تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: التوزيع الطبيعي الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم التوزيع الطبيعي لحساب الاحتمالات وإيجاد المتغيِّرات المجهولة والبارامترات.

بالنسبة إلى المتغيرات الحياتية، مثل أوزان حديثي الولادة أو رواتب العاملين في إحدى الشركات الكبرى، نتوقع أن يكون لها توزيع متماثل ومُركَّز بالقرب من المتوسط. على سبيل المثال، يوضِّح المدرج التكراري أدناه مجموعة بيانات متماثلة ومُركَّزة بالقرب من المتوسط.

عندما تكون مجموعة البيانات متماثلة ومُركَّزة بالقرب من المتوسط، فإننا نقول إنها مُوّزعة توزيعًا طبيعيًّا. بالنسبة لمجموعات البيانات المُوزَّعة توزيعًا طبيعيًّا، تعطينا القاعدة التجريبية (التي تعرف أيضًا باسم قاعدة ٨٦٥٩٧٫٩٩) تقديرات مفيدة.

نظرية: القاعدة التجريبية

إذا وزِّعَت مجموعة بيانات توزيعًا طبيعيًّا بمتوسط 𝜇 وانحراف معياري 𝜎، فإن:

  • ٨٦٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±𝜎 من 𝜇،
  • ٥٩٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±٢𝜎 من 𝜇،
  • ٧٫٩٩٪ البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±٣𝜎 من 𝜇.

وكما هو الحال مع مجموعات البيانات، سيكون لأي متغير عشوائي متصل مُوزَّع توزيعًا طبيعيًّا منحنى توزيع احتمالي متماثل ومُركَّز بالقرب من المتوسط. إذا كان 𞹎 متغيرًا عشوائيًّا طبيعيًّا بمتوسط 𝜇 وانحراف معياري 𝜎، فإننا نشير إليه هكذا: 𞹎𞸈󰁓𝜇،𝜎󰁒٢. ونلاحظ أن البارامتر الثاني المُشار إليه بالرمز 𝜎٢ يُمثِّل التباين وليس الانحراف المعياري.

يُعرَف شكل منحنى التوزيع الاحتمالي لأي متغير عشوائي طبيعي باسم منحنى الجرس. والمساحة الكلية أسفل منحنى الجرس تساوي ١ أو ٠٠١٪، وتنطبق قاعدة ٨٦٥٩٧٫٩٩ أيضًا على المساحة أسفل المنحنى كما هو موضح أدناه.

هيا نتناول الآن بعض الأمثلة على القاعدة التجريبية.

مثال ١: تقدير المساحات أسفل منحنى التوزيع الطبيعي

في التوزيع الطبيعي الموضح، ما النسبة المئوية التقريبية لنقاط البيانات التي تقع في الجزء المظلَّل؟

الحل

دعونا نتذكر من قاعدة ٨٦٥٩٧٫٩٩ أن:

  • ٨٦٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±𝜎 من 𝜇،
  • ٥٩٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±٢𝜎 من 𝜇،
  • ٧٫٩٩٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±٣𝜎 من 𝜇.

تقع المنطقة المظللة بين 𝜎، 𝜇، لذا فهي تُمثِّل نصف المساحة بالضبط الموجودة ضمن المنطقة ±𝜎 من 𝜇. وبما أننا نعرف أن ٨٦٪ من البيانات تقريبًا يجب أن تقع ضمن المنطقة ±𝜎 من 𝜇، فإن نصف هذه البيانات تقريبًا يجب أن يقع بين 𝜎، 𝜇.

إذن، ٤٣٪ من البيانات تقريبًا تقع في الجزء المظلل.

