شارح الدرس: معادلة الخط المستقيم في الفضاء: الصورة الكارتيزية والصورة المتجهة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه اتجاهه

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ؛ حيث المتجه هو متجه اتجاهه.

الحل

نتذكَّر أنه يمكن كتابة الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم كالآتي: حيث متجه موضع أي نقطة عامة على الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه ، ويحتوي على النقطة عند متجه الموضع . وتُمثِّل القيمة مضاعفًا قياسيًّا.

لدينا متجه اتجاه، .

وبما أن النقطة تقع على الخط المستقيم، إذن يمكننا اعتبار متجه موضع هذه النقطة، .

ومن ثَمَّ، بالتعويض بمتجه الموضع ، ومتجه الاتجاه المُعطى في معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة، نحصل على الإجابة:

مثال ٢: إيجاد متجه اتجاه خط مستقيم بمعلومية نقطتين

أوجد متجه اتجاه الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، .

الحل

متجه اتجاه الخط المستقيم هو متجه لا يساوي صفرًا، ويكون موازيًا للخط المستقيم. ولإيجاد متجه الاتجاه، ، للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، ، نلاحظ أن هذا الخط المستقيم لا بد أن يكون في نفس اتجاه المتجه الواصل من إلى . ويمكننا إيجاد هذا المتجه بطرح كلٍّ من مركبات ، ، للمتجه من مركبات المتجه .

وبذلك نحصل على:

يمكننا الإجابة بأن متجه اتجاه الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، هو:

إليك ملاحظة جانبية: لم نُجِب بأن متجه الاتجاه هو المتجه تحديدًا؛ ومن ثَمَّ، فالمتجه يمكن أن يكون متجه اتجاه صحيحًا أيضًا. وفي الواقع، إن أي مضاعف لا يساوي صفرًا لأيٍّ من متجهَي الاتجاه هذين يكون صحيحًا.

مثال ٣: إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة أحد المتوسطات في مثلث

تشكِّل النقاط ، ، مثلثًا. أوجد، على الصورة المتجهة، معادلة المتوسِّط المرسوم من .

الحل

متوسط المثلث هو قطعة مستقيمة تصل بين أحد رءوس المثلث ونقطة المنتصف للضلع المقابل لهذا الرأس. يمكننا استعراض تمثيل ثنائي الأبعاد لنقطة المنتصف، ، على الضلع المقابل للرأس ، والتي ينتُج عن توصيلها بالرأس المتوسط .

نتذكَّر أنه يمكن كتابة الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم كالآتي: حيث متجه موضع أي نقطة عامة على الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه ، ويحتوي على النقطة عند متجه الموضع . وتُمثِّل القيمة مضاعفًا قياسيًّا.

لإيجاد الصورة المتجهة لمعادلة المتوسط، يمكننا البدء بإيجاد نقطة المنتصف، ، للقطعة المستقيمة .

تُعطى نقطة المنتصف، ، للنقطتين ، ، كالآتي:

إذن، للنقطتين ، يكون لدينا:

وبحساب ذلك، نحصل على:

سيكون المتجه هو متجه اتجاه المتوسط. ولإيجاد ، نطرح مركبات ، ، للمتجه ؛ أي ، من مركبات المتجه ؛ أي ، وهو ما يُعطينا:

يمكننا الآن تطبيق الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم: حيث مضاعف قياسي، كالآتي:

بالتعويض بالمتجهين ، ، نحصل على الصورة المتجهة للمتوسط المرسوم من ، كالآتي:

يمكن إيجاد حل آخر باستخدام متجه الاتجاه للمتوسط. وفي هذه الحالة، قد نستخدم متجه الموضع في الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم، لتكون المعادلة كالآتي: حيث مضاعف قياسي.

بالتعويض بالمتجهين ، ، نحصل على:

مثال ٤: إيجاد المعادلة الكارتيزية لخط مستقيم بمعلومية صورته المتجهة

أوجد المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم الذي صورته المتجهة .

الحل

نظرًا لأن لدينا معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة، يمكننا ملاحظة أن لدينا متجه موضع النقطة . ولدينا أيضًا متجه الاتجاه .

يمكننا استخدام حقيقة أن معادلة الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه ؛ حيث ، ، أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا، ويمر بالنقطة ، تُعطى كالآتي:

بعد ذلك، نعوِّض بالقيم ، في هذه المعادلة.

هذا يُعطينا:

وبتبسيط القيم في البسط، تكون المعادلة الكارتيزية لهذا الخط المستقيم هي:

مثال ٥: إيجاد المعادلة الكارتيزية لخط مستقيم بمعلومية نقطتين

أوجد الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، .

الحل

تتمثَّل إحدى الطرق التي يمكننا استخدامها لإيجاد المعادلة الكارتيزية لخط مستقيم مرسوم في الفضاء في التفكير فيه بطريقة مشابهة للصورة المتجهة؛ أيْ خط مستقيم تصِفه نقطة عليه ومتجه اتجاه.

إذا كانت لدينا النقطتان ، ، فيمكننا إيجاد متجه الاتجاه بطرح مركبات ، ، لمتجه موضع ، من مركبات متجه موضع .

وهو ما يُعطينا:

يمكننا استخدام حقيقة أن معادلة الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه ؛ حيث ، ، أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا، ويمر بالنقطة ، تُعطى بواسطة:

يمكننا التعويض بإحداثيات النقطة ومركبات متجه الاتجاه في هذه المعادلة. هذا يُعطينا:

وبتبسيط القيم في البسط، تكون المعادلة الكارتيزية لهذا الخط المستقيم هي: