شارح الدرس: الصورة القطبية للمتجه الرياضيات

مثال ١: تمثيل المتجهات هندسيًّا

لدينا المتجه الذي معياره ٣ ويصنع زاوية قياسها مقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور . باستخدام حساب المثلثات، احسب المركِّبتين في اتجاه المحورين ، ، ثم اكتب في صورة . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الصورة الكارتيزية للمتجه باستخدام التمثيل البياني وطول المتجه المُعطَى.

تذكَّر أن الصورة القطبية تُعرِّف المتجه وفقًا للمسافة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، والزاوية التي يصنعها بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إليها بالرمز .

مركِّبة نصْف القطر تساوي طول المتجه أو معياره : ومُعطًى بأنه ، وعلمنا من السؤال أن المتجه يقع عند زاوية قياسها أعلى الجزء الموجَب من المحور .

بالتعويض بقيمتَيْ مركِّبتَيْ نصْف القطر والزاوية للمتجه ، ، ، فإن مركِّبتَيِ الصورة الكارتيزية تساويان: و:

إذن بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على:

مثال ٢: تحويل متجه من الصورة القطبية إلى الصورة المتجهة باستخدام التمثيل البياني للمتجه

إذا كان ، فإن .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الصورة الكارتيزية للمتجه باستخدام التمثيل البياني وطول المتجه المُعطَى.

تذكَّر أن الصورة القطبية تُعرِّف المتجه وفقًا للمسافة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، والزاوية التي يصنعها بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إليها بالرمز .

يُمكن التعبير عن مركِّبتَيِ الصورة الكارتيزية للمتجه بدلالة مركِّبتَيِ الصورة القطبية على الصورة:

مركِّبة نصْف القطر تساوي طول المتجه أو معياره :

بالتعويض بقيمتَيْ مركِّبتَيْ نصْف القطر والزاوية للمتجه ، ، ، فإن مركِّبتَيِ الصورة الكارتيزية تساويان: و:

إذن نحصل على:

هذا هو الخيار (د).

مثال ٣: تحويل متجه من الصورة القطبية إلى الصورة المستطيلة في مسألة كلامية

إذا كانت القوة تؤثِّر في اتجاه شرق الشمال، فإن .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الصورة الكارتيزية لمتجه القوة من مسألة كلامية.

تذكَّر أن الصورة القطبية تُعرِّف المتجه وفقًا للمسافة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، والزاوية التي يصنعها بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إليها بالرمز .

مركِّبتَا الصورة الكارتيزية للمتجه بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين يُمكن التعبير عنهما بدلالة مركِّبتَيِ الصورة القطبية على الصورة:

مركِّبة نصْف القطر تكافئ طول المتجه أو معياره :

وبما أن تؤثِّر في اتجاه شرق الشمال، فإن مركِّبة نصْف القطر في الصورة القطبية هي ، ومركِّبة الزاوية؛ أي الزاوية المَقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ، هي .

وهذا لأن الزاوية المُعطاة قياسها شرق الشمال، ونحن نَقِيس الزوايا عادة من الشرق إلى الشمال، في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ، كما هو موضَّح في الشكل السابق.

بالتعويض بقيمتَيْ مركِّبتَيْ نصْف القطر والزاوية للمتجه ، ، ، فإن مركِّبتَيِ الصورة الكارتيزية تساويان: و:

إذن نحصل على:

هذا هو الخيار (ب).

مثال ٤: حلُّ مسألة تتضمَّن متجهات في الصورة الكارتيزية والصورة القطبية

إذا كان ، ، فإن .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد متجه الاتجاه على الصورة الكارتيزية؛ حيث المتجه مُعطًى على الصورة القطبية، والمتجه مُعطًى على الصورة الكارتيزية. نبدأ بتمثيل المتجهين ، بيانيًّا:

تذكَّر أن الصورة القطبية تُعرِّف المتجه وفقًا للمسافة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، والزاوية التي يصنعها بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إليها بالرمز .

مركِّبتَا الصورة الكارتيزية للمتجه بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين يُمكن التعبير عنهما بدلالة مركِّبتَيِ الصورة القطبية على الصورة:

بالتعويض بقيمتَيْ مركِّبتَيْ نصْف القطر والزاوية للمتجه ، ، ، فإن مركِّبتَيِ الصورة الكارتيزية تساويان: و:

ومن ثَمَّ، على الصورة الكارتيزية يكون:

يُمكننا الآن تحديد :

إذن نحصل على:

هذا هو الخيار (أ).

مثال ٥: تحويل متجه من الصورة القطبية إلى الصورة الكارتيزية

إذا كان ، فإن المتجه ، بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين، يساوي .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الصورة الكارتيزية للمتجه من الصورة القطبية .

تذكَّر أن الصورة القطبية تُعرِّف المتجه وفقًا للمسافة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، والزاوية التي يصنعها بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إليها بالرمز .

