تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: معادلة الخط المستقيم في الفضاء: الصورة الكارتيزية والصورة المتجهة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد الصورة الكارتيزية والصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم في الفضاء.

عندما نتناول المعادلات في الفضاء، تكون لدينا إحداثيات في ثلاثة أبعاد على الصورة (𞸎،𞸑،𞸏)، بدلًا من بُعدَيْن على الصورة (𞸎،𞸑).

في الصورة المتجهة، نعتبر أن الخط المستقيم مُعرَّف بأي نقطة على الخط المستقيم واتجاه. ولإيجاد معادلة تُمثِّل خطًّا مستقيمًا، 𞸋، في ثلاثة أبعاد، نختار نقطة، 𞸍٠، على الخط المستقيم، ومتجهًا لا يساوي صفرًا، 󰄮𞸌، يوازي الخط المستقيم؛ حيث 󰄮𞸓٠ متجه الموضع للنقطة 𞸍٠.

بما أن 󰄮𞸌 موازٍ للخط المستقيم 𞸋، إذن إضافة أي مضاعف ثابت للمتجه 󰄮𞸌 إلى 󰄮𞸓٠ يَنتُج عنها متجهَ موضع لنقطة على الخط المستقيم. ومن ثَمَّ، يمكن إيجاد متجه الموضع 󰄮𞸓 على الخط المستقيم عن طريق الانتقال إلى النقطة 𞸍󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠٠ على الخط المستقيم على طول المتجه 󰄮𞸓٠، ثم اتباع مسار المضاعف الثابت للمتجه 󰄮𞸌.

يمكننا بعد ذلك تعريف الصورة المتجهة للخط المستقيم كالآتي.

تعريف: الصورة المتجهة للخط المستقيم

متجه الموضع، 󰄮𞸓، لأي نقطة عامة على الخط المستقيم الذي يحتوي على النقطة 𞸍󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠٠ عند متجه الموضع 󰄮𞸓٠ يُعطى بواسطة: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸌،٠ حيث 󰄮𞸌 متجه اتجاه الخط المستقيم أو امتداده، 𞸊 أي مضاعف قياسي.

سنتناول الآن مثالًا يوضِّح كيفية كتابة الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة على الخط المستقيم ومتجه اتجاه.

مثال ١: إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه اتجاهه

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (٣،٧،٧)؛ حيث المتجه (٠،٥،٧) هو متجه اتجاهه.

الحل

نتذكَّر أنه يمكن كتابة الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم كالآتي: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸌،٠ حيث 󰄮𞸓 متجه موضع أي نقطة عامة على الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه 󰄮𞸌، ويحتوي على النقطة عند متجه الموضع 󰄮𞸓٠. وتُمثِّل القيمة 𞸊 مضاعفًا قياسيًّا.

لدينا متجه اتجاه، (٠،٥،٧).

وبما أن النقطة (٣،٧،٧) تقع على الخط المستقيم، إذن يمكننا اعتبار 󰄮𞸓٠ متجه موضع هذه النقطة، (٣،٧،٧).

ومن ثَمَّ، بالتعويض بمتجه الموضع 󰄮𞸓=(٣،٧،٧)٠، ومتجه الاتجاه المُعطى 󰄮𞸌=(٠،٥،٧) في معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة، نحصل على الإجابة: 󰄮𞸓=(٣،٧،٧)+𞸊(٠،٥،٧).

يمكننا إيجاد متجه الاتجاه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 للخط المستقيم المار بالنقطتين 󰏡، 𞸁 بطرح متجه موضع نقطة البداية، 󰏡، من متجه موضع نقطة النهاية، 𞸁. وللقيام بذلك، نطرح مركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 لمتجه موضع 󰏡 من مركبات متجه موضع 𞸁. لنتناول مثالًا على كيفية فعل ذلك.

مثال ٢: إيجاد متجه اتجاه خط مستقيم بمعلومية نقطتين

أوجد متجه اتجاه الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين 󰏡(١،٢،٧)، 𞸁(٤،١،٣).

الحل

متجه اتجاه الخط المستقيم هو متجه لا يساوي صفرًا، ويكون موازيًا للخط المستقيم. ولإيجاد متجه الاتجاه، 󰄮𞸌، للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين 󰏡، 𞸁، نلاحظ أن هذا الخط المستقيم لا بد أن يكون في نفس اتجاه المتجه الواصل من 󰏡 إلى 𞸁. ويمكننا إيجاد هذا المتجه بطرح كلٍّ من مركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 للمتجه 󰄮󰄮𞸅󰏡 من مركبات المتجه 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁.

