شارح الدرس: تمثيل القيم الكبيرة للكميات الفيزيائية الفيزياء • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم الصيغة العلمية وبادئات الوحدات لضرب قيم الكميات الفيزيائية في القوى المختلفة للعدد عشرة، أو قسمتها على القوى المختلفة للعدد عشرة.

عادةً ما تُقابلنا قيم كبيرة للغاية خلال دراستنا للكون، فعلى سبيل المثال، قُدِّر عدد الحشرات التي تعيش على الأرض بحوالي 10‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000 حشرة. في الأوساط العلمية، بينما نسجل النتائج التي نحصل عليها ونستخدمها لإجراء العمليات الحسابية، ونشر النتائج، يمكن أن نتعامل مع عدد ضخم يحتوي على العديد من الأصفار (19 صفرًا في هذه الحالة) تصعب كتابته، وقد نرتكب خطأً أثناء كتابته. يمكن التعبير عن القيمة أعلاه بالصيغة العشرية، حيث تُمثل الكميات من خلال تعيين قيمة لكل قوة للعدد عشرة في النظام العشري. وكل قوة للعدد عشرة تمثلها «خانة»، وأي خانة في العدد تُعيَّن لها قيمة بين صفر وتسعة.

لننظر إلى قيمة أخرى مكتوبة بالصيغة العشرية، 1‎ ‎234.56. يحتوي هذا العدد على ست خانات مختلفة تمثل مواضع مختلفة في النظام العشري (أو قوى العدد عشرة، التي سنتحدث عنها لاحقًا). ولحساب إسهام كل قيمة مكانية في أي عدد، نضرب القيمة المحددة للخانة (التي لا بد أن تكون رقمًا واحدًا، يقع بين صفر وتسعة) في القيمة العشرية، أو قوة العدد عشرة، التي تمثلها كل خانة. يوضح الجدول الآتي هذه المعطيات.

يتضح لنا جليًّا الآن كيف تجمع هذه الخانات المنفصَّلة وقيمها لتكوين كمية واحدة. وبجمع إسهاماتها معًا، نجد أن: . تلك هي الفكرة الأساسية للصيغة العشرية: تساهم كل خانة، بقيمتها العشرية المعينة، بكمية معينة في العدد ككل.

تمثل كل خانة مكتوبة بالصيغة العشرية قوة مختلفة للعدد عشرة. على سبيل المثال، تذكر أن خانة العشرات تضرب قيمتها المعينة في 10، وأن خانة المئات تضرب قيمتها المعينة في 100. وكل قيمة مكانية، 1‎ ‎000 ،100، 10، 1، 0.1، 0.01 وما بعدها، يمكن التعبير عنها في صورة 10 مرفوعة لقوة معينة. على سبيل المثال: ، ، . كما يمكن أيضًا التعبير عن الخانات العشرية الأصغر بالطريقة نفسها. تذكر أن أي عدد أس صفر يساوي واحدًا؛ ومن ثَمَّ، يمكننا التعبير عن القيمة المكانية للآحاد على الصورة . علاوة على ذلك، يمكن التعبير عن الأعداد العشرية في صورة 10 مرفوعة لعدد سالب. على سبيل المثال، نعرف أن: ، .

قد يكون من البديهي أن أي قوة كبيرة للعدد عشرة، التي تبدأ بواحد باعتباره الرقم الأول ويتبعه عدد معين من الأصفار، يمكن التعبير عنها في صورة 10 مرفوعًا لأي عدد صحيح موجب؛ ومن ثَمَّ، يمكن كتابة أي كمية في صورة واحد متبوعًا بعدد من الأصفار، طالما أن عدد صحيح موجب. على سبيل المثال، عشرة مرفوعًا للقوة أربعة يُفك ليصبح بالصيغة العشرية واحدًا متبوعًا بأربعة أصفار: . وبالمثل، نعلم أن العدد مليار (1‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000) هو واحد متبوع بتسعة أصفار؛ لذا يمكننا التعبير عنه على الصورة: .

إن التعبير عن عدد في صورة عشرة مرفوعة لقوة معينة يكون أكثر إيجازًا وفاعلية عند التعامل معه عن أسلوب عد وكتابة الكثير من الأصفار. على سبيل المثال، لننظر إلى هذين العددين الكبيرين: 10‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000، 100‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000. للوهلة الأولى، قد تبدو هاتان القيمتان متكافئتين (ولكنهما ليستا كذلك)، وللمقارنة بين مقداريهما، علينا أن نقضي وقتًا في عد أصفار كل من القيمتين وتسجيلها بدقة. ولكن، إذا كان العددان معبَّرًا عنهما في صورة عشرة مرفوعة لقوة معينة، أي ، ، على الترتيب، فمن هذه الصورة يتضح لنا في الحال أن القيمتين غير متكافئتين، ولن يكون هنالك مجال للتخمين أو العد الذي يضيع الوقت لفهم مقداريهما والمقارنة بينهما.

ورغم أن الصيغة العشرية شائعة للغاية ومناسبة بوجه عام لتمثيل الأعداد الأصغر التي يسهل التعامل معها مثل 13 أو 1‎ ‎989، ففي أغلب الأحيان عندما نتعامل مع الأعداد الكبيرة للغاية، مثل عدد الحشرات التي تعيش على الأرض أو عدد النجوم في المجرة، فإن الصيغة العشرية لن تكون هي الطريقة الأنسب. ولحسن الحظ، يمكننا استخدام مفهوم القيم المكانية كقوى للعدد عشرة، كما ذكرنا أعلاه، لتمثيل القيم الكبيرة للكميات الفيزيائية تمثيلًا صحيحًا بالصيغة العلمية.

ويمكن أن تمثل الصيغة العلمية أي قيمة تقع بين واحد وعشرة مضروبة في أحد قوى العدد عشرة. تنتج القيمة بين واحد وعشرة ببساطة من خلال نقل العلامة العشرية للكمية خلف الرقم الأول مباشرة (الذي لا يساوي صفرًا)، ويُعوَّض عن هذا التغيير في موضع العلامة العشرية بضرب القيمة العشرية الجديدة في أحد قوى العدد عشرة. لنطبق هذا المفهوم على مثال.

مثال ١: تحويل قيمة كبيرة من الصيغة العشرية إلى الصيغة العلمية

يوجد 225‎ ‎000 ذرة في سحابة غبار في الفضاء السحيق. ما عدد الذرات في سحابة الغبار، معبَّرًا عنه بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين؟

الحل

لكي يُعبَّر عن الكمية بالصيغة العلمية، يجب أن تكون في صورة قيمة تتراوح من واحد إلى عشرة مضروبة في قوة صحيحة للعدد عشرة. ويجب أن تكون العلامة العشرية مباشرة خلف الرقم الأول الذي لا يساوي صفرًا؛ لذا، علينا أن ننقلها من مكانها الأصلي، كما هو موضَّح أدناه.

ستتحرك العلامة العشرية خمس خانات إلى اليسار لتصبح خلف الرقم الأول من العدد مباشرة. عند تحريك العلامة العشرية، تصبح القيمة 2.25000، أو 2.25 فقط.

ولتجنب تغيير القيمة الكلية للكمية، علينا تمثيل جميع الخانات العشرية التي انتقلناها بقوة ما للعدد عشرة. وبما أن كل خانة عشرية تمثل قوة مختلفة للعدد عشرة، وبما أننا انتقلنا خمس خانات، يمكننا تمثيل ذلك على الصورة: . أصبح لدينا الآن قوة للعدد عشرة وقيمة تقع بين واحد وتسعة (2.25) يمكننا ضربُهما معًا.

ومن ثَمَّ، يمكن التعبير عن عدد ذرة في سحابة الغبار بالصيغة العلمية على الصورة: .

وللتحقق من صحة الحل، يمكننا تحويل هذه الكمية مرة أخرى إلى الصيغة العشرية، باستخدام حقيقة أن: :

وضِّح المثال السابق كيف يمكننا تحريك العلامة العشرية في عددٍ ما، طالما أن التغير في موضع هذه العلامة العشرية يمكن تعويضه عن طريق الضرب في قوة صحيحة للعدد عشرة. لنضع تعريفًا لهذه الصيغة.

يشيع استخدام الصيغة العلمية في الأوساط العلمية للتعبير عن القيم الكبيرة جدًّا أو الصغيرة جدًّا. من المهم التعرُّف على الكميات المكتوبة بهذه الصيغة، كما أنه من المفيد معرفة كيفية التحويل من الصيغة العلمية إلى الصيغة العشرية. تنطبق هذه العملية على المفاهيم نفسها التي تعلمناها حتى الآن؛ ويجب علينا أن نعرف في أي اتجاه نحرك العلامة العشرية وأن نتذكر أنه يجب تحريكها بمقدار عدد الخانات الذي رُفع إليه العدد عشرة. وبالتالي، إذا كانت لدينا كمية مكتوبة بالصيغة العلمية بها العدد عشرة مرفوعًا إلى قيمة موجبة، فإننا ندرك حينها أنه لكتابة الكمية بالصيغة العشرية، علينا تحريك العلامة العشرية ناحية اليمين، لنحصل على قيمة عشرية أكبر؛ ما ينفي الحاجة إلى استخدام مصطلح «قوة العدد العشرة».

مثال ٢: تحويل قيمة كبيرة من الصيغة العلمية إلى الصيغة العشرية

سُخِّنَ قالب من الثلج بطاقة مقدارها: J. ما مقدار الطاقة المُستخدَمة بالجول، مُعبَّرًا عنه بالصيغة العشرية؟

الحل

تم التعبير عن كمية الطاقة في هذا السؤال في صورة قيمة تقع بين واحد وعشرة مضروبة في قوة صحيحة للعدد عشرة؛ وبالتالي، فإننا نعرف أنها مكتوبة بالصيغة العلمية حاليًّا. خلال عملية التحويل، سنركِّز على العدد المصاحب للكمية، ولكن علينا ألَّا ننسى أن لها وحدة أيضًا. تقع العلامة العشرية الآن خلف الرقم الأول للعدد (ثلاثة في هذه الحالة)، ويخبرنا الحد بأنه يجب أن ننقل العلامة العشرية ست خانات إلى اليمين لنحصل على الصيغة العشرية.

وبعد نقل العلامة العشرية بمقدار ست خانات عشرية، أو ست قوى للعدد عشرة، سنضعها في موضعها الجديد، وبهذا نكون قد حصلنا على الصيغة العشرية.

وهكذا، يمكن التعبير عن القيمة J بالصيغة العشرية في صورة 3‎ ‎250‎ ‎000 J.

أثناء حل المثال السابق، ولتجنب الخلط فيما يخص الاتجاه الذي يجب أن تتحرك نحوه العلامة العشرية، تذكر أن: . يعني هذا أن القيمة العشرية الأصلية، 3.25، مضروبة في عدد كبير؛ لذا، يجب تحريك العلامة العشرية إلى اليمين وليس إلى اليسار. وهذا أمر جدير بأن يُذكر عند التحويل بين الصيغة العشرية والصيغة العلمية.

إن تحريك الخانة العشرية إلى اليمين تنتج عنه قيمة عشرية أكبر. أما تحريك الخانة العشرية إلى اليسار فتنتج عن قيمة عشرية أصغر.

مثال ٣: تحويل كمية إلى الصيغة عشرية

طريق طوله m. أي مما يلي يساوي طول الطريق؟

1. 75 m
2. 750 m
3. 7‎ ‎500 m
4. 75‎ ‎000 m
5. 750‎ ‎000 m

الحل

قد تبدو الصيغة مألوفة، ولكن قد لا تكون الكمية معبَّرًا عنها فعليًّا بالصيغة العلمية؛ لأن القيمة 0.75 لا تقع بين واحد وعشرة. ومع ذلك، فإن طريقة ضرب قيمة عشرية في عشرة مرفوعة لقوة لن تختلف؛ وبالتالي، يمكننا فك هذه القيمة إلى الصورة العشرية بالطريقة نفسها التي نتبعها مع عدد مكتوب بالصيغة العلمية.

