فيديو السؤال: إيجاد مساحة المنطقة المحددة بدالتين تكعيبية وخطية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة المنطقة المحددة بواسطة ﺹ يساوي ﺱ تكعيب وﺹ يساوي ﺱ.

قبل أن نبدأ في إيجاد مساحة هذه المنطقة، علينا معرفة كيف تبدو. وكي يتضح لنا ذلك، علينا تمثيل هاتين الدالتين بيانيًا. أي ﺹ يساوي ﺱ تكعيب وﺹ يساوي ﺱ على نفس المحورين. نعرف كيف يبدو كل تمثيل بياني منهما على حدة. ‏‏ﺹ يساوي ﺱ تكعيب هو منحنى دالة تكعيبية بسيطة وﺹ يساوي ﺱ هو خط مستقيم بميل موجب. لكن علينا أيضًا معرفة موضع هذين التمثيلين البيانيين بالنسبة لأحدهما الآخر.

ولمعرفة ذلك، علينا إيجاد إحداثيات ﺱ للنقاط التي يتقاطع عندها التمثيلان البيانيان. الآن، كل تمثيل بياني معطى في الصورة ﺹ يساوي عددًا ما. إذن، يمكننا أن نساوي بين الدالتين اللتين تعبران عن ﺹ، لنحصل على معادلة بدلالة ﺱ فقط. وبذلك نحصل على ﺱ تكعيب يساوي ﺱ. يمكننا بعد ذلك طرح ﺱ من طرفي المعادلة، فنحصل على ﺱ تكعيب ناقص ﺱ يساوي صفرًا. ولحل هذه المعادلة، علينا إخراج ﺱ عاملًا مشتركًا من كل حد. فنحصل على ﺱ مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص واحد يساوي صفرًا. وفي الواقع، يمكننا المضي خطوة أخرى لأن العامل الثاني ﺱ تربيع ناقص واحد هو فرق بين مربعين. ومن ثم، يمكن تحليله إلى ﺱ ناقص واحد مضروبًا في ﺱ زائد واحد.

وبذلك أصبحت المعادلة لدينا ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص واحد مضروبًا في ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. ولإيجاد الحل، علينا أن نأخذ كل عامل تباعًا، ونساويه بصفر، ونحل المعادلة الخطية الناتجة. في البداية، لدينا ﺱ يساوي صفرًا، ثم ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا، وهو ما يعطينا ﺱ يساوي واحدًا، وأخيرًا ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا، وبذلك ﺱ يساوي سالب واحد. وبذلك نجد أن هذين التمثيلين البيانيين يتقاطعان عند ثلاث نقاط بإحداثيات ﺱ، وهي صفر وواحد وسالب واحد.

تجدر الإشارة إلى أنه من المهم للغاية حل هذه المعادلة بالتحليل وإخراج العامل المشترك ﺱ أولًا من الحدين. ولا نقسم المعادلة بدلًا من ذلك على ﺱ لنحصل على ﺱ تربيع ناقص واحد يساوي صفرًا. لو كنا فعلنا ذلك، لأصبح الحلان الوحيدان هما ﺱ يساوي موجب وسالب واحد. وما كنا سنصل إلى الحل ﺱ يساوي صفرًا. لذا، علينا الحرص على مراعاة ذلك. وألا نقسم على ﺱ. بل نحلل بأخذ العامل المشترك ﺱ كلما أمكن. ومن ثم، نتأكد من عدم استبعاد أي حلول.

والآن بعد أن عرفنا الإحداثيات ﺱ للنقاط الثلاث التي يتقاطع عندها هذان التمثيلان البيانيان، يمكننا رسمهما على نفس المحورين. أولًا، نرسم ﺹ يساوي ﺱ تكعيب. نعلم، بعد ذلك، أن التمثيل البياني ﺹ يساوي ﺱ يجب أن يتقاطع مع هذا المنحنى عند ثلاث نقاط: عند ﺱ يساوي سالب واحد وعند ﺱ يساوي صفرًا وعند ﺱ يساوي واحدًا. نعلم أيضًا أن ﺱ تكعيب سيكون أكبر من ﺱ بالنسبة إلى قيم ﺱ الأكبر من واحد. إذن، التمثيل البياني ﺹ يساوي ﺱ تكعيب سيكون أعلى التمثيل البياني ﺹ يساوي ﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من واحد. لذا نضيف المستقيم ﺹ يساوي ﺱ إلى الشكل.

والآن، يمكننا ملاحظة مساحة المنطقة التي نبحث عنها. إنها مساحة المنطقة الكاملة المحصورة بين التمثيلين البيانيين. إذن، المساحة الآن مظللة باللون الأخضر. الآن، لاحظ أن هذه المساحة تتكون من منطقتين مختلفتين. ويكمن وجه الاختلاف في أنه في المنطقة واحد، يقع التمثيل البياني ﺹ يساوي ﺱ تكعيب أعلى التمثيل البياني ﺹ يساوي ﺱ. بينما في المنطقة اثنين، يقع التمثيل البياني ﺹ يساوي ﺱ أعلى التمثيل البياني ﺹ يساوي ﺱ تكعيب. أولًا، دعونا نتناول المنطقة اثنين. الآن، نعلم أنه لإيجاد المساحة المحصورة بين مستقيم ومنحنى، يمكننا استخدام التكامل. وما علينا فعله هو طرح معادلة المنحنى السفلي من معادلة المنحنى العلوي.

في هذه الحالة، ﺹ يساوي ﺱ هو المنحنى العلوي أو المستقيم العلوي. وبذلك، لدينا تكامل ﺱ ناقص ﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ. حدود هذا التكامل هي قيم ﺱ التي يتقاطع عندها المنحنيان أو المنحنى في المستقيم. ومن ثم، فإن حدي التكامل سيكونان صفرًا وواحدًا. ومن ثم، فإن مساحة المنطقة اثنين تساوي التكامل المحدد من صفر إلى واحد لـ ﺱ ناقص ﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا إيجاد مساحة المنطقة واحد بنفس الطريقة. هذه المرة قيمتا الحدين هما سالب واحد وصفر. وهنا يكون التمثيل البياني ﺱ تكعيب أعلى التمثيل البياني ﺱ. إذن، لدينا التكامل من سالب واحد إلى صفر لـ ﺱ تكعيب ناقص ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

دعونا أولًا نوجد التكامل اثنين. نتذكر أنه لإجراء التكامل لقوى ﺱ التي لا تساوي سالب واحد، نزيد الأس بمقدار واحد ثم نقسم على الأس الجديد. إذن، التكامل يساوي ﺱ تربيع على اثنين ناقص ﺱ أس أربعة على أربعة محسوبًا بين صفر وواحد. وهذا كله سيساوي صفرًا عندما يساوي ﺱ صفرًا. إذن، بالتعويض بهذين الحدين، نحصل على واحد تربيع على اثنين ناقص واحد أس أربعة على أربعة، وهو ما يساوي نصف ناقص ربع، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ربع. وبذلك نكون قد أوجدنا مساحة المنطقة اثنين.

ويمكننا إيجاد مساحة المنطقة واحد. من خلال إيجاد قيمة التكامل، نحصل هذه المرة على ﺱ أس أربعة على أربعة ناقص ﺱ تربيع على اثنين محسوبًا بين سالب واحد وصفر. وهذا سيعطينا صفرًا عند التعويض بصفر عن ﺱ. إذن، يصبح لدينا صفر ناقص سالب واحد أس أربعة على أربعة ناقص سالب واحد تربيع على اثنين. وهذا يساوي صفرًا ناقص ربع ناقص نصف، أو صفرًا ناقص سالب ربع، وهو ما يساوي ربعًا. وبذلك، نجد أن مساحة المنطقة واحد تساوي مساحة المنطقة اثنين.

في الواقع، كان بإمكاننا استخدام التماثل الدوراني للتمثيلين البيانيين لكل من ﺹ يساوي ﺱ وﺹ يساوي ﺱ تكعيب للتوصل إلى ذلك. وعليه، كان بإمكاننا ببساطة إيجاد مساحة إحدى هاتين المنطقتين ثم مضاعفتها لإيجاد المساحة الكلية. ولكن إن لم يتسن ذلك، يمكننا ببساطة جمع المساحتين المنفصلتين معًا: ربع زائد ربع، وهو ما يساوي نصفًا.

إذن باستخدام التكامل المحدد، استطعنا إيجاد مساحة المنطقة المحددة بين المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تكعيب والمستقيم ﺹ يساوي ﺱ، وهو ما يساوي نصفًا.