فيديو الدرس: المساحة بين المنحنيات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق التكامل لحساب المساحة بين منحنيات دالتين أو أكثر. في هذه المرحلة، لا بد أنك أصبحت متمكنًا من تطبيق عمليات التكامل لحساب التكاملات المحددة وغير المحددة. سنشرح الآن كيف يمكن أن يساعدنا التكامل في حساب مساحة المناطق التي تقع بين منحنيات دالتين أو أكثر.

لدينا منطقة تقع بين المنحنى الذي معادلته ﺹ يساوي ﺩ في المتغير ﺱ والمحور ﺱ، وهي محددة بالخطين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ. وقد ظللت هذه المنطقة باللون الوردي. إذا كانت ﺩ دالة متصلة، نعلم أنه يمكن حساب مساحة هذه المنطقة بإيجاد قيمة تكامل الدالة ﺩ لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين حدي التكامل ﺃ وﺏ.

والآن دعونا نضف منحنى آخر إلى التمثيل البياني. هذه المرة معادلة المنحنى هي ﺹ يساوي ﺭ لـ ﺱ، حيث ﺭ دالة متصلة وﺭ لـ ﺱ أصغر من أو يساوي ﺩ لـ ﺱ في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. مرة أخرى، يمكن أن نحسب مساحة المنطقة بين المنحنى ﺹ يساوي ﺭ لـ ﺱ والمحور ﺱ وهذين الخطين الرأسيين، وقد ظللت هذه المنطقة باللون الأصفر، عن طريق إيجاد قيمة تكامل ﺭ لـ ﺱ بين حدي التكامل ﺃ وﺏ.

نلاحظ أنه إذا طرحنا المساحة بين المنحنى ﺭ لـ ﺱ والمحور ﺱ من المساحة التي تقع بين المنحنى ﺩ لـ ﺱ والمحور ﺱ، سيتبقى لدينا المنطقة ﻡ ثلاثة. إنها المنطقة المحصورة بين المنحنيين ﺹ يساوي ﺩ لـ ﺱ وﺹ يساوي ﺭ لـ ﺱ. وبذلك، يمكننا القول إن مساحة المنطقة ﻡ ثلاثة المحددة بالمنحنيين ﺹ يساوي ﺩ لـ ﺱ وﺹ يساوي ﺭ لـ ﺱ تساوي قيمة تكامل ﺩ لـ ﺱ بين ﺃ وﺏ ناقص قيمة تكامل ﺭ لـ ﺱ بين ﺃ وﺏ.

لكننا نعلم أيضًا أن مجموع تكاملي دالتين أو الفرق بينهما يساوي تكامل مجموع هاتين الدالتين أو الفرق بينهما. إذن، يمكننا القول إن المساحة تساوي تكامل ﺩ لـ ﺱ ناقص ﺭ لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ. وهذا يقودنا إلى التعريف الأول. مساحة المنطقة ﻡ المحددة بالمنحنيين ﺹ يساوي ﺩ لـ ﺱ وﺹ يساوي ﺭ لـ ﺱ، والخطين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ، حيث ﺩ وﺭ دالتان متصلتان وﺩ لـ ﺱ أكبر من أو تساوي ﺭ لـ ﺱ في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، تساوي قيمة التكامل المحدد لـ ﺩ لـ ﺱ ناقص ﺭ لـ ﺱ بين حدي التكامل ﺃ وﺏ.

لاحظ هنا أن ﺩ لـ ﺱ أكبر من أو يساوي ﺭ لـ ﺱ لكل قيم ﺱ الواقعة بين ﺃ وﺏ بما في ذلك هاتان النقطتان. ويجب الانتباه للحالات التي تختلف عن هذه الحالة والتصرف بما يناسبها. لكن الآن سنتناول تطبيق هذه الصيغة.

أوجد مساحة الجزء المحصور بين المنحنيين ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ وﺹ يساوي سالب خمسة ﺱ تربيع.

تذكر أن مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ﺹ يساوي ﺩ لـ ﺱ، وﺹ يساوي ﺭ لـ ﺱ، والخطين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ، للدالتين المتصلتين ﺩ وﺭ، حيث ﺩ لـ ﺱ أكبر من أو يساوي ﺭ لـ ﺱ لكل قيم ﺱ في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، تساوي التكامل المحدد بين الحدين ﺃ وﺏ لـ ﺩ لـ ﺱ ناقص ﺭ لـ ﺱ. لذلك سنحتاج إلى تعريف الدالتين ﺩ لـ ﺱ وﺭ لـ ﺱ بحرص وأيضًا قيمتي ﺃ وﺏ، للتأكد من أن ﺩ لـ ﺱ أكبر من ﺭ لـ ﺱ في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ.

يمثل الخطان ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ بداية ونهاية المنطقة المطلوب حساب مساحتها. إذن، ما معادلتا هذين الخطين؟ إنهما الإحداثيان ﺱ عند نقطتي تقاطع المنحنيين معًا. لذا يمكننا أن نساوي بين المعادلتين ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ وسالب خمسة ﺱ تربيع، ثم نحل لإيجاد قيمة ﺱ.

نبدأ بإضافة خمسة ﺱ تربيع للطرفين. ثم نحلل المقدار الذي في الطرف الأيمن بأخذ العامل المشترك ﺱ. نحصل على ﺱ في ثمانية ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا. نعلم أنه لكي تكون هذه العبارة صحيحة، فلا بد أن يكون ﺱ يساوي صفرًا أو ثمانية ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا. لحل هذه المعادلة التي على اليسار، نضيف خمسة ثم نقسم الطرفين على ثمانية. نحصل على ﺱ يساوي خمسة أثمان.

وبالتالي نجد أن الإحداثيين ﺱ لنقطتي تقاطع المنحنيين هما صفر وخمسة أثمان. إذن ﺃ يساوي صفرًا وﺏ يساوي خمسة أثمان. والآن علينا أن نقرر أي الدالتين هي ﺩ لـ ﺱ وأيهما ﺭ لـ ﺱ. بعد ذلك، نرسم التمثيلين البيانيين للمنحنيين ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ وﺹ يساوي سالب خمسة ﺱ تربيع. والآن علينا أن نحدد أي المنحنيين سيكون بالأعلى.

نعلم أن المنحنى ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ سيكون في صورة قطع مكافئ على شكل حرف U. يمكننا أن نحلل المقدار ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ ونساويه بالصفر ونحل لإيجاد قيمة ﺱ. وبذلك نجد أنه يمر بالمحور ﺱ عند صفر وخمسة أثلاث. إذن سيبدو المنحنى بهذا الشكل. أما المنحنى ﺹ يساوي سالب خمسة ﺱ تربيع فسيأخذ شكل قطع مكافئ مقلوب يمر بنقطة الأصل بهذا الشكل. وبذلك نحصل على المنطقة المظللة.

نلاحظ الآن أنه في الفترة المغلقة من صفر إلى خمسة أثمان، الدالة التي في الأعلى هي الدالة المعرفة بـ ﺹ يساوي سالب خمسة ﺱ تربيع. إذن، يمكننا القول إن ﺩ لـ ﺱ تساوي سالب خمسة ﺱ تربيع. أي إن ﺭ لـ ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ. ولذا فلا بد أن المساحة المطلوبة تساوي قيمة التكامل المحدد بين صفر وخمسة أثمان لسالب خمسة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

بفك الأقواس، تصبح الدالة التي سنوجد قيمة تكاملها هي سالب ثمانية ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ. لكن مهلًا، نحن نعلم أنه عندما نحسب المساحات أسفل المحور ﺱ، نحصل على نتيجة مثيرة. نحصل على قيمة سالبة. يمكن أن توقف الفيديو قليلًا وتفكر فيما يعنيه ذلك في هذا المثال. هل عرفت الإجابة؟ يمكننا ملاحظة أن المنطقة بالكامل تقع أسفل المحور ﺱ ونحن نحسب الفرق بين مساحتين. لذا فالنتيجتان السالبتان اللتان سنحصل عليهما من تكامل كل دالة على حدة، ستلغي إحداهما الأخرى ببساطة. ويتبقى الآن أن نحسب قيمة هذا التكامل.

تكامل سالب ثمانية ﺱ تربيع يساوي سالب ثمانية ﺱ تكعيب على ثلاثة. وتكامل خمسة ﺱ يساوي خمسة ﺱ تربيع على اثنين. علينا إيجاد قيمة التكامل بين صفر وخمسة أثمان، وهي تساوي سالب ثمانية أثلاث في خمسة أثمان تكعيب زائد خمسة على اثنين في خمسة أثمان تربيع ناقص صفر. وهذا يساوي ١٢٥ على ٣٨٤ وحدة مربعة. كان هذا السؤال مباشرًا إلى حد ما لأن المنحنى ﺹ يساوي سالب خمسة ﺱ تربيع كان أكبر من أو يساوي المنحنى ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ في الفترة المعطاة.

والآن دعونا نر ما يمكننا فعله في حالات أخرى.

المنحنيان الموضحان هما ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ وﺹ يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. ما مساحة المنطقة المظللة؟ أعط إجابة دقيقة.

تذكر أن مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ﺹ يساوي ﺩ لـ ﺱ وﺹ يساوي ﺭ لـ ﺱ، والخطين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ للدالتين المتصلتين ﺩ وﺭ، حيث ﺩ لـ ﺱ أكبر من أو يساوي ﺭ لـ ﺱ لكل قيم ﺱ في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، تعطى بالتكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩ لـ ﺱ ناقص ﺭ لـ ﺱ.

الآن، لدينا مشكلة هنا بالفعل. نرى بوضوح أن المنطقة محددة بالخطين الرأسيين ﺱ يساوي ٠٫٥ وﺱ يساوي اثنين. لكن في الفترة المغلقة حيث ﺱ من ٠٫٥ إلى اثنين، نرى أن إحدى الدالتين ليست دائمًا أكبر من أو تساوي الدالة الأخرى. لذا لا يمكننا تطبيق هذا التعريف. لكن إذا قسمنا المنطقة إلى منطقتين، فسنحقق الشرط المطلوب. لقد رسمت خطًا ثالثًا عند نقطة تقاطع المنحنيين. ومعادلته هي ﺱ يساوي واحدًا.

في الفترة المغلقة من ٠٫٥ إلى واحد، تكون القيم الواقعة على الخط الأحمر دائمًا أكبر من أو تساوي تلك الواقعة على الخط الأخضر. وفي الفترة المغلقة حيث ﺱ بين واحد واثنين، يكون العكس صحيحًا. وهكذا فكل ما سنفعله هو تقسيم المنطقة ثم جمع القيمتين في النهاية. لنوجد مساحة المنطقة الأولى، ﻡ واحد. لنفعل ذلك، علينا التحقق من معادلة كل خط. يمكن أن نخمن أن معادلة الخط الأحمر هي واحد على ﺱ تربيع. لكن لنختر زوجًا من الإحداثيات ونعوض بقيمته لنتأكد.

نلاحظ أن المنحنى يمر بالنقطة التي إحداثياتها ٠٫٥ و٤. إذن نعوض بـ ﺱ يساوي ٠٫٥ في المعادلة ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. بذلك سنحصل على ﺹ يساوي واحدًا على ٠٫٥ تربيع، وهذا يساوي واحدًا على ٠٫٢٥، أي أربعة كما أردنا. إذن، معادلة الخط الأحمر هي ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ تربيع ومعادلة الخط الأخضر هي ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. وعندما نحسب المساحة ﻡ واحد، نجد أن ﺩ لـ ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ تربيع وﺭ لـ ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ.

إذن نحصل على المساحة بإيجاد قيمة التكامل المحدد بين حدي التكامل ٠٫٥ وواحد لواحد على ﺱ تربيع ناقص واحد على ﺱ. ولا يتبقى هنا إلا أن نحسب قيمة هذا التكامل. وسيكون هذا أسهل إذا أعدنا كتابة واحد على ﺱ تربيع في صورة ﺱ أس سالب اثنين ثم نتذكر بعض القواعد الأساسية. لحساب تكامل ﺱ أس سالب اثنين، نضيف واحدًا إلى الأس ثم نقسم على هذا العدد الجديد. وبذلك نحصل على ﺱ أس سالب واحد على سالب واحد، وهذا يساوي سالب واحد على ﺱ. لكن تكامل واحد على ﺱ هو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. إذن التكامل المطلوب يساوي سالب واحد على ﺱ ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ.

