شارح الدرس: Multiplication des nombres complexes | نجوى شارح الدرس: Multiplication des nombres complexes | نجوى

شارح الدرس: Multiplication des nombres complexes الرياضيات

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment multiplier deux nombres complexes.

L’algèbre des nombres complexes est très semblable à celle des binômes. Par conséquent, l’application des connaissances que nous avons sur les binômes nous aide grandement lorsque nous travaillons avec des nombres complexes. Avant d’étudier la multiplication de nombres complexes de manière générale, nous allons examiner les cas plus simples d’un nombre complexe multiplié par un nombre réel et d’un nombre complexe multiplié par un nombre imaginaire pur.

On considère un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖. Si on multiplie les deux membres de cette équation par un nombre réel 𝑐 on obtient 𝑐𝑧=𝑐(𝑎+𝑏𝑖). En utilisant la propriété de distributivité, on peut le réécrire comme 𝑐𝑧=𝑐𝑎+𝑐𝑏𝑖, comme attendu.

Exemple 1: Multiplier des nombres complexes par des nombres réels

Soient 𝑟=5+2𝑖 et 𝑠=82𝑖, déterminez 2𝑟+3𝑠.

Réponse

En substituant les valeurs de 𝑟 et 𝑠 dans l’expression, on obtient 2𝑟+3𝑠=2(5+2𝑖)+3(82𝑖).

En développant les parenthèses en utilisant la propriété de distributivité, on obtient 2𝑟+3𝑠=10+4𝑖+(246𝑖).

On peut enfin regrouper les termes semblables pour trouver 2𝑟+3𝑠=342𝑖.

Après avoir considéré le cas le plus simple de la multiplication d’un nombre complexe par un nombre réel, on peut maintenant envisager de multiplier un nombre complexe par un nombre imaginaire pur. En prenant 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, on peut multiplier les deux membres de l’équation par un nombre imaginaire pur 𝑐𝑖 pour obtenir (𝑐𝑖)𝑧=𝑐𝑖(𝑎+𝑏𝑖). Une fois encore, on peut utiliser la propriété de distributivité pour le réécrire comme (𝑐𝑖)𝑧=𝑐𝑎𝑖+𝑐𝑏𝑖.

Comme 𝑖=1, on peut le simplifier par (𝑐𝑖)𝑧=𝑐𝑏+𝑐𝑎𝑖.

Les formules pour multiplier des nombres complexes par des nombres réels et imaginaires purs ne sont pas des formules que vous devez apprendre par cœur. Nous devons plutôt nous concentrer sur la connaissance des techniques algébriques nécessaires pour travailler avec des nombres complexes en général.

Exemple 2: Multiplier des nombres complexes par des nombres imaginaires

Calculez 7𝑖(5+5𝑖).

Réponse

En développant les parenthèses en utilisant la propriété de distributivité, on peut écrire 7𝑖(5+5𝑖)=35𝑖35𝑖.

Comme 𝑖=1, on peut simplifier cela par 7𝑖(5+5𝑖)=35+35𝑖.

On considère maintenant le produit de deux nombres complexes 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et 𝑧=𝑐+𝑑𝑖:𝑧𝑧=(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐+𝑑𝑖).

En utilisant une technique pour multiplier deux binômes (double distributivité, tableau de calcul, ou poser la multiplication), on peut l’exprimer par 𝑧𝑧=𝑎𝑐+𝑎𝑑𝑖+𝑏𝑐𝑖+𝑏𝑑𝑖.

En utilisant le fait que 𝑖=1, et en regroupant les termes semblables, on peut le réécrire comme 𝑧𝑧=𝑎𝑐𝑏𝑑+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖.

Nous le résumons comme suit.

Produit de deux nombres complexes

Pour deux nombres complexes 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et 𝑧=𝑐+𝑑𝑖, on définit le produit 𝑧𝑧=𝑎𝑐𝑏𝑑+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖.

Bien que nous ayons énoncé une forme générale, il est plus important de se familiariser avec les techniques de multiplication des nombres complexes plutôt que de simplement la mémoriser.

Maintenant, considérons un exemple où nous démontrons la multiplication de deux nombres complexes.

Exemple 3: Multiplier des nombres complexes

Multipliez (3+𝑖) par (2+5𝑖).

Réponse

En utilisant la double distributivité, ou toute autre technique, on peut développer les parenthèses comme suit:(3+𝑖)(2+5𝑖)=(3)×2+(3)×5𝑖+2𝑖+5𝑖=615𝑖+2𝑖+5𝑖.

Comme 𝑖=1, on peut le réécrire comme (3+𝑖)(2+5𝑖)=615𝑖+2𝑖5.

Enfin, en regroupant les termes semblables, on a (3+𝑖)(2+5𝑖)=1113𝑖.

Dans l’exemple suivant, voyons comment calculer le carré de la différence de deux nombres complexes.

Exemple 4: Carrés de nombres complexes

Soient 𝑟=2+4𝑖 et 𝑠=8𝑖, calculez (𝑟𝑠).

Réponse

Pour une question comme celle-ci, on a le choix:doit-on multiplier (𝑟𝑠) puis substituer les valeurs de 𝑟 et 𝑠, ou faire le contraire?Si on essaie la première méthode, on voit que l’on doit calculer 𝑟 , 𝑠 et 𝑟𝑠. Cela représente beaucoup de calculs. Cependant, si on calcule d’abord 𝑟𝑠, on a seulement besoin de calculer le carré du résultat, ce qui est beaucoup plus efficace. C’est la technique que l’on utilise ici.

On calcule d’abord 𝑟𝑠 comme suit:𝑟𝑠=2+4𝑖(8𝑖)=10+5𝑖.

Pour déterminer le carré de ce nombre, on peut l’exprimer comme un produit et utiliser la technique de multiplication des nombres complexes. Par conséquent, (𝑟𝑠)=(10+5𝑖)=(10+5𝑖)(10+5𝑖).

En utilisant la double distributivité ou une autre technique pour développer les parenthèses, on a (𝑟𝑠)=(10)+(10)5𝑖+(10)5𝑖+(5𝑖)=10050𝑖50𝑖+25𝑖.

En utilisant le fait que 𝑖=1, on peut regrouper les termes semblables et le réécrire comme (𝑟𝑠)=75100𝑖.

Cet exemple soulève la question de la forme générale du carré d’un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖. En utilisant les techniques que l’on a développées pour multiplier des nombres complexes, on peut en déduire une formule comme suit:𝑧=(𝑎+𝑏𝑖)(𝑎+𝑏𝑖).

En développant les parenthèses, on obtient 𝑧=𝑎+𝑎𝑏𝑖+𝑎𝑏𝑖+𝑏𝑖.

En regroupant les termes semblables, nous pouvons énoncer la forme générale comme suit.

Carré d’un nombre complexe

Pour un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, 𝑧=𝑎𝑏+2𝑎𝑏𝑖.

Même s’il est très important de connaître les techniques nécessaires pour obtenir des équations comme celle-ci, il peut aussi être utile de mémoriser la forme générale du carré d’un nombre complexe. Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment la mémorisation de la formule peut simplifier les calculs.

Maintenant, considérons un exemple où nous devons calculer la partie réelle du carré d’un nombre complexe.

Exemple 5: Carrés de nombres complexes

Déterminez Re(72𝑖).

Réponse

On commence par calculer le carré de 72𝑖 comme suit:(72𝑖)=(72𝑖)(72𝑖).

En développant les parenthèses, on a (72𝑖)=49+7(2𝑖)+7(2𝑖)+(2)𝑖=4914𝑖14𝑖+4𝑖.

En utilisant le fait que 𝑖=1, et en regroupant les termes semblables, on a (72𝑖)=4528𝑖.

Enfin, en prenant la partie réelle, on obtient Re(72𝑖)=45.

Alternativement, on aurait pu s’épargner du calcul en utilisant le fait que pour un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 , 𝑧=𝑎𝑏+2𝑎𝑏𝑖. En prenant la partie réelle, on a Re𝑧=𝑎𝑏.

Par conséquent, Re(72𝑖)=7(2)=494=45.

Exemple 6: Puissances de nombres complexes

Soit 𝑟=2+𝑖, exprimez 𝑟 sous la forme 𝑎+𝑏𝑖.

Réponse

On commence par calculer 𝑟:𝑟=(2+𝑖)=(2+𝑖)(2+𝑖).

En développant les parenthèses, on a 𝑟=4+2𝑖+2𝑖+𝑖=3+4𝑖.

Pour calculer 𝑟, on peut maintenant multiplier les deux membres de l’équation par 𝑟 pour obtenir 𝑟=(3+4𝑖)(2+𝑖).;en développant les parenthèses, on obtient 𝑟=6+3𝑖+8𝑖+4𝑖=2+11𝑖.

De toute évidence, cette méthode pour calculer des puissances de plus en plus élevées de nombres complexes pourrait devenir assez fastidieuse. Cependant, en continuant notre apprentissage sur les nombres complexes, nous apprendrons des techniques alternatives qui simplifieront considérablement le processus. Nous terminons par étudier un dernier exemple où nous pouvons appliquer ce que nous savons sur les nombres complexes et la multiplication pour résoudre une équation impliquant des nombres complexes.

Exemple 7: Résoudre des équations impliquant des nombres complexes

Résolvez l’équation 𝑖𝑧=4+3𝑖.

Réponse

À première vue, on pourrait penser que l’on doit diviser les deux membres de l’équation par 𝑖 pour isoler 𝑧. Cependant, en se souvenant que 𝑖=1, on peut simplement multiplier l’équation par 𝑖 ou, mieux encore, par 𝑖.

Ainsi, en multipliant les deux membres de l’équation par 𝑖 on obtient (𝑖)𝑖𝑧=(𝑖)(4+3𝑖).

En développant les parenthèses, et en simplifiant, on arrive à la solution:𝑧=3+4𝑖.

C’est toujours une bonne pratique de vérifier sa réponse. Pour ce faire, on peut multiplier la solution par 𝑖 et vérifier que l’on retrouve l’équation d’origine:𝑖𝑧=𝑖(3+4𝑖).

En développant les parenthèses et en simplifiant, on trouve 𝑖𝑧=3𝑖+4𝑖=4+3𝑖 comme attendu

Points clés

  • Pour multiplier des nombres complexes, on utilise les mêmes techniques que pour multiplier des binômes.
  • Pour deux nombres complexes 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et 𝑧=𝑐+𝑑𝑖, nous définissons le produit comme 𝑧𝑧=𝑎𝑐𝑏𝑑+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖.
  • Pour un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 , 𝑧=𝑎𝑏+2𝑎𝑏𝑖.
  • Bien que l’on puisse théoriquement calculer des puissances arbitrairement grandes de nombres complexes en utilisant ces techniques, cela nécessite une grande quantité de calculs.

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية