شارح الدرس: المساحة بين المنحنيات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد مساحة المنطقة المحدَّدة بدوال مثلثية وخطية

أوجد مساحة المنطقة المحدَّدة بالمنحنيات ، ، ، .

الحل

من المفيد هنا أن نرسم تمثيلًا بيانيًّا للدوال لتحديد المساحة التي نحسبها؛ وخاصة النقاط التي يتقاطع عندها المستقيم والمنحنى. ولإيجاد هذه النقاط، نتذكَّر أن ميل يساوي ١ عند ، ثم يتناقص المنحنى ويتذبذب، ولكنه لا يتجاوز ١ أبدًا. ميل المستقيم يساوي ١ أيضًا لكل قيم . ومن ثَمَّ، فإن المستقيم، ، سوف يظل أعلى المنحنى ، وسيتقاطع المنحنيان مرة واحدة فقط عند .

المستقيمان الآخران رأسيان عند ، .

تذكَّر أن المساحة المحدَّدة بالمنحنيين، ، ، والخطين الرأسيين، ، ، تُعطى بواسطة:

في هذه الحالة، لدينا مستقيم واحد، ، يقع أعلى منحنى خلال الفترة، ، ومستقيمان رأسيان، ، ، وكل ذلك يُحدِّد المنطقة التي سنشير إلى مساحتها بـ . ومن ثَمَّ، فإن المساحة تُعطى بواسطة:

التكامل بالنسبة إلى يُعطينا:

بحساب ذلك عند الحدين، نحصل على:

مثال ٢: إيجاد مساحة المنطقة المحدَّدة بدالتين تكعيبية وخطية

أوجد مساحة المنطقة المحدَّدة بواسطة ، .

الحل

قد يكون من المفيد رسم تمثيل بياني للدالتين لنُحدِّد المساحة التي نحسبها. سيكون علينا معرفة النقاط التي يتقاطع عندها المنحنيان، والتي يمكن إيجادها سريعًا بحل المعادلة:

في هذه الحالة، لدينا:

وبإعادة الترتيب ثم التحليل، يصبح لدينا:

وبالحل لإيجاد قيم ، نجد أن:

ومن ثَمَّ، يتقاطع المنحنيان عند ، ، . الدالة التكعيبية، ، سوف تتزايد أسرع من الدالة الخطية، ، وذلك بالنسبة إلى قيم الكبيرة؛ سواء كانت موجبة أو سالبة. باستخدام هذه المعلومات، يمكننا رسم المنحنيين بالشكل الآتي:

تذكَّر أن المساحة المحدَّدة بالمنحنيين، ، ، والخطين الرأسيين، ، ، تُعطى بواسطة:

في هذه الحالة، بالنسبة إلى قيم السالبة، يقع منحنى الدالة التكعيبة أعلى منحنى الدالة الخطية، وبالنسبة إلى قيم الموجبة، يقع منحنى الدالة التكعيبة أسفل منحنى الدالة الخطية. وهذا يعني أنه إذا حسبنا مساحة المنطقتين كلٌّ على حدة؛ أي الفرق بين الدالتين، ستكون إشارة قيمتَي التكاملين مختلفة لكلتا المنطقتين.

الدالتان فرديتان؛ أي إن ، ؛ لذا، فكلتاهما غير متماثلتين حول المحور . ومن ثَمَّ، نعرف أن المساحتين متساويتان ومتقابلتان في الإشارة، وأن كلًّا منهما تحذف الأخرى، لنحصل في النهاية على صفر.

يمكننا التغلُّب على ذلك بحساب تكامل المنطقتين كلٌّ على حدة، وأخذ القيم المطلقة، ثم جمعها معًا. ثمة طريقة أسرع هي الاستفادة من معرفتنا بأن الدالتين فرديتان؛ ومن ثَمَّ، فإن مساحة كلتا المنطقتين متساوية. وبناءً على ذلك، يمكننا ببساطة حساب مساحة منطقة واحدة ثم مضاعفتها لإيجاد المساحة الكلية.

بالتعويض بالدالتين المُعطاتين والحدَّيْن ، (المنطقة أسفل الجزء السالب من المحور ) في صيغة المساحة، يُصبح لدينا:

وبإجراء التكامل بالنسبة إلى ، يصبح لدينا:

هذه هي مساحة المنطقة التي تقع على يسار المحور . بمضاعفة هذه المساحة نحصل على المساحة الكلية، كالآتي:

مثال ٣: إيجاد مساحة المنطقة المحدَّدة بمنحنيين متقاطعين

المنحنيان الموضَّحان هما ، . ما مساحة المنطقة المظلَّلة؟ أعطِ إجابة دقيقة.

الحل

هيا أولًا نُحدِّد كل منحنى والدالة التي يمثِّلها على التمثيل البياني. لقيم الكبيرة، تزيد قيمة أسرع من ؛ ومن ثَمَّ، تقل قيمة أسرع من . إذن المنحنى السفلي في الجانب الأيمن من التمثيل البياني هو منحنى الدالة .

تذكَّر أن المساحة المحدَّدة بالمنحنيين، ، ، والخطين الرأسيين، ، تُعطى بواسطة:

في هذا المثال، يقطع المنحنيان أحدهما الآخر عند نقطة داخل المنطقة التي علينا حساب مساحتها. تذكَّر ذلك؛ بما أننا نأخذ الفرق بين دالتين داخل التكامل، ، إذن إشارة قيمة التكامل التي نحسبها ستعتمد على أيٍّ من المنحنيين يقع أعلى الآخر. في المنطقة التي فيها أعلى ، تكون قيمة التكامل موجبة، والعكس صحيح. وهذا يعني أنه إذا حسبنا التكامل بين الحدَّيْن، فستُحذَف قيمة التكامل من إحدى المنطقتين مع قيمة التكامل من المنطقة الأخرى، ولن نحصل على المساحة الكلية.

ومعنى هذا أن علينا إيجاد مساحة المنطقتين كلٌّ على حدة؛ بعبارة أخرى، المنطقة التي على يسار نقطة تقاطع المنحنيين، والمنطقة التي على يمينها. للقيام بذلك، علينا إيجاد النقطة التي يتقاطع عندها المنحنيان، وهو ما يمكننا إيجاده بحل المعادلة:

في هذه الحالة، لدينا:

بالحل لإيجاد قيمة ، نجد أن:

إذن يتقاطع المنحنيان عند . يمكننا رؤية ذلك بوضوح على التمثيل البياني، لكن من الأفضل دائمًا إيجاد القيمة الدقيقة لذلك.

علينا الآن حساب قيمتَي تكاملَيْن محدَّدين منفصلين. من التمثيل البياني، نرى أن المنطقتين محدَّدتان أيضًا بالخطين الرأسيين ، .

إذن الحدان السفلي والعلوي للتكامل للمنطقة التي على اليسار هما ، ، وبالمثل، الحدان السفلي والعلوي للمنطقة التي على اليسار هما ، .

إذا تابعنا الحل دون تقسيم المنطقتين، فسنحسب المساحة. وهذه المساحة هي:

بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا أن نلاحظ أن هذه النتيجة لا يمكن أن تكون القيمة الصحيحة لمساحة المنطقة المظلَّلة؛ لأنها تبدو أكبر بكثير منها. لإيجاد المساحة الفعلية، علينا بدلًا من ذلك تقسيم التكامل للمنطقتين المنفصلتين على جانبَي نقطة التقاطع، ثم أخذ القيمة المطلقة لكل مساحة ناتجة، ثم جمعهما.

بالفعل، أوجدنا التكامل غير المحدَّد بالأعلى، ويُعطى بواسطة:

إذن، بالنسبة إلى المنطقة الأولى بين ، ، لدينا:

بالنسبة إلى المنطقة الثانية بين ، ، لدينا:

قيمة التكامل سالبة؛ لأن المنحنى يقع أعلى المنحنى ، وقد طرحنا الدالة الأولى من الدالة الأخيرة.

وبما أن المساحة كمية موجبة تمامًا، إذن نأخذ القيمة المطلقة. ومن ثَمَّ، يكون لدينا:

والآن، عند جمع هاتين المساحتين معًا، نُوجِد القيمة الدقيقة لمساحة المنطقة المظلَّلة كالآتي:

مثال ٤: إيجاد المساحة المحدودة بين دالتين خطيتين ودالة مقلوب، ويتضمَّن ذلك تقسيم منطقة التكامل

منطقة في الربع الأول محدَّدة بالمنحنيات ، ، . أوجد مساحة هذه المنطقة.

الحل

قد يكون من المفيد رسم تمثيل بياني للدوال لنرى المساحة التي سنحسبها. علينا معرفة النقاط التي تتقاطع عندها المنحنيات. وفي هذه الحالة تحديدًا، علينا التأكُّد من رسم المنحنيات بدقة. تحديد النقاط التي يكون عندها أحد المنحنيات أعلى منحنى آخر (أيٌّ من المنحنيات)، والنقاط التي تتقاطع عندها المنحنيات، أمر بالغ الأهمية لضمان حساب المساحة حسابًا صحيحًا.

في البداية، نفكِّر في مستقيمَي الدالتين الخطيتين. خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، وميله يساوي ١. خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، وميله يساوي . ومن ثَمَّ، سيظل أسفل الخط المستقيم تمامًا في الربع الأول.

هي دالة مقلوب؛ ومن ثَمَّ، فإن منحناها يكون على شكل قطع زائد لا يمس المحورين أو أبدًا، لكن له خط تقاربٍ عند كليهما. عند ، فإن ، وعند ، فإن ، إذن يمر المنحنى بالنقطتين و.

لدينا الآن المعلومات الكافية لرسم المنحنيين في الربع الأول على النحو الآتي:

تذكَّر أن المساحة المحدَّدة بالمنحنيين، ، ، والخطين الرأسيين، ، ، تُعطى بواسطة:

ولكي يُعبِّر هذا عن المساحة الفعلية، يجب أن تكون الدالة أعلى الدالة بين الخطين ، . لكن في هذه الحالة، يعتمد تحديد أيٌّ من الدالتين أعلى الأخرى على قيمة . بالنظر إلى الرسم، يمكننا أن نرى أن لدينا منطقتين مختلفتين تُشكلان ؛ وذلك كالآتي:

في المنطقة ١، المساحة محدَّدة بالخطين ، .

في المنطقة ٢، المساحة محدَّدة بالخطين ، .

الحد السفلي للمنطقة ١ هو نقطة الأصل، . أما الحد العلوي للمنطقة ١ فهو قيمة عند نقطة تقاطع مع .

وبالمثل، الحد السفلي للمنطقة ٢ هو نفس قيمة عند نقطة تقاطع ، ، والحد العلوي للمنطقة ٢ هو قيمة في نقطة تقاطع ، .

علينا إذن إيجاد قيمتَي عند نقطتَي التقاطع.

النقطة الأولى: تقاطع ، .

لإيجاد قيمة عند نقطة تقاطع هذين المنحنيين، علينا مساواة الدالتين إحداهما بالأخرى، وحل المعادلة الآتية لإيجاد قيم :

بالحل لإيجاد قيم ، نحصل على:

ونظرًا لأن المنحنيين يقعان في الربع الأول، فإن قيمة التي لها علاقة بهذه المسألة هي القيمة الموجبة. ومن ثَمَّ، يتقاطع المنحنيان عند . لاحظ أننا لا نحتاج إلى إيجاد قيمة ؛ لأنها غير ضرورية للتكامل.

النقطة ٢: تقاطع ،

بالمثل، لإيجاد نقطة التقاطع هذه، علينا حل المعادلة الآتية لإيجاد قيم :

بالحل لإيجاد قيم ، نحصل على:

مرة أخرى، قيمة المناسبة هي القيمة الموجبة .

في المنطقة ١، بما أن المستقيم يقع أعلى المستقيم ، إذن نفترض أن ، . ومن ثَمَّ، نجد أن مساحة المنطقة ١ تساوي:

في المنطقة ٢، بما أن المنحنى يقع أعلى المنحنى ، إذن نفترض أن ، . ومن ثَمَّ، مساحة المنطقة ٢ تساوي:

إذن المساحة الكلية للمنطقة، ، تساوي:

مثال ٥: إيجاد مساحة المنطقة المحدَّدة بمنحنيَيْ دالتين تربيعيتين مُعرَّفتين بدلالة ص

أوجد مساحة المنطقة المحدَّدة بواسطة ، .

الحل

قد يكون من المفيد هنا أن نرسم تمثيلًا بيانيًّا للدالتين لتحديد المساحة التي نحسبها؛ لا سيما النقاط التي يتقاطع عندها المنحنيان.

في هذه الحالة، الدالتان ضمنيتان في ؛ وهو ما يعني أن لدينا بدلالة . بالطبع لا يُوجَد ما هو جوهري في كون المتغيِّر المستقل، وكون المتغيِّر التابع كما هو متعارف عليه. ومن ثَمَّ، يمكننا عكس محورَي التمثيل البياني التقليديين ، ، ورسم منحنى الدالتين في المتغيِّر .

عبارة عن قطع مكافئ على شكل حرف U، وهو متماثل حول المحور ، ويقطع المحور عند .

عبارة عن قطع مكافئ على شكل حرف n، وهو متماثل حول المحور ، ويقطع المحور عند .

أما عند تدوير المحورين ليصبحا على الطريقة التقليدية، فسيبدو التمثيل البياني كالآتي:

تذكَّر أن المساحة المحدَّدة بالمنحنيين ، ، والخطين الرأسيين، ، ، تُعطى بواسطة:

لكن في هذه الحالة، لدينا منحنيان مُعرَّفان؛ حيث دالة في . علينا إذن تعديل الدالة التي سنُجري التكامل لها عن طريق تبديل هذين المتغيِّرين. لاحظ أيضًا أن حدَّي التكامل سيصبحان قيمتين لـ بدلًا من قيم .

ومن ثَمَّ، فإن المساحة المحدَّدة بالمنحنيين ، ، والخطين الأفقيين، ، ، تُعطى بواسطة:

والآن، نُجري التكامل بالنسبة إلى .

بالنظر إلى الرسم الأول؛ حيث قيم على المحور الرأسي، يمكننا أن نرى المنحنى يقع دائمًا أعلى المنحنى ، وذلك بالنسبة إلى المساحة المحدَّدة، إذن نفترض أن ، . ومن ثَمَّ، فإن الحدَّيْن العلوي والسفلي للتكامل سيكونان قيمتَي عند نقطتَي تقاطع المنحنيين.

لإيجاد نقطتَي التقاطع، علينا حل المعادلة لإيجاد قيم ، إذن:

وبالحل لإيجاد قيم ، يصبح لدينا:

قيمتا لنقطتَي التقاطع؛ ومن ثَمَّ الحدان السفلي والعلوي للتكامل، هما ، .

والآن، لدينا كل ما نحتاج إليه لإيجاد مساحة المنطقة المحدودة على النحو الآتي:

بإجراء التكامل بالنسبة إلى ، يصبح لدينا: