فيديو السؤال: حساب احتمال فترة ذات طول منته لمتغيرات عشوائية طبيعية معيارية الإحصاء • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺹ متغير عشوائي طبيعي معياري. احسب احتمال أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ٠٫٥٤، وأقل من أو يساوي ٢٫٣٣.

نعلم من المعطيات أن ﺹ متغير عشوائي طبيعي معياري. ومن ثم، فإن له وسطًا حسابيًّا يساوي صفرًا، وانحرافًا معياريًّا يساوي واحدًا. تمتد فترة ﺹ من قيمة سالبة إلى قيمة موجبة. يمكننا تصور هذا الاحتمال على أنه المساحة أسفل المنحنى الطبيعي المعياري بين قيمتي سالب ٠٫٥٤ و٢٫٣٣.

تذكر أن هذا المنحنى متماثل حول وسطه الحسابي، الذي يساوي صفرًا في التوزيع الطبيعي المعياري. إذن، القيمة سالب ٠٫٥٤ تقع في النصف السفلي من التوزيع. وقيمة موجب ٢٫٣٣ تقع في النصف الأعلى. يمكن تقسيم المساحة التي نريد حسابها إلى اثنين: المساحة على يسار الوسط الحسابي، وهي ما تكافئ احتمال أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ٠٫٥٤ وأقل من أو يساوي صفرًا، والمساحة على يمين الوسط الحسابي، وهي ما تكافئ احتمال أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي ٢٫٣٣.

علينا هنا البحث عن الاحتمالات المناظرة لكل من هاتين المساحتين في جداول التوزيع الطبيعي المعياري. لكن قبل أن نفعل ذلك، علينا التأكد من أن الاحتمالات التي نبحث عنها مكتوبة بالصورة الصحيحة. هناك أنواع مختلفة من الجداول يمكننا استخدامها. لكن الجداول التي سنستخدمها هنا تعطينا احتمال أن يقع المتغير العشوائي ﺹ بين صفر وقيمة موجبة ﺹ. وهذا مناسب لمعرفة الاحتمال المناظر للمنطقة المظللة باللون الوردي. لكن ماذا عن احتمال المنطقة المظللة باللون البرتقالي؟

علينا استخدام تماثل منحنى التوزيع الطبيعي للمساعدة في ذلك. احتمال وقوع ﺹ بين سالب ٠٫٥٤ وصفر هو نفس احتمال وقوع ﺹ بين صفر وموجب ٠٫٥٤. ويمكننا، بشكل أساسي، عكس هذه المساحة حول المحور الرأسي للتماثل. والآن أصبح هذا الاحتمال مكتوبًا بالصورة الصحيحة التي تتيح لنا استخدام جداول التوزيع الطبيعي المعياري.

بالنظر إلى الاحتمال المرتبط بدرجة ﻱ معيارية قيمتها ٢٫٣٣، أولًا نجد أن احتمال ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي ٢٫٣٣ هو ٠٫٤٩٠١. وبعد ذلك، بالبحث عن الاحتمال المصاحب لـدرجة ﻱ معيارية قيمتها ٠٫٥٤، نجد أن احتمال ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي ٠٫٥٤، وهو ما يساوي احتمال ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ٠٫٥٤ وأصغر من أو يساوي صفرًا، هو ٠٫٢٠٥٤. احتمال وقوع ﺹ بين سالب ٠٫٥٤ و٢٫٣٣ هو مجموع هاتين القيمتين، وهو ٠٫٦٩٥٥.

إذن باستخدام الجداول الإحصائية وتماثل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري، وجدنا أن احتمال ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ٠٫٥٤ وأقل من أو يساوي ٢٫٣٣ هو ٠٫٦٩٥٥.