والآن سنحسب قيمة التكامل بين ﺱ يساوي ٠٫٥ وﺱ يساوي واحدًا. إذن لدينا سالب واحد على واحد ناقص اللوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص سالب واحد على ٠٫٥ ناقص اللوغاريتم الطبيعي لـ ٠٫٥. لاحظ أنني حذفت رمز القيمة المطلقة لأن القيمتين واحدًا و٠٫٥ موجبتان بالفعل. اللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا. سالب واحد على واحد يساوي سالب واحد. وسالب واحد على ٠٫٥ يساوي اثنين. لقد أعدت كتابة اللوغاريتم الطبيعي لـ ٠٫٥ في صورة اللوغاريتم الطبيعي لنصف وفككت الأقواس. وتبسيط ذلك يعطينا واحدًا زائد اللوغاريتم الطبيعي لنصف.

ومن المهم للغاية أن تعرف متى يمكننا تبسيط حد لوغاريتمي. سنعيد كتابة اللوغاريتم الطبيعي لنصف في صورة اللوغاريتم الطبيعي لاثنين أس سالب واحد. ثم نستفيد من حقيقة أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ أس ﺏ يساوي ﺏ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ. لنجد أن مساحة المنطقة الأولى ﻡ واحد تساوي بالضبط واحدًا ناقص اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.

لنمسح جزءًا من الشاشة ونكرر هذه العملية مع المنطقة الثانية. هذه المرة الخط الأخضر يقع فوق الخط الأحمر، لذلك سنجعل ﺩ لـ ﺱ يساوي واحدًا على ﺱ وﺭ لـ ﺱ يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. هذه المساحة تساوي قيمة التكامل المحدد بين واحد واثنين لواحد على ﺱ ناقص واحد على ﺱ تربيع، وبالتكامل نحصل على اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد واحد على ﺱ. بحساب قيمة التكامل بين الحدين واحد واثنين، نحصل على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين زائد نصف ناقص اللوغاريتم الطبيعي لواحد زائد واحد، وهو ما يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ناقص نصف.

نريد إيجاد مساحة المنطقة بالكامل، لذلك سنجمع القيمتين معًا. نحصل على واحد ناقص اللوغاريتم الطبيعي لاثنين زائد اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ناقص نصف، وبتبسيط ذلك نحصل على نصف. مساحة المنطقة المظللة تساوي نصف وحدة مربعة. رأينا في هذا المثال أنه يمكن تطبيق صيغة المساحة لإيجاد المساحة بين منحنيين، حيث يقع أحدهما فوق الآخر في جزء من فترة التكامل، ويحدث العكس في الجزء الثاني من الفترة، بشرط أن نتذكر أن نقسم المساحة عند نقطة تقاطع المنحنيين.

وسنرى الآن كيف يمكننا تطوير هذه الصيغة لتساعدنا في إيجاد مساحة منطقة محددة بثلاثة منحنيات.

أوجد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيات ﺹ يساوي أربعة ناقص ﺱ تربيع، وﺹ يساوي سالب ﺱ، وﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ. قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

تذكر أنه بالنسبة للدالتين المتصلتين ﺩ وﺭ، فإن مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ﺹ يساوي ﺩ لـ ﺱ، وﺹ يساوي ﺭ لـ ﺱ، والخطين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ، حيث ﺩ لـ ﺱ أكبر من أو يساوي ﺭ لـ ﺱ في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، تساوي قيمة التكامل بين ﺃ وﺏ لـ ﺩ لـ ﺱ ناقص ﺭ لـ ﺱ. لكن علينا أن ننتبه هنا لأن لدينا ثلاثة منحنيات. دعونا نبدأ برسم المنحنيات ونر ما الذي نتعامل معه.

تبدو المساحة المحاطة بثلاثة منحنيات بهذا الشكل تقريبًا. إذا كنا نمتلك بعض المهارة، سنتمكن بالفعل من استخدام التعريف الذي استخدمناه سابقًا. يمكن أن نقسم هذه المساحة إلى منطقة أعلى المحور ﺱ ومنطقة أسفل المحور ﺱ. ثم يمكننا أن نقسم هذه المنطقة مرة أخرى. لدينا هنا ﻡ واحد، وهي المنطقة التي تقع بين المحور ﺱ والمنحنى ﺹ يساوي جذر ﺱ بين ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي ﺏ. وﺏ هو الإحداثي ﺱ لنقطة تقاطع المنحنيين ﺹ يساوي جذر ﺱ وﺹ يساوي أربعة ناقص ﺱ تربيع.

ثم لدينا ﻡ اثنان. وهي المنطقة التي تقع بين ﺹ يساوي أربعة ناقص ﺱ تربيع، وﺱ يساوي ﺏ وﺱ يساوي اثنين. والسبب في اختيار ﺱ يساوي اثنين باعتباره الحد العلوي هو أنه يمثل قيمة ﺱ عند النقطة التي يقطع المنحنى عندها المحور ﺱ. ويمكن أن نقسم المنطقة الثالثة إلى منطقتين لتسهيل المسألة. ولكن لنحسب أولًا مساحة ﻡ واحد ومساحة ﻡ اثنين. علينا إيجاد قيمة ﺏ.

قلنا سابقًا إنها الإحداثي ﺱ لنقطة تقاطع المنحنيين أربعة ناقص ﺱ تربيع وجذر ﺱ. لذا سنساوي بين المعادلتين ونحل لإيجاد قيمة ﺱ. نجد أن قيمة ﺱ تساوي ١٫٦٤٨، بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية. إذن ﺏ يساوي ١٫٦٤٨. يمكننا أن نحسب قيمة كل من هذين التكاملين باستخدام آلة حاسبة رسومية أو من دونها. مساحة ﻡ واحد تساوي ١٫٤١٠٤ وهكذا مع توالي الأرقام. ومساحة ﻡ اثنين تساوي ٠٫٢٣٣٢٦ وهكذا مع توالي الأرقام.

والآن دعونا نحسب مساحة ﻡ ثلاثة. وهي قيمة التكامل بين صفر واثنين لسالب ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. علينا أن ننتبه هنا، فبما أن هذه المنطقة تقع أسفل المحور ﺱ، فسوف نحصل على قيمة سالبة للتكامل. في الحقيقة، سنحصل على سالب اثنين. لذا يمكننا القول إن المساحة تساوي القيمة المطلقة لهذا التكامل. وهي اثنان. لاحظ أنه كان بإمكاننا أن نستخدم صيغة إيجاد مساحة المثلث لحساب هذه المساحة.

والآن، مساحة ﻡ أربعة تساوي قيمة التكامل المحدد بين اثنين وﺟ لأربعة ناقص ﺱ تربيع ناقص سالب ﺱ. وهنا، ﺟ هو الإحداثي ﺱ لنقطة تقاطع الخطين ﺹ يساوي سالب ﺱ وﺹ يساوي أربعة ناقص ﺱ تربيع. ومرة أخرى، يمكننا المساواة بين أربعة ناقص ﺱ تربيع وسالب ﺱ ثم نحل لإيجاد قيمة ﺱ. وبذلك نجد أنهما يتقاطعان عند نقطة إحداثيها ﺱ يساوي ٢٫٥٦٢، بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية. نكتب ذلك على الآلة الحاسبة لنجد أن مساحة هذه المنطقة تساوي ٠٫٥٩١٠٦. نحسب مجموع هذه المساحات الأربع فنجد أنه يساوي ٤٫٢٣٤٧، أي ٤٫٢ وحدات مربعة، بالتقريب لأقرب منزلة عشرية.

في هذا الفيديو، رأينا أنه يمكننا استخدام الصيغة التي تنص على أن المساحة تساوي قيمة التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩ لـ ﺱ ناقص ﺭ لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ للدالتين المتصلتين ﺩ وﺭ، حيث ﺩ لـ ﺱ أكبر من أو يساوي ﺭ لكل قيم ﺱ الواقعة في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. كما رأينا أنه في المساحات الأكثر تعقيدًا، مثل تلك المحددة بثلاثة منحنيات أو أكثر، أو تلك التي يقع جزء منها أعلى المحور ﺱ وجزء منها أسفله، أو تلك التي يتبادل فيها المنحنيان ﺩ لـ ﺱ وﺭ لـ ﺱ موضعيهما، قد نحتاج إلى تقسيم المنطقة المطلوبة لأكثر من منطقة.