فيديو الدرس: الصورة القطبية للمتجه الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن الصورة القطبية لمتجه. قد نكون معتادين أكثر على كتابة المتجهات بالصورة الكارتيزية، كما يطلق عليها. في هذا الدرس، لن نكتفي بمعرفة الصورة القطبية لمتجه فقط، بل سنتعلم أيضًا كيف نحوله من الصورة القطبية إلى الصورة الكارتيزية والعكس.

في البداية، نفترض أن لدينا متجهًا، سنسميه ﻡ، ممثلًا على مستوى كارتيزي. هذا يعني أنه يمكن تحليل المتجه ﻡ إلى مركبتيه ﺱ وﺹ. يمكننا كتابة ﻡ يساوي ﺱ في اتجاه ﺱ زائد ﺹ في اتجاه ﺹ. وهناك طريقة أخرى لكتابة ذلك باستخدام هذين القوسين الزاويين. فنقول إن هذه هي الصورة الكارتيزية للمتجه ﻡ. ونصف المتجه باستخدام المتغيرين الكارتيزيين ﺱ وﺹ. لكن بالعودة إلى الرسم، نلاحظ أن هناك طريقة أخرى لوصف المتجه نفسه. حيث يمكننا وصفه بدلالة المسافة القطرية الكلية من نقطة الأصل، وسنسميها المسافة ﻝ، والزاوية التي يصنعها هذا المتجه مع الجزء الموجب من المحور ﺱ، وسنسميها 𝜃.

وهذه الطريقة الثانية لوصف المتجه ﻡ بدلالة ﻝ و𝜃 مرتبطة بالمتغيرين ﺱ وﺹ. على سبيل المثال، بما أن ﻝ هو وتر المثلث القائم الزاوية، حيث ﺱ وﺹ هما طولا الضلعين الآخرين، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لنقول إن ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. وأيًا كان قياس الزاوية 𝜃، لاحظ أن ظل الزاوية 𝜃 يساوي ﺹ مقسومًا على ﺱ. وهذا يعني أن المتغير 𝜃 يساوي الدالة العكسية للظل لـ ﺹ على ﺱ.

باستخدام مركبتي المتجه بالصورة الكارتيزية، بإمكاننا الآن تمثيل المتجه ﻡ بطريقة مختلفة. يمكننا القول إنه معرف بالمسافة القطرية ﻝ من نقطة الأصل في اتجاه معين، وهو 𝜃، بالنسبة إلى الجزء الموجب من المحور ﺱ. تعرف هذه الصورة باسم الصورة القطبية للمتجه، وهي تكافئ تمامًا الصورة الكارتيزية، لكنها فقط مكتوبة بطريقة مختلفة. إن كتابة المتجه بالصورة القطبية يمكن أن تساعدنا في وصف حركة أجسام معينة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا جسم يتحرك في دائرة مركزها نقطة الأصل في المستوى ﺱﺹ، فمن الأنسب أن نعبر عن المتجه الذي يحدد موضع هذا الجسم عند نقاط زمنية مختلفة باستخدام الصورة القطبية بدلًا من الصورة الكارتيزية.

لكن إذا كان لدينا متجه بالصورة القطبية وأردنا التعبير عنه بالصورة الكارتيزية، فيمكننا فعل ذلك باستخدام العلاقات الموضحة في الرسم بين ﻝ و𝜃 وﺱ وﺹ. المتغير ﺱ يساوي ﻝ في جتا 𝜃، والمتغير ﺹ يساوي ﻝ في جا 𝜃. بمعلومية ﻝ و𝜃، يمكننا إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. وباستخدام العلاقات المميزة بنجمة، يمكننا التحويل بين الصورتين الكارتيزية والقطبية للمتجه. دعونا نتدرب الآن على ذلك من خلال مثال.

لدينا المتجه سالب اثنين، ثلاثة. احسب اتجاه المتجه، مع كتابة الحل في صورة زاوية لأقرب درجة مقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ﺱ.

بما أن لدينا مركبتي المتجه، فلنبدأ بتمثيله على المستوى ﺱﺹ. كل علامة من علامات التجزئة هذه تمثل مسافة مقدارها وحدة واحدة. وعلمنا من المعطيات أن مركبة ﺱ لهذا المتجه تساوي سالب اثنين ومركبة ﺹ تساوي موجب ثلاثة. نستنتج من ذلك أن المتجه الذي يقع طرف بدايته عند نقطة الأصل سيبدو بهذا الشكل. إننا نريد حساب اتجاه هذا المتجه، وسنفعل ذلك بدلالة الزاوية التي يبدأ قياسها من الجزء الموجب من المحور ﺱ وصولًا إلى المتجه. يمكننا تسمية هذه الزاوية. وسنسميها 𝜃. نتذكر هنا أنه بوجه عام عندما يكون لدينا متجه، وليكن ﻡ، معطى بالصورة القطبية، يكون هذا المتجه معرفًا بدلالة المسافة القطرية من نقطة الأصل، وقياس الزاوية التي يصنعها مع الجزء الموجب من المحور ﺱ.

في هذا المثال، نريد إيجاد قياس الزاوية 𝜃. وللقيام بذلك، لدينا متجه ليس بالصورة القطبية ولكن بالصورة الكارتيزية. وعند استخدام قيمتي ﺱ وﺹ لإيجاد قياس 𝜃، فإننا بذلك نحول المتجه من الصورة الكارتيزية إلى جزء من صورته القطبية. هذا لأن ظا 𝜃، حيث 𝜃 هي زاوية المتجه بالصورة القطبية، يساوي النسبة بين مركبتي ذلك المتجه بالصورة الكارتيزية؛ أي ﺹ إلى ﺱ. نستنتج من هذا أن ظل الزاوية المطلوبة 𝜃 يساوي ثلاثة على سالب اثنين. بعد ذلك، إذا حسبنا الدالة العكسية للظل للطرفين، فإن الطرف الأيمن يبسط إلى الزاوية التي نريد إيجاد قياسها.

إذا حسبنا قيمة هذا المقدار باستخدام الآلة الحاسبة لأقرب جزء من مائة درجة، فسنجد أن النتيجة تساوي سالب ٥٦٫٣١ درجة. وبالنظر إلى الرسم، نجد أنه لا يمكن أن يكون هذا هو قياس 𝜃. هذا لأن قيمة ﺱ في هذا الكسر سالبة، بعبارة أخرى، المتجه الذي نتعامل معه يقع في الربع الثاني أو الثالث، فلحساب قياس الزاوية بشكل صحيح، علينا أن نضيف ١٨٠ درجة إلى النتيجة التي حصلنا عليها. وهذه طريقة معتادة لحساب اتجاه أي متجه بمركبة ﺱ سالبة بدقة، كما لدينا في هذا المثال.

إذا جمعنا هاتين الزاويتين معًا، فسنحصل على الناتج ١٢٣٫٦٩ درجة. وبتذكر أنه علينا الحل لأقرب درجة؛ فإن 𝜃 تساوي ١٢٤ درجة. إذن، هذا هو اتجاه المتجه لأقرب درجة مقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ﺱ.

دعونا الآن نتناول مثالًا نحول فيه من الصورة الكارتيزية للمتجه إلى الصورة القطبية.

إذا كان ﺃ يساوي سالب ﺱ ناقص ﺹ، فإن الصورة القطبية لـ ﺃ هي (فراغ). (أ) جذر اثنين، 𝜋 على أربعة، (ب) جذر اثنين، ثلاثة 𝜋 على أربعة، (ج) جذر اثنين، خمسة 𝜋 على أربعة، (د) جذر اثنين، سبعة 𝜋 على أربعة.

حسنًا، لدينا المتجه ﺃ بالصورة الكارتيزية، ونريد إيجاد صورته القطبية. هناك طريقة أخرى يمكننا بها كتابة ﺃ بالصورة الكارتيزية؛ وهي أن نعبر عنه بدلالة مركبتيه ﺱ وﺹ هكذا. والآن دعونا نتذكر أننا لا نعبر عن متجه مكتوب بالصورة القطبية بدلالة مركبتيه ﺱ وﺹ، وإنما بدلالة ﻝ و𝜃‏. ‏‏ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع، وظا 𝜃 يساوي ﺹ مقسومًا على ﺱ. وباستخدام هاتين العلاقتين، يمكننا تحويل ﺃ من الصورة الكارتيزية إلى الصورة القطبية.

تعرف هذه الصورة القطبية، كما عرفنا، بدلالة مسافة قطرية وزاوية. نحن نعلم أن ﻝ يساوي الجذر التربيعي لمركبة ﺱ تربيع زائد مركبة ﺹ تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لواحد زائد واحد أو الجذر التربيعي لاثنين، إذن، سنعوض بهذه القيمة عن ﻝ في الصورة القطبية لـ ﺃ. لكن عندما ننظر مرة أخرى إلى خيارات الإجابة، نلاحظ أن هذا لم يساعدنا في تقليص قائمة الخيارات. فجميع الخيارات الأربعة لها نفس قيمة ﻝ؛ وهي الجذر التربيعي لاثنين. فلننتقل إذن إلى إيجاد قياس الزاوية 𝜃 للمتجه. وبينما نفعل ذلك، سيكون من المفيد أن نرسم المتجه على مستوى إحداثي.

لنفترض أن كل علامة من علامات التجزئة هذه تمثل مسافة مقدارها وحدة واحدة. وبما أن مركبتي المتجه بالصورة الكارتيزية هما سالب واحد وسالب واحد، وإذا كان طرف بداية المتجه يقع عند نقطة الأصل، فإن المتجه سيبدو بهذا الشكل. وستقاس الزاوية 𝜃، التي تحدد اتجاهه، بداية من الجزء الموجب من المحور ﺱ وصولًا إلى المتجه. سنلاحظ إذن أن قياس 𝜃 سيكون أكبر من 𝜋 راديان، لكنه أصغر من ثلاثة على اثنين 𝜋. يمكننا الآن استخدام هذه العلاقة لإيجاد قياسها. نحن نعلم أن مركبتي المتجه ﺱ وﺹ كل منهما تساوي سالب واحد. وحسبنا هنا الدالة العكسية للظل لطرفي المعادلة ظا 𝜃، ما يعني أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية للظل لسالب واحد مقسومًا على سالب واحد.

لكن يوجد شيء لافت للانتباه هنا. إذا حسبنا قيمة هذه الدالة العكسية للظل على الآلة الحاسبة، فسيكون الناتج 𝜋 على أربعة. لكن بالنظر إلى المتجه الذي رسمناه، سندرك أنه لا يمكن أن يكون هذا هو القياس الصحيح للزاوية 𝜃. وهنا، علينا أن نتذكر القاعدة التي تنص على أنه عند حساب الدالة العكسية للظل مع وجود قيمة ﺱ سالبة في الكسر، فيجب إضافة 𝜋 راديان إلى الناتج، لإيجاد القياس الصحيح للزاوية 𝜃 المقيسة بالنسبة إلى الجزء الموجب من المحور ﺱ. وبذلك، نتجنب حدوث أي خطأ محتمل في إيجاد قياس 𝜃. يرجع السبب في هذا الخطأ المحتمل إلى دالة الظل.

لكن سنكتفي بقول إنه عند حساب الدالة العكسية للظل لكسر يحتوي على قيمة ﺱ سالبة؛ أي عندما يقع المتجه في الربع الثاني أو الثالث، علينا إضافة 𝜋 راديان أو ١٨٠ درجة، حسب الحاجة، لإيجاد القياس الصحيح للزاوية بالنسبة إلى الجزء الموجب من المحور ﺱ. ‏‏‏𝜋 على أربعة زائد 𝜋 يساوي خمسة على أربعة في 𝜋. وبالتعويض بهذه القيمة عن 𝜃 في الصورة القطبية لـ ﺃ، نجد أن ﺃ بالصورة القطبية يساوي الجذر التربيعي لاثنين، خمسة 𝜋 على أربعة. نلاحظ هنا أن هذا الحل يطابق الخيار (ج) الموجود ضمن قائمة الخيارات. إذن، لإكمال الجملة، نقول إنه إذا كان ﺃ يساوي سالب ﺱ ناقص ﺹ، فإن الصورة القطبية لـ ﺃ تساوي الجذر التربيعي لاثنين، خمسة 𝜋 على أربعة.

دعونا الآن نتناول مثالًا نحول فيه من الصورة القطبية إلى الصورة الكارتيزية.

إذا كان ﺃ يساوي سبعة، خمسة 𝜋 على ثلاثة، فإن المتجه ﺃ، بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين، يساوي (فراغ). (أ) سبعة على اثنين ﺱ زائد سبعة جذر ثلاثة على اثنين ﺹ. (ب) سالب سبعة جذر ثلاثة على اثنين ﺱ زائد سبعة على اثنين ﺹ. (ج) سبعة على اثنين ﺱ ناقص سبعة جذر ثلاثة على اثنين ﺹ. (د) سبعة جذر ثلاثة على اثنين ﺱ زائد سبعة على اثنين ﺹ.

لدينا هنا المتجه ﺃ بالصورة القطبية، ونريد التعبير عنه بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين. متجها الوحدة الأساسيان هما ﺱ وﺹ. وللقيام بذلك، علينا تحويل المتجه ﺃ من الصورة القطبية إلى الصورة الكارتيزية. في البداية، إننا نتذكر أنه في حالة المتجه المعطى بالصورة القطبية، تكون لدينا المسافة القطرية من نقطة الأصل للمستوى الإحداثي، وكذلك الاتجاه 𝜃 الذي يشير إليه هذا المتجه بالنسبة إلى الجزء الموجب من المحور ﺱ لهذا المستوى. لذا إذا كان المتجه ﻡ، على سبيل المثال، يبدو بهذا الشكل، فسيكون ﻝ هو طول المتجه و𝜃 هي الزاوية الموضحة.

وبمعلومية ذلك، يمكننا إيجاد قيمتي المركبتين ﺱ وﺹ لهذا المتجه. المركبة ﺱ تساوي ﻝ في جتا 𝜃، والمركبة ﺹ تساوي ﻝ في جا 𝜃. وبالنسبة إلى المتجه المعطى ﺃ، يمكننا القول إنه بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين ﺱ وﺹ، فإن ﺃ يساوي ﺱ في ﺱ زائد ﺹ في ﺹ. نلاحظ من الرسم أن هذا يساوي ﻝ في جتا 𝜃 ﺱ زائد ﻝ في جا 𝜃 ﺹ، حيث ﻝ يساوي سبعة و𝜃 تساوي خمسة 𝜋 على ثلاثة. وعرفنا ذلك من المعطيات الخاصة بالمتجه ﺃ الواردة في نص المسألة.

والآن إذا عوضنا بالقيمتين المعلومتين لكل من ﻝ و𝜃، فسنجد أن ﺱ يساوي سبعة في جتا خمسة 𝜋 على ثلاثة، وﺹ يساوي سبعة في قيمة جيب هذه الزاوية. ‏ جتا خمسة 𝜋 على ثلاثة يساوي نصفًا، وجا خمسة 𝜋 على ثلاثة يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين. وعند حساب ذلك، نجد أن ﺱ يساوي سبعة على اثنين، وﺹ يساوي سالب سبعة جذر ثلاثة على اثنين. وعليه، فإن المتجه ﺃ يساوي سبعة على اثنين ﺱ ناقص سبعة جذر ثلاثة على اثنين ﺹ. وبالرجوع إلى خيارات الإجابة، نلاحظ أن هذا الحل يطابق أحد الخيارات. إذن، المتجه ﺃ بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين يساوي سبعة على اثنين ﺱ ناقص سبعة جذر ثلاثة على اثنين ﺹ.

لنلق نظرة الآن على مثال يتضمن معيار المتجه.

إذا كان ﺃ يساوي ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ، وﺏ يساوي أربعة ﺹ، وﺟ يساوي ستة، 𝜋 على ١٠، فإن معيار ﺃ زائد معيار ﺏ زائد معيار ﺟ يساوي (فراغ). (أ) ١٥، (ب) ستة، (ج) ١١، (د) ١٠.

حسنًا، لدينا هنا المتجهات الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ. ونريد إيجاد مجموع قيم معاييرها. بصفة عامة، بالنسبة إلى أي متجه معطى بدلالة مركبتيه ﺱ وﺹ، فإن معياره يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي هاتين المركبتين. يمكننا تطبيق هذه القاعدة على المتجهين ﺃ وﺏ لإيجاد معيار كل منهما. معيار ﺃ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥ أو خمسة ببساطة. يمكننا بعد ذلك تطبيق القاعدة نفسها على المتجه ﺏ. لكن لاحظ أنه بما أن له مركبة واحدة فقط، فإن معياره يساوي معيار هذه المركبة. إذن، معيار المتجه ﺏ يساوي أربعة.

وأخيرًا، نريد إيجاد معيار المتجه ﺟ، والذي نلاحظ أنه غير معطى بصورة مركبتيه الكارتيزيتين، بل بالصورة القطبية. وعندما يكون المتجه معطى بهذه الصورة، فإننا نعلم إذن المسافة القطرية للمتجه من نقطة الأصل، بعبارة أخرى طول المتجه، وكذلك الاتجاه الذي يشير إليه المتجه. الأمر الجيد هو أنه عندما يكون المتجه معطى بهذه الصورة، فإننا نعرف بالفعل معياره. إنه المسافة القطرية ﻝ. إذن، بالنظر إلى المتجه ﺟ، يمكننا ببساطة معرفة معياره. وهو يساوي ستة. وبجمع قيم المعايير الثلاثة معًا، نحصل على خمسة زائد أربعة زائد ستة، وهو ما يساوي ١٥. إذن، بمعلومية المتجهات الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ، فإن مجموع قيم معاييرها يساوي ١٥.

دعونا الآن نختتم هذا الدرس بتلخيص بعض النقاط الأساسية. لقد عرفنا أنه يمكن التعبير عن متجه ثنائي الأبعاد بالصورة الكارتيزية أو القطبية. فبالنسبة إلى المتجه ﻡ، تتضمن صورته الكارتيزية المركبتين ﺱ وﺹ، بينما تتضمن صورته القطبية المسافة القطرية ﻝ والزاوية 𝜃. وبيانيًا، يبدو ارتباط هذه المتغيرات الأربعة هكذا؛ حيث ﻝ هو معيار المتجه ﻡ، و𝜃 هي زاويته المقيسة من الجزء الموجب من المحور ﺱ، وﺱ وﺹ هما مركبتا المتجه. للتحويل من الصورة الكارتيزية إلى الصورة القطبية للمتجه، يمكننا استخدام هاتين العلاقتين ﻝ و𝜃. وللتحويل من الصورة القطبية إلى الصورة الكارتيزية، علمنا أن ﺱ يساوي ﻝ في جتا 𝜃 وﺹ يساوي ﻝ في جا 𝜃.