نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعرف على كيفية إيجاد معادلة خط مستقيم في الفضاء. هذا يعني أننا نتناول إحداثيات في ثلاثة أبعاد لا في بعدين فقط. وسنرى كيف يمكننا كتابة هذه المعادلة على الصورة الكارتيزية، التي تسمى أحيانًا بالصورة العامة. كما سنرى كيف يمكننا كتابتها على الصورة المتجهة. لنبدأ بإلقاء نظرة على الصورة المتجهة.
يمكن وصف الصورة المتجهة لأي مستقيم هكذا: ﺭ يساوي ﺭ صفر زائد ﻙﻡ؛ حيث ﺭ وﺭ صفر وﻡ كلها متجهات. ﺭ متجه الموضع لأي نقطة عامة على المستقيم. وﺭ صفر متجه الموضع لنقطة معطاة على المستقيم. وﻡ متجه اتجاه المستقيم أو على طول المستقيم. وﻙ مضاعف قياسي. ويمكن استخدام الصورة المتجهة في بعدين وفي ثلاثة أبعاد. الفرق هو أن جميع المتجهات في ثلاثة أبعاد سيكون لها المركبات ﺱ وﺹ وﻉ. وعند وصف أي مستقيم على الصورة المتجهة، تذكر أننا نفكر في كيفية الانتقال من نقطة الأصل إلى نقطة محددة. ثم نتحرك على طول هذا المستقيم بمضاعفات قياسية للمتجه ﻡ.
سنتناول الآن سؤالًا نحتاج فيه إلى كتابة المعادلة المتجهة لمستقيم بمعلومية نقطة على ذلك المستقيم ومتجه اتجاه.
أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ثلاثة، سبعة، سالب سبعة؛ حيث المتجه صفر، سالب خمسة، سبعة هو متجه اتجاهه.
يجب أن نتذكر أنه عندما نحتاج إلى كتابة معادلة على الصورة المتجهة، فإنها تكون على الصورة: ﺭ يساوي ﺭ صفر زائد ﻙﻡ؛ حيث ﺭ متجه الموضع لنقطة عامة على المستقيم، وﺭ صفر متجه الموضع لنقطة معطاة على المستقيم، وﻡ متجه الاتجاه. وﻙ مضاعف قياسي. إذا نظرنا إلى المعلومات المعطاة في السؤال، يمكننا ملاحظة أن لدينا متجه اتجاه. ولدينا نقطة معلومة على المستقيم يمكن كتابتها على صورة متجه موضع. وبما أننا ننتقل من نقطة الأصل إلى النقطة ثلاثة، سبعة، سالب سبعة، يمكننا كتابة ذلك على صورة متجه الموضع ثلاثة، سبعة، سالب سبعة.
يمكننا بعد ذلك التعويض بهذين المتجهين في الصورة المتجهة. ﺭ يساوي متجه الموضع ثلاثة، سبعة، سالب سبعة زائد ﻙ في متجه الاتجاه صفر، سالب خمسة، سبعة. إذن، هذه هي الإجابة على الصورة المتجهة لمعادلة المستقيم.
في السؤال الآتي، سنرى كيف يمكننا حساب متجه اتجاه بمعلومية نقطتين.
أوجد متجه اتجاه الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺃ واحد، سالب اثنين، سبعة، وﺏ أربعة، سالب واحد، ثلاثة.
في هذا السؤال، لدينا متجها موضع لنقطتين في الفضاء: ﺃ وﺏ، ومطلوب منا إيجاد متجه الاتجاه. عندما نريد إيجاد متجه اتجاه ﺃﺏ؛ حيث ﺃ نقطة البداية، وﺏ نقطة النهاية، فإننا نطرح نقطة البداية من نقطة النهاية. ولإيجاد متجه الاتجاه، يمكننا طرح كل من المركبات ﺱ وﺹ وﻉ في ﺃ من المركبات الموجودة في ﺏ. في البداية، سيكون لدينا أربعة ناقص واحد، وهو ما يعطينا ثلاثة. ثم سيكون لدينا سالب واحد ناقص سالب اثنين، وهو ما يماثل سالب واحد زائد اثنين، وهو ما يساوي واحدًا. وأخيرًا، سيكون لدينا ثلاثة ناقص سبعة، وهو ما يساوي سالب أربعة. وبذلك نكون قد توصلنا إلى الإجابة؛ حيث متجه الاتجاه ﺟ يساوي ثلاثة، واحدًا، سالب أربعة.
