في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نضرب عددين مركَّبين.
جبر الأعداد المركَّبة يشبه إلى حدٍّ كبير جبر ذوات الحدين. ومن ثَمَّ، فإن تطبيق معرفتنا بالتعامل مع ذوات الحدين سيفيدنا كثيرًا عند التعامل مع الأعداد المركَّبة. قبل أن نتناول ضرب الأعداد المركَّبة بوجه عام، سنتطرق إلى أبسط الحالات التي يكون فيها العدد المركَّب مضروبًا في عدد حقيقي، والعدد المركَّب مضروبًا في عدد تخيُّلي بحت.
افترض أن العدد المركَّب . إذا ضربنا طرفَي هذه المعادلة في عدد حقيقي ، فسنحصل على . وباستخدام خاصية التوزيع، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: مثلما توقَّعنا.
مثال ١: ضرب الأعداد المركَّبة في الأعداد الحقيقية
إذا كان ، ، فأوجد .
الحل
بالتعويض بقيمتَي ، في المقدار، نحصل على:
بفك الأقواس باستخدام خاصية التوزيع، نحصل على:
وأخيرًا، يمكننا تجميع الحدود المتشابهة لإيجاد:
بعد أن تناولنا أبسط حالة لضرب عدد مركَّب في أعداد حقيقية، يمكننا التفكير الآن في ضرب عدد مركَّب في عدد تخيُّلي بحت. بفرض أن ، يمكننا ضرب كلا طرفَي المعادلة في عدد تخيُّلي بحت لنحصل على . مرةً أخرى، يمكننا استخدام خاصية التوزيع لإعادة كتابة هذا على الصورة:
وبما أن ، إذن يمكننا تبسيط هذا إلى:
صيغتا ضرب الأعداد المركَّبة في الأعداد الحقيقية والتخيُّلية ليستا صيغتين علينا أن نتعلَّمهما. بدلًا من ذلك، علينا التركيز على معرفة الطرق الجبرية المطلوبة للتعامل مع الأعداد المركَّبة بوجه عام.
مثال ٢: ضرب الأعداد المركَّبة في الأعداد التخيُّلية
ما ناتج ؟
الحل
بفك الأقواس باستخدام خاصية التوزيع، يمكننا كتابة:
وبما أن ، إذن يمكننا تبسيط هذا إلى:
هيا نتناول الآن حاصل ضرب عددين مركَّبين على الصورة العامة و:
باستخدام أيِّ طريقة لضرب اثنتين من ذوات الحدين (الطريقة الأفقية بضرب حدَّي القوس الأول في حدَّي القوس الثاني أو طريقة الشبكة/نموذج المساحة أو طريقة الضرب المطوَّلة)، يمكننا التعبير عن هذا على الصورة:
وباستخدام حقيقة أن ، وتجميع الحدود المتشابهة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
سنلخِّص هذا فيما يلي.
حاصل ضرب عددين مركَّبين
لكل عددين مركَّبين ، نُعرِّف حاصل ضربهما كالآتي:
وعلى الرغم من أننا وضَّحنا صورة عامة، فإنه بدلًا من حفظها، من المهم أن نكون على دراية بطرق ضرب الأعداد المركَّبة.
مثال ٣: ضرب الأعداد المركَّبة
اضرب في .
الحل
باستخدام طريقة ضرب حدَّي القوس الأول في حدَّي القوس الثاني، أو أي طريقة أخرى، يمكننا فك الأقواس كالآتي:
وبما أن ، إذن يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة:
وأخيرًا، بتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على:
مثال ٤: مربع العدد المركَّب
إذا كان ، ، فأوجد .
الحل
في مثل هذا السؤال، لدينا الخيار: هل نفك القوس ثم نعوِّض بقيمتَي ، ، أم نفعل ذلك بالعكس؟ إذا جرَّبنا الطريقة الأولى، فسنجد أن علينا حساب ، ، . وهذا يقتضي الكثير من العمليات الحسابية. لكن إذا بدأنا بحساب ، فسنحتاج فقط إلى إيجاد مربع الناتج، وهذا الأمر أبسط كثيرًا. هذه هي الطريقة التي سنستخدمها هنا.
أولًا، نحسب كالآتي:
لإيجاد مربع هذا العدد، يمكننا التعبير عنه على صورة حاصل ضرب، ونستخدم طريقة ضرب الأعداد المركَّبة. ومن ثَمَّ، فإن:
باستخدام طريقة ضرب حدَّي القوس الأول في حدَّي القوس الثاني، أو طريقة أخرى لفك الأقواس، سنحصل على:
باستخدام حقيقة أن ، يمكننا تجميع الحدود المتشابهة وإعادة كتابة هذا على صورة:
هذا المثال يثير السؤال عن الصورة العامة لمربع العدد المركَّب . باستخدام الطرق التي وضَّحناها لضرب الأعداد المركَّبة، يمكننا استنتاج صيغة لذلك تكون كالآتي:
بفك الأقواس، نحصل على:
وبتجميع الحدود المتشابهة، يمكننا كتابة الصورة العامة على النحو الآتي.
مربع العدد المركَّب
لكل عدد مركَّب ، فإن:
رغم أنه مهم جدًّا معرفة الطرق اللازمة لاستنتاج معادلات مثل هذه، فقد يكون من المفيد أيضًا حفظ الصورة العامة لمربع العدد المركَّب في الذاكرة. في المثال التالي، سنرى كيف يمكن لتذكُّر الصيغة أن يبسِّط الحسابات.
مثال ٥: مربع العدد المركَّب
أوجد .
الحل
نبدأ بحساب مربع كالآتي:
وبفك الأقواس، نحصل على:
باستخدام حقيقة أن ، وتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا:
وأخيرًا، نحصل على الجزء الحقيقي:
أو بدلًا من ذلك، يمكننا أن نوفِّر على أنفسنا بعض الحسابات باستخدام حقيقة أنه، لكل عدد مركَّب ، يكون . وبأخذ الجزء الحقيقي، نحصل على:
ومن ثَمَّ:
مثال ٦: قوى الأعداد المركَّبة
إذا كان ، فاكتب في صورة .
الحل
نبدأ بحساب :
بفك الأقواس، يصبح لدينا:
لحساب ، يمكننا الآن ضرب كلا طرفَي المعادلة في لنحصل على: وبفك الأقواس، نحصل على:
من الواضح أن العمل بهذا الشكل لحساب القوى العليا والأعلى للأعداد المركَّبة قد يكون شاقًّا جدًّا. لكننا عندما نتعلَّم المزيد عن الأعداد المركَّبة، سنتعلَّم طرقًا بديلة تبسِّط العملية إلى حدٍّ كبير. نختم بإلقاء نظرة على مثال أخير يمكننا من خلاله تطبيق ما نعرفه عن الأعداد المركَّبة والضرب، لحل معادلة تتضمَّن أعدادًا مركَّبة.
مثال ٧: حل معادلات تتضمَّن أعدادًا مركَّبة
حل المعادلة .
الحل
من الوهلة الأولى، قد نعتقد أن علينا قسمة كلا طرفَي المعادلة على لجعل في طرف بمفرده. لكن بتذكُّر أن ، يمكننا ببساطة ضرب المعادلة كلها في ، أو أفضل من ذلك ضربها في .
ومن ثَمَّ، بضرب كلا طرفَي المعادلة في ، نحصل على:
بفك الأقواس والتبسيط، نتوصَّل إلى الحل:
من الأفضل دائمًا التحقُّق من إجابتنا. لفعل ذلك، يمكننا ضرب الحل في ، ونتحقَّق من استعادتنا للمعادلة الأصلية:
بفك الأقواس والتبسيط، نجد أن: كما هو مطلوب.
النقاط الرئيسية
- لضرب الأعداد المركَّبة، نستخدم الطرق نفسها التي نستخدمها لضرب ذوات الحدين.
- لكل عدد مركَّب ، فإن:
- رغم أنه من الناحية النظرية يمكننا باستخدام هذه الطرق حساب القوى الكبيرة المختلفة للأعداد المركَّبة، فإن ذلك يتطلَّب عددًا كبيرًا من الحسابات.