مثال ٢: تقدير المساحات أسفل منحنى التوزيع الطبيعي

مجموعة بيانات ذات توزيع طبيعي ووسط حسابي مقداره ٣٢٫١ وانحراف معياري مقداره ٢٫٨، بين أي قيمتين يمكنك توقُّع وقوع ٥٩٪ من مجموعة البيانات؟

الحل

تذكر من قاعدة ٨٦٥٩٧٫٩٩ أن:

  • ٨٦٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±𝜎 من 𝜇،
  • ٥٩٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±٢𝜎 من 𝜇،
  • ٧٫٩٩٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±٣𝜎 من 𝜇.

٥٩٪ من البيانات في التوزيع الطبيعي تقع ضمن المنطقة ٢𝜎 من 𝜇.

ومن ثم، النقطة الحدية السفلى التي تبعد ٢𝜎 عن 𝜇 تساوي: 𝜇٢𝜎=١٫٢٣٢×٨٫٢=٥٫٦٢.

والنقطة الحدية العليا التي تبعد ٢𝜎 عن 𝜇 تساوي: 𝜇+٢𝜎=١٫٢٣+٢×٨٫٢=٧٫٧٣.

إذن، نتوقع أن ٥٩٪ من البيانات تقع بين القيمتين ٢٦٫٥، و٣٧٫٧.

بالنسبة للمتغيرات العشوائية الطبيعية، يمكننا استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري لحساب احتمال وقوع حدث معين. تمكننا هذه الطريقة من حساب احتمالات وقوع الأحداث الأعم مقارنةً بالقاعدة التجريبية.

يتضمن جدول التوزيع الطبيعي المعياري قيم احتمال المتغير العشوائي الطبيعي المعياري. المتغير الطبيعي المعياري هو متغير عشوائي متصل متوسطه 𝜇=٠ وانحرافه المعياري 𝜎=١. سنرمز إلى هذا المتغير بـالرمز 𞹑. لذا، سنشير إلى ذلك هكذا: 𞹑𞸈󰁓٠،١󰁒٢.

تُستخدم جداول التوزيع الطبيعي المعياري (تُسمى أيضًا جداول قيم 𞹑) للحصول على احتمالات تتضمن المتغير الطبيعي المعياري 𞹑. وعلينا أولًا أن نعرف أي نوع من الاحتمالات يوفره جدول قيم 𞹑 المُعطى. قد يُعطينا الجدول قيم الاحتمالات على الصورة 𞸋(٠𞹑𞸉)، أو ربما يُعطينا قيم الاحتمالات على الصورة 𞸋(𞹑𞸉). إذا كانت قيمة احتمال ٠٫٠٠ تساوي ٠٫٥، فإن هذا هو النوع الأخير (أي 𞸋(𞹑𞸉)). وإذا كانت قيمة احتمال ٠٫٠٠ تساوي ٠، فإن هذا هو النوع الأول (أي 𞸋(٠𞹑𞸉)). يتضح الفرق بين هذين الجدولين في الصورتين التاليتين.

لنفترض أننا نريد حساب 𞸋(𞹑٤٥٫٠) باستخدام جدول 𞸋(𞹑𞸉). علينا تحديد موضع النقطة الحدية اليمنى ٠٫٥٤ من خلال إيجاد ٠٫٥ في العمود الأيمن، و٠٫٠٤ في الصف العلوي.

هذا يعطينا القيمة ٠٫٧٠٥٤ التي تُمثِّل الاحتمال 𞸋(𞹑٤٥٫٠).

على الجانب الآخر، عند استخدام جدول 𞸋(٠𞹑𞸉)، علينا أولًا تقسيم المنطقة إلى المنطقتين {𞹑<٠} و{٠𞹑٤٥٫٠}، كما هو موضح في الصور التالية.

بعد ذلك، نتذكر أن 𞸋(𞹑<٠)=٥٫٠، بينما يمكننا تحديد 𞸋(٠𞹑٤٥٫٠) في الجدول كما هو موضح أدناه.

إذن، 𞸋(٠𞹑٤٥٫٠)=٤٥٠٢٫٠. وبجمع القيمتين معًا، سنحصل على: 𞸋(𞹑٤٥٫٠)=𞸋(𞹑<٠)+𞸋(٠𞹑٤٥٫٠)=٥٫٠+٤٥٠٢٫٠=٤٥٠٧٫٠، وهي القيمة نفسها التي حصلنا عليها باستخدام جدول قيم 𞹑 الآخر. بوجه عام، يمكننا استخدام أيٍّ من جدولَي قيم 𞹑 لتحديد الاحتمالات التي تتضمن المتغير الطبيعي المعياري 𞹑. في بقية هذا الشارح، سنستخدم جدول قيم 𞹑 الذي يُمثِّل الاحتمالات على الصورة 𞸋(٠𞹑𞸉).

في بعض الأحيان، تحتوي النقطة الحدية العليا على مجهول، وفي هذه الحالة ستكون قيمة الاحتمال مُعطاة. على سبيل المثال، لإيجاد 𞸉 الذي يحقق 𞸋(٠𞹑𞸉)=٣٧٦٢٫٠، سنبدأ بتحديد ٠٫٢٦٧٣ داخل جدول التوزيع الطبيعي المعياري ونستمر لتحديد القيمتين الحديتين لكي نحصل على القيمة 𞸉.

نحن نستخدم هذه الطريقة لنجد أن 𞸉=٣٧٫٠. وهذا يعني أن 𞸋(٠𞹑٣٧٫٠)=٣٧٦٢٫٠، حيث 𞹑𞸈󰁓٠،١󰁒٢.

بما أن 𞹑 متغير عشوائي متصل، فإننا نتذكر أن 𞸋(𞹑=𞸉)=٠ لأي قيمة 𞸉. وعليه، فإن المتباينتين الضعيفة والتامة < يمكن التبديل بينهما. على سبيل المثال، 𞸋(𞹑𞸉)=𞸋(𞹑=𞸉)+𞸋(𞹑<𞸉)=٠+𞸋(𞹑<𞸉)=𞸋(𞹑<𞸉).

عند التعامل مع احتمالات التوزيع الطبيعي، فإننا عادةً ما نتجاهل رموز المتباينة الضعيفة. ويجب أن نضع في اعتبارنا أنها تكافئ المتباينات التامة.

لقد لاحظنا فيما سبق أن 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠. ومن خلال التماثل حول منحنى الجرس، نعرف أيضًا أن 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠.

يلعب تماثل التوزيع الطبيعي دورًا مهمًّا عند حساب الاحتمالات التي تتضمن قيمًا سالبة. إذا كان الحدث يتضمن قيمًا سالبة، فإننا نقسِّم الحدث أولًا إلى الجزأين الموجب والسالب. بعد ذلك، باستخدام منحنى الجرس، يمكننا تحديد الحدث الموجب الذي له نفس احتمال الجزء السالب. وتتمثل هذه العملية في التسلسل التالي.

توضح الصور السابقة المعادلات الآتية: 𞸋(󰏡𞹑𞸁)=𞸋(󰏡𞹑٠)+𞸋(٠𞹑𞸁)=𞸋󰁓٠𞹑|󰏡|󰁒+𞸋(٠𞹑𞸁)، حيث يمكن الحصول على الاحتمالين الموجودين في السطر الأخير باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري. ومن المفيد عادةً التفكير من خلال الصور قبل كتابة المعادلات المناظرة لها.

وقد تكون الفروق مفيدة عند حساب الاحتمالات. فلحساب 𞸋(𞹑١)، نلاحظ الأشكال التالية.

ومن ثم، المساحة المحددة بالفترة {𞹑١} يمكن الحصول عليها عن طريق طرح المساحة المحددة بالفترة {٠𞹑١} من المساحة المحددة بالفترة {𞹑٠}. وهذا يعطينا: 𞸋(𞹑١)=𞸋(𞹑٠)𞸋(٠𞹑١).

نحن نعرف أنه يمكننا إيجاد 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠، 𞸋(٠𞹑١)=٣١٤٣٫٠ من جدول التوزيع الطبيعي المعياري. إذن، نحصل على 𞸋(𞹑١)=٥٫٠٣١٤٣٫٠=٧٨٥١٫٠.

هيا نلقِ نظرة على مثال يتناول احتمالات التوزيع الطبيعي المعياري.

مثال ٣: حساب احتمال فترة طول محدد لمتغيرات عشوائية طبيعية معيارية

اعتبر 𞹑 متغيرًا عشوائيًّا طبيعيًّا معياريًّا. احسب 𞸋(٤٥٫٠𞹑٣٣٫٢).

الحل

نلاحظ من السؤال أن فترة 𞹑 المعطاة تتضمن قيمًا سالبة. لذا، دعونا نبدأ بالتفكير في هذه العملية باستخدام الصور التوضيحية.

باستخدام المعادلات، نحصل على: 𞸋(٤٥٫٠𞹑٣٣٫٢)=𞸋(٤٥٫٠𞹑٠)+𞸋(٠𞹑٣٣٫٢)=𞸋(٠𞹑٤٥٫٠)+𞸋(٠𞹑٣٣٫٢).

والآن، يمكننا إيجاد كلا الاحتمالين الموضحين في السطر الأخير باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري.

من خلال الصورة الموضحة أعلاه، نحصل على 𞸋(٠𞹑٤٥٫٠)=٤٥٠٢٫٠، 𞸋(٠𞹑٣٣٫٢)=١٠٩٤٫٠. وبإيجاد مجموع هذين الاحتمالين، يصبح لدينا: 𞸋(٤٥٫٠𞹑٣٣٫٢)=٤٥٠٢٫٠+١٠٩٤٫٠=٥٥٩٦٫٠.

إذن، احتمال 𞸋(٤٥٫٠𞹑٣٣٫٢) يساوي ٠٫٦٩٥٥.

لحساب احتمالات المتغيرات الطبيعية العامة (بعبارة أخرى، تلك التي ليست على الصورة 𞹑𞸈󰁓٠،١󰁒٢ بعد)، علينا أولًا ربطها بالمتغير الطبيعي المعياري 𞹑. تُعرف هذه العملية باسم تحويل التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي معياري. إذا كان 𞹎 متغيرًا عشوائيًّا طبيعيًّا متوسطه 𝜇 وانحرافه المعياري 𝜎، فإن 𞹑=𞹎𝜇𝜎 هو المتغير العشوائي الطبيعي المعياري الذي متوسطه ٠ وانحرافه المعياري ١.

خطوات: تحويل التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي معياري لحساب الاحتمال

افترض أن 𞹎 متغير عشوائي طبيعي متوسطه 𝜇 وانحرافه المعياري 𝜎. لحساب الاحتمال المعطى بالعلاقة 𞸋(󰏡𞹎𞸁)، علينا أن:

  1. نطرح 𝜇 من كل الأطراف: 𞸋(󰏡𝜇𞹎𝜇𞸁𝜇)،
  2. نقسم كل الأطراف على 𝜎: 𞸋󰃁󰏡𝜇𝜎𞹎𝜇𝜎𞸁𝜇𝜎󰃀،
  3. نعوض عن التعبير الأوسط بالمتغير 𞹑𞸋󰃁󰏡𝜇𝜎𞹑𞸁𝜇𝜎󰃀،
  4. نستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري للحصول على الاحتمال الذي يتضمن 𞹑.

فيما يلي، نقدم تفسيرًا وجيزًا لهذا التحويل.

إذا كان 𞹎 موزَّعًا توزيعًا طبيعيًّا بالمتوسط 𝜇 والانحراف المعياري 𝜎، فإن: (𞹑)=󰂔𞹎𝜇𝜎󰂓.

ومن ثم، باستخدام الخاصية الخطية للقيمة المتوقعة، فإن الطرف الأيسر يساوي: ١𝜎×(𞹎)𝜇𝜎، وهو ما يساوي صفرًا، حيث (𞹎)=𝜇. إذن، كما ذكرنا من قبل، (𞹑)=٠. هيا ننتقل الآن إلى الانحراف المعياري: (𞹑)=󰂔𞹎𝜇𝜎󰂓=١𝜎×(𞹎𝜇)=١𝜎×(𞹎)،٢٢ وهو ما يساوي ١، حيث (𞹎)=𝜎٢. إذن، الانحراف المعياري للمتغير 𞹑 يساوي 󰋷(𞹑)=١. وأخيرًا، نلاحظ أن 𞹑 مُوزع توزيعًا طبيعيًّا وذلك يأتي من أن 𞹎 مُوزع توزيعًا طبيعيًّا، حيث إن التحويل 𞹑=𞹎𝜇𝜎 تحويل خطي. ومن ذلك، نستنتج أن المتغير 𞹑 مُوزَّع توزيعًا طبيعيًّا بمتوسط مقداره ٠، وانحراف معياري مقداره ١.

هيا نتناول الآن بعض الأمثلة لكي نتعرف على سياقات مختلفة.

مثال ٤: إيجاد احتمالات التوزيع الطبيعي بمعلومية المتوسط والتباين

افترِض أن 𞹎 مُتغيِّر عشوائي يتبع توزيعًا طبيعيًا، ومُتوسِّطه ٦٣، وتباينه ١٤٤. أوجد 𞸋(٦٥٫٧٣𞹎٦٣٫٧٥).

الحل

نبدأ حل هذه المسألة بتحويل التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي معياري. ونتذكر أنه إذا كان 𞹎𞸈󰁓𝜇،𝜎󰁒٢، فإن 𞹑=𞹎𝜇𝜎 هو المتغير الطبيعي المعياري، حيث 𞹑𞸈󰁓٠،١󰁒٢.

لدينا 𞹎𞸈(٣٦،٤٤١). ولعلنا نتذكر أن الانحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي الموجب للتباين، إذن 𝜎=󰋴٤٤١=٢١.

وبطرح 𝜇=٣٦ من كلا طرفَي المتباينة، نحصل على: 𞸋(٦٥٫٧٣𞹎٦٣٫٧٥)=𞸋(٤٤٫٥٢𞹎𝜇٤٦٫٥).

بعد ذلك، نقسم كل طرف على 𝜎=٢١، ثم نعوض عن 𞹎𝜇𝜎 بالمتغير 𞹑، وهذا يعطينا: 𞸋󰂔٤٤٫٥٢٢١𞹎𝜇𝜎٤٦٫٥٢١󰂓=𞸋(٢١٫٢𞹑٧٤٫٠).

بما أن 𞹑 يتضمن قيمًا سالبة، فسنستخدم تماثل منحنى الجرس لتحديد منطقة موجبة مكافئة.

لذا، علينا حساب 𞸋(٧٤٫٠𞹑٢١٫٢). باستخدام منحنى الجرس، نلاحظ أن: 𞸋(٧٤٫٠𞹑٢١٫٢)=𞸋(٠𞹑٢١٫٢)𞸋(٠𞹑٧٤٫٠).

وباستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، سنحصل على 𞸋(٠𞹑٢١٫٢)=٠٣٨٤٫٠، 𞸋(٠𞹑٧٤٫٠)=٨٠٨١٫٠. ومن ثم: 𞸋(٧٤٫٠𞹑٢١٫٢)=٠٣٨٤٫٠٨٠٨١٫٠=٢٢٠٣٫٠.

إذن، 𞸋(٦٥٫٧٣𞹎٦٣٫٧٥)=٢٢٠٣٫٠.

مثال ٥: إيجاد احتمالات التوزيع الطبيعي بمعلومية المتوسط والانحراف المعياري

افترض أن 𞹎 مُتغيِّر عشوائي طبيعي متوسطه ٦٨، وانحرافه المعياري ٣. أوجد 𞸋(𞹎٧٫١٦).

الحل

نبدأ بتحويل التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي معياري. ونتذكر أنه إذا كان 𞹎𞸈󰁓𝜇،𝜎󰁒٢، فإن 𞹑=𞹎𝜇𝜎 هو المتغير الطبيعي المعياري. لدينا 𞹎𞸈󰁓٨٦،٣󰁒٢.

نطرح أولًا 𝜇=٨٦ من طرفَي المتباينة، ثم نقسم كلا الطرفين على 𝜎=٣، مما يعطينا: 𞸋(𞹎٧٫١٦)=𞸋(𞹎𝜇٣٫٦)=𞸋󰂔𞹎𝜇𝜎١٫٢󰂓.

ونتذكر أن المتغير العشوائي المعياري 𞹎𝜇𝜎 يمكن التعويض عنه بالمتغير العشوائي المعياري 𞹑. إذن، الاحتمال المذكور أعلاه يصبح 𞸋(𞹑١٫٢).

سنرسم الآن صورًا توضيحية لمنحنى الجرس لنفكر في هذا الاحتمال.

هذا يعطينا: 𞸋(𞹑١٫٢)=𞸋(١٫٢𞹑٠)+𞸋(𞹑٠)=𞸋(٠𞹑١٫٢)+٥٫٠.

وباستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، سنحصل على 𞸋(٠𞹑١٫٢)=١٢٨٤٫٠، ومن ثم، فإن: 𞸋(𞹑١٫٢)=١٢٨٤٫٠+٥٫٠=١٢٨٩٫٠.

إذن، 𞸋(𞹎٧٫١٦) يساوي ٠٫٩٨٢١.

في آخر مثالين، سنوضح كيف نستخدم الاحتمال لإيجاد القيم الناقصة.

مثال ٦: استخدام الاحتمالات من التوزيع الطبيعي لإيجاد قيمةِ مجهولٍ

افترِض أن 𞹎 مُتغيِّر عشوائي طبيعي متوسِّطه 𝜇=٥٧، وانحرافه المعياري 𝜎=٦. إذا كان 𞸋(𞹎𞸊)=٨٣٩٩٫٠، فأوجد قيمة 𞸊.

الحل

لقد علمنا من السؤال أن 𞹎𞸈󰁓٥٧،٦󰁒٢، وعلمنا أيضًا أن لدينا 𞸋(𞹎𞸊)=٨٣٩٩٫٠. إذا حولنا التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي معياري، فسنحصل على: 𞸋(𞹎𞸊)=𞸋(𞹎𝜇𞸊٥٧)=𞸋󰂔𞹎𝜇𝜎𞸊٥٧٦󰂓=𞸋󰂔𞹑𞸊٥٧٦󰂓.

وإذا افترضنا أن 𞸉=𞸊٥٧٦، فعلينا إيجاد القيمة 𞸉 التي تحقق 𞸋(𞹑𞸉)=٨٣٩٩٫٠. بما أن ٠٫٩٩٣٨ أكبر من ٠٫٥، ففي هذه الحالة لا بد أن يكون 𞸉 قيمة سالبة.

باستخدام الرسم التوضيحي السابق، نحصل على المعادلة التالية: 𞸋(𞹑𞸉)=𞸋(𞹑𞸉)=𞸋(𞹑٠)+𞸋(٠𞹑𞸉).

وبما أننا نعرف أن 𞸋(𞹑𞸉)=٨٣٩٩٫٠، 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠، نحصل على: ٨٣٩٩٫٠=٥٫٠+𞸋(٠𞹑𞸉)𞸋(٠𞹑𞸉)=٨٣٩٤٫٠.

ومن جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نحصل على 𞸋(٠𞹑٠٥٫٢)=٨٣٩٤٫٠. وعليه، 𞸉=٥٫٢، أو بالمثل 𞸉=٥٫٢.

ولقد ذكرنا أن 𞸉=𞸊٥٧٦، إذن: 𞸊٥٧٦=٥٫٢𞸊٥٧=٥١.

لذلك، بحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸊، نجد أن 𞸊=٠٦.

مثال ٧: حساب المتوسط لمتغيرات عشوائية مُوزَّعة تَوْزِيعًا طبيعيًّا

افترض أن 𞹎 مُتغيِّر عشوائي توزيعه طبيعي، ومُتوسِّطه 𝜇، وتباينه ١٩٦. إذا كان 𞸋(𞹎٠٤)=٨٦٦٠٫٠، فأوجد قيمة 𝜇.

الحل

نلاحظ أن المتوسط 𝜇 بارامتر مجهول. وبما أننا نعلم أن 𞹎 يتبع توزيعًا طبيعيًّا متوسطه 𝜇 وتباينه ١٩٦، يمكننا كتابة 𞹎𞸈(𝜇،٦٩١). لعلنا نتذكر أن الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين، لذا فإن 𝜎=󰋴٦٩١=٤١. بتحويل التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي معياري باستخدام هذه القيم، نجد أن: 𞸋(𞹎٠٤)=𞸋(𞹎𝜇٠٤𝜇)=𞸋󰂔𞹎𝜇𝜎٠٤𝜇٤١󰂓=𞸋󰂔𞹑٠٤𝜇٤١󰂓.

أولًا، نفترض أن 𞸉=٠٤𝜇٤١. بعد ذلك، لا بد أن 𞸉 يحقق 𞸋(𞹑𞸉)=٨٦٦٠٫٠. وبما أن ٠٫٠٦٦٨ أصغر من ٠٫٥، فلا بد أن يكون 𞸉 قيمة سالبة. باستخدام تماثل منحنى الجرس، نستنتج المعادلة التالية: 𞸋(𞹑𞸉)=𞸋(𞹑𞸉)=𞸋(𞹑٠)𞸋(٠𞹑𞸉).

نحن نعرف أن 𞸋(𞹑𞸉)=٨٦٦٠٫٠، 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠. لذا، فإن: ٨٦٦٠٫٠=٥٫٠𞸋(٠𞹑𞸉)𞸋(٠𞹑𞸉)=٢٣٣٤٫٠.

من جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نجد أن 𞸋(٠𞹑٠٥٫١)=٢٣٣٤٫٠، إذن 𞸉=٥٫١. وبما أننا ذكرنا أن 𞸉=٠٤𝜇٤١، فإن: ٠٤𝜇٤١=٥٫١٠٤𝜇=١٢. إذن، بحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜇، نجد أن 𝜇=١٦.

النقاط الرئيسية

  • تنص القاعدة التجريبية على أنه إذا كان 𞹎𞸈󰁓𝜇،𝜎󰁒٢، فإن:
    • ٨٦٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±𝜎 من 𝜇،
    • ٥٩٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±٢𝜎 من 𝜇،
    • ٧٫٩٩٪ من البيانات تقريبًا تقع ضمن المنطقة ±٣𝜎 من 𝜇.
  • المتغير الطبيعي المعياري يُشار إليه هكذا: 𞹑𞸈󰁓٠،١󰁒٢.
  • باستخدام التماثل، نجد أن 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠، 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠.
  • قد يحتوي جدول التوزيع الطبيعي المعياري على احتمالات على الصورة 𞸋(٠𞹑𞸉) أو على الصورة 𞸋(𞹑𞸉).
  • إذا كان مدى قيم 𞹑 يتضمن قيمًا سالبة وموجبة، فإننا نُقسِّم الحدث أولًا إلى الجزأين السالب والموجب.
  • يمكننا رسم منحنيات الجرس واستخدام تماثلها لحساب الاحتمالات التي ليست على الصورة 𞸋(٠𞹑𞸉).
  • إذا كان 𞹎𞸈󰁓𝜇،𝜎󰁒٢، فإننا نحول التوزيع أولًا إلى توزيع معياري من خلال تعريف 𞹑=𞹎𝜇𝜎.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.