لكن في هذا السؤال، لم نحتج بالضرورة إلى إيجاد متجه اتجاه ﺃﺏ. وكان بإمكاننا أيضًا إيجاد متجه اتجاه ﺏﺃ. في هذه الحالة، كنا سنحصل على معكوس المتجه ﺟ، وهو الذي يساوي سالب ثلاثة، سالب واحد، أربعة، وهو ما يعتبر أيضًا إجابة صحيحة.
في السؤال الآتي، سنتناول مثالًا أكثر تعقيدًا قليلًا، علينا فيه إيجاد المعادلة المتجهة لمتوسط في مثلث مرسوم في فضاء ثلاثي الأبعاد.
تشكل النقاط ﺃ سالب ثمانية، سالب تسعة، سالب اثنين؛ وﺏ صفر، سالب سبعة، ستة؛ وﺟ سالب ثمانية، سالب واحد، سالب أربعة، مثلثًا. أوجد، على الصورة المتجهة، معادلة المتوسط المرسوم من ﺟ.
في هذا السؤال، لدينا ثلاث نقاط ﺃ وﺏ وﺟ، معطاة في فضاء ثلاثي الأبعاد. ونعرف من السؤال أن هذه النقاط الثلاث تشكل مثلثًا. ونعرف من السؤال أنه يوجد متوسط مرسوم من النقطة ﺟ؛ ومن ثم من المفيد تذكر أن المتوسط قطعة مستقيمة تصل بين رأس ما ومنتصف الضلع المقابل. على سبيل المثال، إذا رسمنا هذا المثلث الثنائي الأبعاد ﺃﺏﺟ، فسيبدو المتوسط من ﺟ بهذا الشكل.
لعل أفضل طريقة للبدء في الإجابة عن هذا السؤال هي معرفة ما إذا كان بإمكاننا إيجاد النقطة التي تمثل منتصف ﺃﺏ. دعونا نرمز لها بالحرف ﻫ. تشبه صيغة إيجاد منتصف نقطتين في الفضاء إلى حد كبير الصيغة التي قد نستخدمها لإحداثيين في فضاء ثنائي الأبعاد. لإيجاد المنتصف ﻫ لـ ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين، لدينا ﻫ يساوي ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين، ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين، ﻉ واحد زائد ﻉ اثنين على اثنين. عندما نعوض بالقيم في هذه الصيغة، علينا التأكد من أننا نستخدم قيم ﺃ وﺏ؛ إذ علينا، في النهاية، إيجاد منتصف ﺃﺏ.
لاحظ أنه عند التعويض بالقيم الموجودة في المعطيات، لا تهم النقطة التي نستخدمها مع قيم ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، أو قيم ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين. إذن، لدينا المنتصف ﻫ يساوي سالب ثمانية زائد صفر على اثنين، وسالب تسعة زائد سالب سبعة على اثنين، وسالب اثنين زائد ستة على اثنين. وبتبسيط ذلك، يصبح لدينا ﻫ يساوي سالب أربعة، سالب ثمانية، اثنين. يمكننا الآن تفريغ بعض المساحة حتى نبدأ في التفكير في الصورة المتجهة لمعادلة هذا المتوسط. يمكن كتابة الصورة المتجهة لأي معادلة على صورة: ﺭ يساوي ﺭ صفر زائد ﻙﻡ؛ حيث ﺭ متجه الموضع لنقطة عامة على المستقيم، وﺭ صفر متجه الموضع لنقطة معطاة على المستقيم، وﻡ متجه الاتجاه. وﻙ مضاعف قياسي.
