العليا والأعلى للأعداد المركَّبة قد يكون شاقًّا جدًّا. لكننا عندما نتعلَّم المزيد عن الأعداد المركَّبة، سنتعلَّم طرقًا بديلة تبسِّط العملية إلى حدٍّ كبير. نختم بإلقاء نظرة على مثال أخير يمكننا من خلاله تطبيق ما نعرفه عن الأعداد المركَّبة والضرب، لحل معادلة تتضمَّن أعدادًا مركَّبة.

مثال ٧: حل معادلات تتضمَّن أعدادًا مركَّبة

حل المعادلة 𞸕𞸏=٤+٣𞸕.

الحل

من الوهلة الأولى، قد نعتقد أن علينا قسمة كلا طرفَي المعادلة على 𞸕 لجعل 𞸏 في طرف بمفرده. لكن بتذكُّر أن 𞸕=١٢، يمكننا ببساطة ضرب المعادلة كلها في 𞸕، أو أفضل من ذلك ضربها في 𞸕.

ومن ثَمَّ، بضرب كلا طرفَي المعادلة في 𞸕، نحصل على: (𞸕)𞸕𞸏=(𞸕)(٤+٣𞸕).

بفك الأقواس والتبسيط، نتوصَّل إلى الحل: 𞸏=٣+٤𞸕.

من الأفضل دائمًا التحقُّق من إجابتنا. لفعل ذلك، يمكننا ضرب الحل في 𞸕، ونتحقَّق من استعادتنا للمعادلة الأصلية: 𞸕𞸏=𞸕(٣+٤𞸕).

بفك الأقواس والتبسيط، نجد أن: 𞸕𞸏=٣𞸕+٤𞸕=٤+٣𞸕٢ كما هو مطلوب.

النقاط الرئيسية

  • لضرب الأعداد المركَّبة، نستخدم الطرق نفسها التي نستخدمها لضرب ذوات الحدين.
  • لكل عدد مركَّب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، فإن: 𞸏=󰏡𞸁+٢󰏡𞸁𞸕.٢٢٢
  • رغم أنه من الناحية النظرية يمكننا باستخدام هذه الطرق حساب القوى الكبيرة المختلفة للأعداد المركَّبة، فإن ذلك يتطلَّب عددًا كبيرًا من الحسابات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.