وبذلك نحصل على: 󰄮𞸌=(٤١،١(٢)،٣٧)=(٣،١،٤).

يمكننا الإجابة بأن متجه اتجاه الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين 󰏡(١،٢،٧)، 𞸁(٤،١،٣) هو: (٣،١،٤).

إليك ملاحظة جانبية: لم نُجِب بأن متجه الاتجاه هو المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 تحديدًا؛ ومن ثَمَّ، فالمتجه 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=(٣،١،٤) يمكن أن يكون متجه اتجاه صحيحًا أيضًا. وفي الواقع، إن أي مضاعف لا يساوي صفرًا لأيٍّ من متجهَي الاتجاه هذين يكون صحيحًا.

عادةً ما نحتاج إلى إيجاد نقطة المنتصف لخط مستقيم يصل بين نقطتين في الفضاء. ويمكننا القيام بذلك في ثلاثة أبعاد بالطريقة نفسها التي نستخدمها مع الخط المستقيم في بُعدَيْن. فإيجاد المتوسط لكل إحداثي من إحداثيات 𞸎، 𞸑، 𞸏 لنقطتَي النهاية يسمح لنا بتحديد إحداثيات نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة في ثلاثة أبعاد.

تذكير: نقطة المنتصف بين نقطتين في ثلاثة أبعاد

نقطة المنتصف، 𞸕، لأي نقطتين 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١، 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٢٢٢، تُعطى كالآتي: 𞸕=󰃁𞸎+𞸎٢،𞸑+𞸑٢،𞸏+𞸏٢󰃀.١٢١٢١٢

سنتناول في السؤال الآتي كيف يمكن استخدام هذه الصيغة لإيجاد متوسط مثلث مرسوم في الفضاء.

مثال ٣: إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة أحد المتوسطات في مثلث

تشكِّل النقاط 󰏡(٨،٩،٢)، 𞸁(٠،٧،٦)، 𞸢(٨،١،٤) مثلثًا. أوجد، على الصورة المتجهة، معادلة المتوسِّط المرسوم من 𞸢.

الحل

متوسط المثلث هو قطعة مستقيمة تصل بين أحد رءوس المثلث ونقطة المنتصف للضلع المقابل لهذا الرأس. يمكننا استعراض تمثيل ثنائي الأبعاد لنقطة المنتصف، 𞸕، على الضلع المقابل للرأس 𞸢، والتي ينتُج عن توصيلها بالرأس 𞸢 المتوسط 𞸢𞸕.

نتذكَّر أنه يمكن كتابة الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم كالآتي: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸌،٠ حيث 󰄮𞸓 متجه موضع أي نقطة عامة على الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه 󰄮𞸌، ويحتوي على النقطة عند متجه الموضع 󰄮𞸓٠. وتُمثِّل القيمة 𞸊 مضاعفًا قياسيًّا.

لإيجاد الصورة المتجهة لمعادلة المتوسط، يمكننا البدء بإيجاد نقطة المنتصف، 𞸕، للقطعة المستقيمة 󰏡𞸁.

تُعطى نقطة المنتصف، 𞸕، للنقطتين 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١، 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٢٢٢، كالآتي: 𞸕=󰃁𞸎+𞸎٢،𞸑+𞸑٢،𞸏+𞸏٢󰃀.١٢١٢١٢

إذن، للنقطتين 󰏡(٨،٩،٢)، 𞸁(٠،٧،٦) يكون لدينا: 𞸕=󰃁٨+٠٢،٩+(٧)٢،٢+٦٢󰃀.

وبحساب ذلك، نحصل على: 𞸕=(٤،٨،٢).

سيكون المتجه 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸕 هو متجه اتجاه المتوسط. ولإيجاد 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸕، نطرح مركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 للمتجه 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸢؛ أي (٨،١،٤)، من مركبات المتجه 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸕؛ أي (٤،٨،٢)، وهو ما يُعطينا: 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸕=(٤(٨)،٨(١)،٢(٤))=(٤،٧،٦).

يمكننا الآن تطبيق الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸌،٠ حيث 𞸊 مضاعف قياسي، كالآتي: 󰄮𞸓=󰄮󰄮󰄮𞸅𞸢+𞸊󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸕.