سنبدأ بالقيمة العشرية 0.75 ثم نعد أربع خانات عشرية إلى اليمين لأننا نضرب القيمة العشرية في ، وهو عدد كبير. تذكر أن تحريك العلامة العشرية إلى اليمين تنتج عنه قيمة عشرية أكبر، بينما تنتج عن تحريكها إلى اليسار قيمة عشرية أصغر؛ الأمر الذي لا ينطبق على هذه الحالة. هذه الخطوة موضَّحة أدناه.

عددنا أربع خانات عشرية نحو اليمين؛ لذا، يمكننا وضع العلامة العشرية في موقعها الجديد. وبذلك، نحصل على القيمة بالصيغة العشرية، كما هو موضَّح فيما يلي.

ومن ثَمَّ، فإن الطول m يمكن التعبير عنه بصورة مكافئة على الصورة 7‎ ‎500 m.

والآن، بعد أن تدربنا على طريقة التعبير عن الصيغة العلمية وقوى العدد عشرة بالأرقام، لنتناول طريقة أخرى يمكن من خلالها تفسير المفاهيم نفسها باستخدام اللغة. أولًا، استعن بالصورة التالية حيث المسافة معبَّر عنها بوحدة الكيلومتر (km).

يمكن أن تستخدم اللافتة أيضًا وحدة طول أخرى مألوفة، مثل السنتيمتر أو المتر، لكن من الأسهل كتابة 2 km بدلًا من «200‎ ‎000 cm» أو«2‎ ‎000 m». لكن في الواقع، جميع هذه القياسات صحيحة؛ لأنها تعبر عن كميات متكافئة؛ ومع ذلك، فمن المنطقي تفضيل استخدام بعضها عن البعض الآخر؛ لأنه من الأسهل بوجه عام متابعة العمليات الحسابية وإجراؤها باستخدام أعداد تحتوى على قيم عشرية أكثر إيجازًا. قد يبدو هذا المفهوم مألوفًا: يمكننا إعادة كتابة كمية كبيرة للحصول على قيمة عشرية يسهل التعامل معها، ما دمنا نعوض عن هذا التغيير بتعديل القياس الأساسي.

يمكن التعبير عن جمع وحدة قياس مع قوة للعدد عشرة باستخدام «بادئة» الوحدة، التي هي جزء من الكلمة التي تسبق الوحدة وتعدلها. وفي هذه الحالة، «متر» هي الوحدة الأساسية، وقد لاحظنا البادئتين «كيلو» و«سنتي»، اللتين تناظران القيمتين ، على الترتيب. تُمثَّل القوى المختلفة للعدد عشرة ببادئات ورموز محددة، كما هو موضح في الجدولين الآتيين.

إن اختيار البادئة أمر متروك لنا، لكن من المفيد بوجه عام اختيار بادئة تحاكي الصيغة العلمية بحيث تنتج قيمة عشرية للكمية تقع بين واحد وعشرة. يوضح الجدول الأيسر بادئات تستخدم لوصف كميات صغيرة جدًّا، مثل «نانو»، وهي عبارة عن كمية مقسومة على مليار، أو ، لكننا سنركز حاليًّا على القيم الكبيرة للكميات الفيزيائية.

ولاستخدام البادئة في القياس، علينا قسمة المقدار المعطى من الكمية بالوحدة الأساسية على قوة العدد عشرة المناظرة ثم إرفاق رمز البادئة باختصار الوحدة. على سبيل المثال، إذا أردنا كتابة 4‎ ‎500‎ ‎000 W باستخدام البادئة «ميجا»، علينا قسمة الكمية 4‎ ‎500‎ ‎000 على ثم إرفاق الرمز M باختصار الوحدة. إذن، أصبحنا نعلم أن: ، وهي طريقة أسرع وأسهل للكتابة والتسجيل.

لاحظ أننا استخدمنا البادئات فقط مع الوحدات. لا يمكن للبادئات بمفردها أن تعدل عددًا، فإذا قلنا إن لدينا «مللي» من شيء ما، فلن تكون الكمية واضحة على الإطلاق؛ وبالتالي، علينا أن نذكر وحدة القياس بحيث يكون لدينا: ملليمتر أو ملليجرام

لنتدرب على هذا المفهوم باستخدام بعض الأمثلة.

في الختام، لنلخص بعض المفاهيم المهمة.