مركِّبتَا الصورة الكارتيزية للمتجه بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين يُمكن التعبير عنهما بدلالة مركِّبتَيِ الصورة القطبية على الصورة:

نحن نعلم أن المسافة من نقطة الأصل تساوي ٧، وأن الزاوية القياسية للمتجه قياسها . بما أن هذه الزاوية تقع بين ، ، فإننا نعلم أن المتجه يقع في الرُّبع الرابع، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

بالتعويض بقيمتَيْ مركِّبتَيْ نصْف القطر والزاوية للمتجه ، ، ، فإن مركِّبتَيِ الصورة الكارتيزية تساويان: و:

نلاحِظ أن ، ، وهو ما يُشير إلى أن هذا المتجه يقع في الرُّبع الرابع، كما هو متوقَّع.

ومن ثَمَّ، يكون المتجه بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين يساوي:

هذا هو الخيار (ب).

مثال ٦: حلُّ مسألة تتضمَّن متجهات في الصورة الكارتيزية أو الصورة القطبية

إذا كان ، ، ، فإن .

1. ٦
2. ١١
3. ١٠
4. ١٥

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد مجموع أطوال ثلاثة متجهات؛ حيث ، على الصورة الكارتيزية، على الصورة القطبية. نبدأ بتمثيل المتجهات الثلاثة المُعطاة بيانيًّا.

تذكَّر أن الصورة القطبية تُعرِّف المتجه وفقًا للإزاحة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، والزاوية التي يصنعها بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إليها بالرمز .

معيار المتجه في الصورة الكارتيزية بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين يساوي:

ومن ثَمَّ، بالنسبة إلى المتجهين المُعطيَيْن، ، ، يكون لدينا: و:

يُمكننا أيضًا ملاحَظة طول المتجه من التمثيل البياني.

المتجه مُعطًى على الصورة القطبية ؛ حيث مركِّبة نصْف القطر تساوي طول المتجه أو معياره ، مركِّبة الزاوية. إذن معيار المتجه:

إذن نحصل على:

هذا هو الخيار (د).

مثال ٧: تحويل متجه من الصورة المتجهة إلى الصورة القطبية

إذا كان ، فإن الصورة القطبية للمتجه هي .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الصورة القطبية ، والقياس بالراديان، لمتجه مُعطًى بالإحداثيات الكارتيزية . نبدأ بتمثيل هذا المتجه بيانيًّا على المستوى الإحداثي.

تذكَّر أن الصورة القطبية تُعرِّف المتجه وفقًا للمسافة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، والزاوية التي يصنعها بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إليها بالرمز . نحن نستخدم فرضية أن قياس الزاوية يكون موجبًا عند قياسها عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

مركِّبتَا الصورة الكارتيزية للمتجه بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين يُمكن التعبير عنهما بدلالة مركِّبتَيِ الصورة القطبية على الصورة:

والآن هيَّا نُوجِد الصورة القطبية للمتجه باستخدام التمثيل البياني مباشرة مع هذا التعريف. مركِّبة نصْف القطر تمثِّل المسافة من نقطة الأصل إلى نقطة نهاية المتجه ، ويُمكننا إيجادها باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية، كما هو موضَّح بالشكل. دعونا أولًا نُوجِد طول وتر هذا المثلث:

وبما أن المتجه يقع في الرُّبع الأول، فإن مركِّبة الزاوية في الصورة القطبية موجبة؛ لأن الزاوية مَقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، ويُمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية يتضمَّن الزاوية وضلعين طولاهما ٥، ، كما هو موضَّح في الشكل. وبما أن زاوية حادة، إذن باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، يُمكننا كتابتها بدلالة الدالة العكسية للظلِّ على الصورة:

كان بإمكاننا أيضًا التوصُّل إلى هذه الإجابة بالاستفادة من حقيقة أنه يُمكننا تحويل المتجه من الصورة الكارتيزية، ، الذي يقع في الرُّبع الأول، إلى الصورة القطبية، باستخدام:

هذا يُعطينا نفس مركِّبتَيْ نصْف القطر والزاوية للصورة القطبية بعد التعويض بقيمتَيْ ، .

إذن الصورة القطبية للمتجه هي:

وهذا هو الخيار (د).

مثال ٨: تحديد التمثيل البياني القطبي لمتجه

أيٌّ من الآتي يوضِّح التمثيل القطبي للمتجه ؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التمثيل البياني القطبي، والقياس بالدرجات، لمتجهٍ معيَّن في الصورة الكارتيزية، .

تذكَّر أن الصورة القطبية تُعرِّف المتجه وفقًا للمسافة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، والزاوية التي يصنعها بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إليها بالرمز . نحن نستخدم فرضية أن قياس الزاوية يكون موجبًا عند قياسها عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. كما نقيِّد الزوايا بأن تكون من أجل كتابتها بصورة قياسية.

يُمكن التعبير عن مركِّبتَيِ الصورة الكارتيزية للمتجه بدلالة مركِّبتَيِ الصورة القطبية على الصورة:

وبما أن المتجه يقع في الرُّبع الأول، فيُمكننا إيجاد الصورة القطبية باستخدام:

بالنسبة إلى المتجه المُعطى ، يُمكننا إيجاد مركِّبة نصْف القطر على النحو الآتي: ومركِّبة الزاوية على النحو الآتي:

إذن التمثيل البياني القطبي هو التمثيل الذي يكون فيه طول القطعة المستقيمة يساوي ٤، ويصنع المتجه زاوية قياسها من الجزء الموجب من المحور مَقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

هذا هو الخيار (ب).

مثال ٩: إيجاد زاوية الاتجاه لمتجه مُعطًى

لدينا المتجه . احسب اتجاه المتجه، مع كتابة الحلِّ في صورة زاوية، لأقرب درجة مَقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، ابتداءً من الجزء الموجب من المحور .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد اتجاه المتجه، بالدرجات، لمتجه معيَّن على الصورة الكارتيزية . نحن نريد إيجاد قياس الزاوية مَقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، بدءًا من الجزء الموجب من المحور . نبدأ بتمثيل هذا المتجه بيانيًّا على المستوى الإحداثي.

بما أن المتجه يقع في الرُّبع الثاني، إذن اتجاه المتجه تمثِّله الزاوية المَقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، بدءًا من الجزء الموجب من المحور . نفكِّر في الزاوية ، المَقيسة في نفس اتجاه ، كما هو موضَّح في الشكل. يُمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية يتضمَّن الزاوية وضلعين طولاهما ٢، ٣. وبما أن زاوية حادة، إذن يُمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لكتابة طولَيِ الضلعين بدلالة الدالة العكسية للظلِّ على الصورة:

وبما أن قياسَيِ الزاويتين اللتين تقعان على خطٍّ مستقيمٍ واحد مجموعهما يساوي ، يصبح لدينا أيضًا . بالتعويض بقياس الزاوية ، يُمكننا إعادة ترتيب ذلك لإيجاد:

كان بإمكاننا أيضًا التوصُّل إلى هذه الإجابة بالاستفادة من حقيقة أن أيَّ متجه على الصورة الكارتيزية، ، ويقع في الرُّبع الثاني، تكون زاويته: حيث الزاوية مَقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، بدءًا من الجزء الموجب من المحور . وهو ما يُعطينا الزاوية نفسها بعد التعويض بقيمتَيْ ، . قياس هذه الزاوية يكافئ مركِّبة الزاوية في الصورة القطبية للمتجه .

إذن بالتقريب لأقرب درجة، يكون اتجاه المتجه في صورة زاوية مَقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، ابتداءً من الجزء الموجب من المحور هو .

مثال ١٠: تحويل متجه من الصورة الكارتيزية إلى الصورة القطبية

إذا كان ، فإن الصورة القطبية للمتجه هي .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الصورة القطبية ، والقياس بالراديان، لمتجه معيَّن على الصورة الكارتيزية .

تذكَّر أن الصورة القطبية تُعرِّف المتجه وفقًا للمسافة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، والزاوية التي يصنعها بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إليها بالرمز . نحن نستخدم فرضية أن قياس الزاوية يكون موجبًا عند قياسها عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. كما نقيِّد الزوايا بأن تكون من أجل كتابتها بصورة قياسية.

مركِّبتَا الصورة الكارتيزية للمتجه بدلالة متجهَيِ الوحدة الأساسيين يُمكن التعبير عنهما بدلالة مركِّبتَيِ الصورة القطبية على الصورة:

والآن هيَّا نُوجِد الصورة القطبية للمتجه باستخدام التمثيل البياني مباشرة مع هذا التعريف. مركِّبة نصْف القطر تمثِّل المسافة من نقطة الأصل إلى المتجه ، ويُمكننا إيجاد ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية، كما هو موضَّح بالشكل الآتي.

يُمكننا إيجاد طول وتر هذا المثلث باستخدام:

وبما أن المتجه يقع في الرُّبع الثالث، إذن مركِّبة الزاوية في الصورة القطبية ستساوي القياس الموجب للزاوية المَقِيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، بدءًا من الجزء الموجب من المحور ، وقياس الزاوية يكون سالبًا بدءًا من الجزء السالب من المحور . يُمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية يتضمَّن الزاوية وضلعين طولاهما ٢، ٥، كما هو موضَّح في الشكل السابق. وبما أن زاوية حادة، إذن يُمكننا كتابتها بدلالة طولَيِ الضلعين، باستخدام الدالة العكسية للظلِّ كالآتي:

لدينا أيضًا . وبالتعويض بقياس الزاوية ، يُمكننا إعادة ترتيب ذلك لإيجاد:

كان بإمكاننا أيضًا التوصُّل إلى هذه الإجابة بالاستفادة من حقيقة أنه يُمكننا تحويل أيِّ متجه من الصورة الكارتيزية ، ويقع في الرُّبع الثالث إلى الصورة القطبية باستخدام:

هذا يُعطينا نفس مركِّبتَيْ نصْف القطر والزاوية للصورة القطبية بعد التعويض بقيمتَيْ ، .

إذن الصورة القطبية للمتجه هي:

هذا هو الخيار (أ).