بالتعويض بالمتجهين 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸢=(٨،١،٤)، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸕=(٤،٧،٦)، نحصل على الصورة المتجهة للمتوسط المرسوم من 𞸢، كالآتي: 󰄮𞸓=(٨،١،٤)+𞸊(٤،٧،٦).

يمكن إيجاد حل آخر باستخدام متجه الاتجاه 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸕𞸢 للمتوسط. وفي هذه الحالة، قد نستخدم متجه الموضع 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸕 في الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم، لتكون المعادلة كالآتي: 󰄮𞸓=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸕+𞸊󰄮󰄮󰄮󰄮𞸕𞸢، حيث 𞸊 مضاعف قياسي.

بالتعويض بالمتجهين 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸕=(٤،٨،٢)، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸕𞸢=(٤،٧،٦)، نحصل على: 󰄮𞸓=(٤،٨،٢)+𞸊(٤،٧،٦).

ثمة عدة طرق لكتابة معادلة الخط المستقيم. لدينا الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸌،٠ حيث 󰄮𞸓 متجه موضع أي نقطة عامة على الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه 󰄮𞸌، ويحتوي على النقطة عند متجه الموضع 󰄮𞸓٠. وتُمثِّل القيمة 𞸊 مضاعفًا قياسيًّا.

يمكننا أيضًا تمثيل المتجه 󰄮𞸓٠ على الصورة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠، ومتجه الاتجاه 󰄮𞸌 على الصورة (󰏡،𞸁،𞸢). ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة الصورة المتجهة بطريقة أخرى، كالآتي: 󰄮𞸓=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒+𞸊(󰏡،𞸁،𞸢).٠٠٠

بتمثيل 󰄮𞸓 على الصورة (𞸎،𞸑،𞸏)، وتبسيط المركبات في الطرف الأيسر، يمكننا كتابة هذه المعادلة كالآتي: (𞸎،𞸑،𞸏)=󰁓𞸎+󰏡𞸊،𞸑+𞸁𞸊،𞸏+𞸢𞸊󰁒.٠٠٠

عندما يتساوى متجهان، تكون مركباتهما متساوية. وهذا يعني أن لدينا: 𞸎=𞸎+󰏡𞸊𞸑=𞸑+𞸁𞸊𞸏=𞸏+𞸢𞸊.٠٠٠

تُعطينا مجموعة المعادلات هذه المعادلات البارامترية للخط المستقيم. ولإيجاد نقطة على الخط المستقيم بهذه الصورة، يمكننا اختيار أي قيمة للثابت 𞸊، والتعويض بها في كل معادلة من المعادلات.

يمكننا أيضًا إعادة ترتيب مجموعة المعادلات هذه لإيجاد قيمة 𞸊 في كل حالة، بافتراض أن 󰏡، 𞸁، 𞸢 لا يساوي أيٌّ منها صفرًا: 𞸊=𞸎𞸎󰏡،𞸊=𞸑𞸑𞸁،𞸊=𞸏𞸏𞸢.٠٠٠

بما أن قيمة 𞸊 هي نفسها في كل معادلة، إذن يمكننا جعل هذه المقادير في الطرف الأيسر بعضها مساويًا لبعض: 𞸎𞸎󰏡=𞸑𞸑𞸁=𞸏𞸏𞸢.٠٠٠

هذه هي الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم.

تعريف: الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم

معادلة الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه 󰄮𞸌=(󰏡،𞸁،𞸢)؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا، ويمر بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠، تُعطى كالآتي: 𞸎𞸎󰏡=𞸑𞸑𞸁=𞸏𞸏𞸢.٠٠٠

لا يزال بإمكاننا استخدام الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم إذا كان متغيِّر أو اثنان من المتغيِّرات، 󰏡، 𞸁، 𞸢، يساويان صفرًا. على سبيل المثال، افترض أن 󰏡=٠، وأن 𞸁، 𞸢 لا يساويان صفرًا. في هذه الحالة، لن يوجَد 𞸊 في المعادلة البارامترية لـ 𞸎؛ ومن ثَمَّ يمكننا فقط إيجاد المعادلات البارامترية لـ 𞸑، 𞸏. نساوي هاتين المعادلتين، ونكتب المعادلة البارامترية لـ 𞸎، وبناءً على ذلك، يصبح لدينا معادلتان: 𞸎=𞸎،𞸑𞸑𞸁=𞸏𞸏𞸢.٠٠٠

سنتناول الآن مثالًا يوضِّح كيف يمكن التحويل من الصورة المتجهة للخط للمستقيم إلى الصورة الكارتيزية.

مثال ٤: إيجاد المعادلة الكارتيزية لخط مستقيم بمعلومية صورته المتجهة

أوجد المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم الذي صورته المتجهة 󰄮𞸓=(٣،٢،٢)+𞸊(٤،٢،٤).

الحل

نظرًا لأن لدينا معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة، يمكننا ملاحظة أن لدينا متجه موضع النقطة (٣،٢،٢). ولدينا أيضًا متجه الاتجاه (٤،٢،٤).

يمكننا استخدام حقيقة أن معادلة الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه 󰄮𞸌=(󰏡،𞸁،𞸢)؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا، ويمر بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠، تُعطى كالآتي: 𞸎𞸎󰏡=𞸑𞸑𞸁=𞸏𞸏𞸢.٠٠٠

بعد ذلك، نعوِّض بالقيم 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒=(٣،٢،٢)٠٠٠، (󰏡،𞸁،𞸢)=(٤،٢،٤) في هذه المعادلة.

هذا يُعطينا: 𞸎𞸎󰏡=𞸑𞸑𞸁=𞸏𞸏𞸢𞸎(٣)٤=𞸑(٢)٢=𞸏(٢)٤.٠٠٠

وبتبسيط القيم في البسط، تكون المعادلة الكارتيزية لهذا الخط المستقيم هي: 𞸎+٣٤=𞸑+٢٢=𞸏+٢٤.

في المثال الأخير، سنتناول كيف نُوجِد الصورة الكارتيزية لمعادلة خط مستقيم بمعلومية نقطتين عليه.

مثال ٥: إيجاد المعادلة الكارتيزية لخط مستقيم بمعلومية نقطتين

أوجد الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (٧،٣،٧)، (٣،٠١،٤).

الحل

تتمثَّل إحدى الطرق التي يمكننا استخدامها لإيجاد المعادلة الكارتيزية لخط مستقيم مرسوم في الفضاء في التفكير فيه بطريقة مشابهة للصورة المتجهة؛ أيْ خط مستقيم تصِفه نقطة عليه ومتجه اتجاه.

إذا كانت لدينا النقطتان 󰏡(٧،٣،٧)، 𞸁(٣،٠١،٤)، فيمكننا إيجاد متجه الاتجاه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 بطرح مركبات 𞸎، 𞸑، 𞸏 لمتجه موضع 󰏡، من مركبات متجه موضع 󰄮󰄮𞸁.

وهو ما يُعطينا: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=(٣،٠١،٤)(٧،٣،٧)=(٣(٧)،٠١(٣)،٤(٧))=(٤،٧،٣).

يمكننا استخدام حقيقة أن معادلة الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه 󰄮𞸌=(󰏡،𞸁،𞸢)؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا، ويمر بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠، تُعطى بواسطة: 𞸎𞸎󰏡=𞸑𞸑𞸁=𞸏𞸏𞸢.٠٠٠

يمكننا التعويض بإحداثيات النقطة (٧،٣،٧) ومركبات متجه الاتجاه (٤،٧،٣) في هذه المعادلة. هذا يُعطينا: 𞸎(٧)٤=𞸑(٣)٧=𞸏(٧)٣.

وبتبسيط القيم في البسط، تكون المعادلة الكارتيزية لهذا الخط المستقيم هي: 𞸎+٧٤=𞸑+٣٧=𞸏+٧٣.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا إيجاد متجه اتجاه الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين 󰏡، 𞸁 بإيجاد المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁.
  • متجه الموضع، 󰄮𞸓، لأي نقطة عامة على الخط المستقيم الذي يحتوي على النقطة 𞸍󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠ عند متجه الموضع 󰄮𞸓٠، يُعطى بواسطة: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸌،٠ حيث 󰄮𞸌 متجه اتجاه الخط المستقيم، 𞸊 أي مضاعف قياسي.
  • الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه 󰄮𞸌=(󰏡،𞸁،𞸢)؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا، ويمر بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠، تُعطى كالآتي: 𞸎𞸎󰏡=𞸑𞸑𞸁=𞸏𞸏𞸢.٠٠٠
  • إذا كان متغيِّر أو اثنان من المتغيرات 󰏡، 𞸁، 𞸢 يساويان صفرًا في الصورة السابقة (على سبيل المثال، إذا كان 󰏡=٠)، فثمة معادلتان: 𞸎=𞸎،𞸑𞸑𞸁=𞸏𞸏𞸢.٠٠٠

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.