نسخة الفيديو النصية
أكمل الآتي. إذا كانت الصورة المتجهة للمتجه ﻭﺃ هي اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ، فإن الصورة القطبية للمتجه ﺃﻭ هي (فراغ).
علينا أولًا ملاحظة أن المتجه الذي نريد إيجاده على الصورة القطبية ليس هو المتجه المعطى على الصورة المتجهة. لدينا المتجه ﻭﺃ، ونريد إيجاد المتجه ﺃﻭ. قبل أن نتمكن من إيجاد الصورة القطبية للمتجه ﺃﻭ، علينا أولًا أن نكتب المتجه نفسه على الصورة المتجهة. يمكن اعتبار المتجه ﺃﻭ معكوس المتجه ﻭﺃ. يعني هذا أنه سيكون له المعيار نفسه، لكن في اتجاه معاكس. إذن، إذا كان المتجه ﻭﺃ يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ، فإن المتجه ﺃﻭ سيساوي سالب اثنين ﺱ زائد سالب اثنين ﺹ، وهو ما يمكننا كتابته بشكل أبسط على الصورة سالب اثنين ﺱ ناقص اثنين ﺹ.
علينا الآن التعبير عن هذا المتجه على الصورة القطبية. تعبر الصورة المتجهة عن المتجه ﺃﻭ بدلالة الإزاحتين في الاتجاهين ﺱ، ﺹ، لكن الصورة القطبية تعبر عن المتجه بدلالة معيار المتجه ﻝ وزاويته 𝜃. دعونا نرسم شكلًا لتمثيل المتجه ﺃﻭ. يمثل المتجه سالب اثنين ﺱ ناقص اثنين ﺹ حركة بمقدار اثنين في الاتجاه السالب للمحور ﺱ وبمقدار اثنين في الاتجاه السالب للمحور ﺹ. إذا جعلنا المتجه يبدأ من نقطة الأصل، فسنجد أنه يقع في الربع الثالث. طول هذا المتجه هو ﻝ، وتقاس الزاوية 𝜃 عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور ﺱ.
يمكن حساب قيمة ﻝ باستخدام نظرية فيثاغورس؛ حيث إن هذه القيمة تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. يمكن تمثيل ظل الزاوية 𝜃 على الصورة ﺹ مقسومًا على ﺱ. بالنسبة إلى المتجه ﺃﻭ، يمكننا ملاحظة أن التغير في قيمة ﺱ يساوي سالب اثنين، والتغير في قيمة ﺹ يساوي سالب اثنين أيضًا. لحساب معيار المتجه، علينا حساب الجذر التربيعي لسالب اثنين تربيع زائد سالب اثنين تربيع. هذا يساوي الجذر التربيعي لأربعة زائد أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى اثنين جذر اثنين.
ظا 𝜃 يساوي قيمة ﺹ على قيمة ﺱ؛ أي سالب اثنين على سالب اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد. هذا يعني أن علينا إيجاد الدالة العكسية لـ ظا واحد لحساب قيمة 𝜃. باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن 𝜃 تساوي ٤٥ درجة. لكن إذا نظرنا مرة أخرى إلى الرسم، فسنجد أن هذا غير صحيح؛ لأن قياس 𝜃 أكبر من ٤٥ درجة بكثير.
في الواقع، لقد أعطتنا الآلة الحاسبة قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المتجه والمحور ﺱ، وهي الزاوية المحددة هنا باللون الأخضر. يحدث هذا عندما يكون للزاوية المطلوبة نفس قيمة ظل الزاوية التي تعطيها الآلة الحاسبة. إذن، علينا إضافة ١٨٠ درجة لإيجاد القيمة الفعلية لـ 𝜃 باعتبارها قياس الزاوية بين الجزء الموجب للمحور ﺱ والمتجه ﺃﻭ عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. هذا يعطينا ٢٢٥ درجة.
من الجيد دائمًا أن نرسم المتجه بدءًا من نقطة الأصل على محوري الإحداثيات، كما فعلنا؛ وذلك قبل إيجاد قياس زاوية متجه في صورته القطبية، فقط للتأكد من أننا انتبهنا إلى الربع الذي تقع فيه. إذن، إجابة السؤال هي أن المتجه ﺃﻭ، على الصورة القطبية، له المعيار اثنان جذر اثنين، وزاوية قياسها ٢٢٥ درجة.