لنفكر فيما سيحدث إذا مثلنا هذه النقاط الثلاث في فضاء ثلاثي الأبعاد. لدينا المثلث ﺃﺏﺟ والمتوسط، الذي ستمثله القطعة المستقيمة ﺟﻫ. عندما يتعلق الأمر بكتابة المتوسط على الصورة المتجهة، فإن متجه الموضع سيكون النقطة ﺟ. لكننا ما زلنا بحاجة إلى إيجاد متجه اتجاه ﺟﻫ. ولإيجاد المتجه ﺟﻫ، نطرح نقطة البداية ﺟ من نقطة النهاية ﻫ. إذن، لدينا سالب أربعة ناقص سالب ثمانية، وسالب ثمانية ناقص سالب واحد، واثنان ناقص سالب أربعة. وبتبسيط ذلك، يصبح لدينا المتجه ﺟﻫ يساوي أربعة، سالب سبعة، ستة.
الآن لدينا كل المعطيات التي نحتاجها للتعويض بها في الصورة المتجهة للمستقيم. ﺭ صفر سيكون متجه الموضع الذي يمثل النقطة ﺟ. وسيمثل المتجه ﻡ بالمتجه ﺟﻫ. إذن، الإجابة المطلوبة لمعادلة المتوسط المرسوم من ﺟ هي: ﺭ يساوي سالب ثمانية، سالب واحد، سالب أربعة زائد ﻙ أربعة، سالب سبعة، ستة.
تناولنا حتى الآن في هذا الفيديو معادلات الخطوط المستقيمة على الصورة المتجهة. والآن، سنفكر في كيفية تغيير معادلة مستقيم معطاة على الصورة المتجهة إلى معادلة معطاة على الصورة الكارتيزية. قد يختلط عليك الأمر بسبب مصطلح الصورة الكارتيزية، لكن يمكن كتابة أي مستقيم ذي بعدين على الصورة الكارتيزية على صورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ الميل أو التدرج، وﺏ الجزء المقطوع من المحور ﺹ. لكن الأمر يختلف بالطبع في الفضاء الثلاثي الأبعاد؛ حيث نحتاج إلى معادلة تصف المتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ.
إذن، لإيجاد معادلة مستقيم على الصورة الكارتيزية، يمكننا القول إنه إذا كان لدينا معادلة مستقيم متجه اتجاهه ﻡ يساوي ﻝ، ﻡ، ﻥ الذي يمر بالنقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، فإنها تعطى بالمعادلة: ﺱ ناقص ﺱ واحد على ﻝ يساوي ﺹ ناقص ﺹ واحد على ﻡ يساوي ﻉ ناقص ﻉ واحد على ﻥ؛ حيث ﻝ وﻡ وﻥ أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا. وعليه، نرى كيف أن هذا المعطى لمعادلة بمعلومية نقطة واتجاه، أي على الصورة المتجهة، يمكن تغييره إلى معادلة على الصورة الكارتيزية. سنتناول الآن سؤالين يمكننا من خلالهما تطبيق هذه الصيغة.
أوجد المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم الذي صورته المتجهة ﺭ يساوي سالب ثلاثة، سالب اثنين، سالب اثنين زائد ﻙ أربعة، اثنين، أربعة.
في هذا السؤال، لدينا هذه المعادلة على الصورة المتجهة. سالب ثلاثة، سالب اثنين، سالب اثنين هو متجه الموضع لنقطة معطاة، وأربعة، اثنان، أربعة هو متجه الاتجاه. لتغيير المعادلة التي على الصورة المتجهة إلى معادلة على الصورة الكارتيزية، توجد صيغة يمكننا استخدامها. معادلة أي مستقيم متجه اتجاهه ﻡ يساوي ﻝ، ﻡ، ﻥ، ويمر بالنقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، تعطى بالمعادلة: ﺱ ناقص ﺱ واحد على ﻝ يساوي ﺹ ناقص ﺹ واحد على ﻡ يساوي ﻉ ناقص ﻉ واحد على ﻥ؛ حيث ﻝ وﻡ وﻥ أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا.
علينا الآن أخذ متجه الاتجاه أربعة، اثنين، أربعة؛ لكي نحصل على القيم ﻝ وﻡ وﻥ، على الترتيب. يمكننا أن نفعل الشيء نفسه، ونحدد الإحداثي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد بالقيم سالب ثلاثة، سالب اثنين، سالب اثنين. وبالتعويض بهذه القيم في الصيغة، يصبح لدينا ﺱ ناقص سالب ثلاثة على أربعة يساوي ﺹ ناقص سالب اثنين على اثنين يساوي ﻉ ناقص سالب اثنين على أربعة. بتبسيط البسوط، يصبح لدينا ﺱ زائد ثلاثة على أربعة يساوي ﺹ زائد اثنين على اثنين يساوي ﻉ زائد اثنين على أربعة. وهذه هي إجابة المعادلة الكارتيزية للمستقيم المعطى.
لنلق نظرة على سؤال أخير.
أوجد الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين سالب سبعة، سالب ثلاثة، سالب سبعة، وسالب ثلاثة، سالب ١٠، سالب أربعة.
في هذا السؤال، على الرغم من أن المطلوب هو الصورة الكارتيزية للمعادلة، فقد يكون من المفيد تصور كيف سيبدو هذا المستقيم على الصورة المتجهة. إذا افترضنا أن هاتين النقطتين هما ﺃ وﺏ وأردنا إيجاد متجه اتجاه ﺃﺏ، فسنطرح جميع نقاط نقطة البداية ﺃ من جميع نقاط ﺏ. إذن، لدينا ﺃﺏ يساوي سالب ثلاثة ناقص سالب سبعة، وهو ما يساوي سالب ثلاثة زائد سبعة، وهو ما يعطينا أربعة. وسالب ١٠ ناقص سالب ثلاثة يساوي سالب ١٠ زائد ثلاثة، وهو ما يعطينا سالب سبعة. ثم لدينا سالب أربعة ناقص سالب سبعة، وهو ما يعطينا ثلاثة.
والآن، بعد أن أصبح لدينا متجه اتجاه ونقطة على مستقيم، يمكننا إيجاد الصورة الكارتيزية لمعادلة المستقيم الذي يصل بين هاتين النقطتين. علينا أن نتذكر أن معادلة أي مستقيم متجه اتجاهه ﻡ يساوي ﻝ، ﻡ، ﻥ ويمر بالنقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، تعطى بالمعادلة: ﺱ ناقص ﺱ واحد على ﻝ يساوي ﺹ ناقص ﺹ واحد على ﻡ يساوي ﻉ ناقص ﻉ واحد على ﻥ. لاحظ أن ﻝ وﻡ وﻥ أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا.
يمكننا الآن استخدام متجه اتجاه ﺃﺏ للتعويض عن قيم ﻝ وﻡ وﻥ، والنقطة سالب سبعة، سالب ثلاثة، سالب سبعة للتعويض عن قيم ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد. بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، يصبح لدينا ﺱ ناقص سالب سبعة على أربعة يساوي ﺹ ناقص سالب ثلاثة على سالب سبعة يساوي ﻉ ناقص سالب سبعة على ثلاثة. وبتبسيط البسوط نحصل على الإجابة على الصورة الكارتيزية؛ وهي ﺱ زائد سبعة على أربعة يساوي ﺹ زائد ثلاثة على سالب سبعة يساوي ﻉ زائد سبعة على ثلاثة.
يمكننا الآن تلخيص النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا: رأينا أن معادلة مستقيم معطى على الصورة المتجهة هي: ﺭ يساوي ﺭ صفر زائد ﻙﻡ. ﺭ هو متجه الموضع لنقطة عامة على المستقيم، وﺭ صفر هو متجه الموضع لنقطة معطاة على المستقيم، وﻡ هو متجه الاتجاه. وﻙ مضاعف قياسي. لإيجاد متجه اتجاه ﺃﺏ، نطرح نقطة البداية ﺃ من نقطة النهاية ﺏ.
وأخيرًا، عرفنا أن معادلة أي مستقيم متجه اتجاهه ﻡ يساوي ﻝ، ﻡ، ﻥ ويمر بالنقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، تعطى بالمعادلة: ﺱ ناقص ﺱ واحد على ﻝ يساوي ﺹ ناقص ﺹ واحد على ﻡ يساوي ﻉ ناقص ﻉ واحد على ﻥ؛ حيث ﻝ وﻡ وﻥ أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا. هذه الصيغة الأخيرة مفيدة جدًا لتغيير معادلة مستقيم معطاة على الصورة المتجهة إلى معادلة معطاة على الصورة الكارتيزية.
