فيديو الدرس: تمثيل القيم الكبيرة للكميات الفيزيائية الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتحدث عن تمثيل القيم الكبيرة للكميات الفيزيائية. عند دراستنا للعالم المادي، تصادفنا بعض الأعداد التي تكون كبيرة جدًّا. ومن الأمثلة على ذلك عدد الذرات في مجرتنا. في هذا الدرس، سنتعلم طريقة لكتابة هذه القيم الكبيرة باستخدام صيغة مختصرة. إلى جانب ذلك، سنتعرف على بعض البادئات التي ستساعدنا في وصف الأعداد الكبيرة جدًّا والصغيرة جدًّا.

في البداية، دعونا نفكر في عدد كبير آخر. وليكن عدد النجوم الموجودة في الكون المرصود. في ذلك الفضاء، أي الجزء الذي يمكننا ملاحظته من الكون، يوجد حوالي 10 مليارات مجرة. وتشير التقديرات إلى أن كل مجرة تحتوي على حوالي 100 مليار نجم. لنفترض أننا ضربنا هذين العددين معًا، أي 10 مليارات مجرة في 100 مليار نجم لكل مجرة. فالناتج الذي سنحصل عليه هو واحد يليه صفر، صفران، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، ثمانية، تسعة، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19، 20، 21 صفرًا.

والآن، لنتناول بعض الملاحظات حول هذا العدد. ربما يكون الشيء الأكثر لفتًا للانتباه في هذا العدد هو عدد الأصفار الموجودة فيه. ولكي نتأكد من أن العدد مكتوب بطريقة صحيحة، علينا أن نمر بكل الأصفار ونعدها. استغرق ذلك بعض الوقت. ومن السهل أن نرتكب خطأ في العد، ونكتب العدد بصورة خاطئة دون قصد. الشيء الثاني الذي نلاحظه هو سهولة الوقوع في الخطأ عند كتابة هذا العدد. فيتطلب الأمر تركيزًا خاصًّا للتأكد من كتابة العدد الصحيح من الأصفار. وأخيرًا، يمكننا ملاحظة أن هذا العدد يشغل مساحة كبيرة على الشاشة. وكان علينا توفير مساحة كبيرة لكل هذه الأصفار. لذا، إذا أردنا كتابة هذا العدد عدة مرات على الشاشة، لكونه مثلًا جزءًا من عملية حسابية، فعلينا أن نحرص على إتاحة مساحة أكبر له كي يتسنى لنا فعل ذلك.

تجدر الإشارة هنا إلى أن هذا العدد، كما كتبناه، هو بالصيغة العشرية. وهذه الطريقة في العد تعتمد على النظام العشري. في هذا النظام، كما رأينا وعرفنا من قبل، تتراوح القيم التي يمكننا كتابتها في أي موضع معين داخل العدد، وليكن هذا الموضع هنا، من صفر حتى تسعة. لمزيد من التوضيح، دعونا ننظر إلى هذا العدد هنا، 1234.56. في هذا العدد، نعلم أن كل رقم من الأرقام يقع في خانة معينة في العدد. على سبيل المثال، الرقم أربعة يقع في خانة الآحاد في العدد. والرقم ثلاثة في خانة العشرات. بينما يقع الرقم اثنان في خانة المئات، والواحد في خانة الآلاف.

بإدراك ذلك، نجد أنه يمكننا كتابة هذه الأرقام المفردة بطريقة أخرى. إذ يمكننا كتابة الرقم الموجود في خانة الآحاد، أي أربعة، في صورة أربعة في 10 أس صفر. تذكر أن أي عدد أس صفر يساوي واحدًا. إذن، هذا يساوي أربعة في واحد. ونعلم أن أربعة في واحد يساوي أربعة. وهو الرقم الموجود في خانة الآحاد. وإذا فكرنا في الرقم الموجود في خانة العشرات، وهو ثلاثة، فيمكننا أن نعبر عنه في صورة ثلاثة في 10 أس واحد، لا أس صفر.

لكن لماذا نفعل ذلك؟ لماذا نضرب ثلاثة في 10 أس واحد بدلًا من ثلاثة في 10 أس صفر؟ السبب هو أن الرقم ثلاثة ليس في خانة الآحاد مثل الأربعة. وإنما في خانة العشرات. لذا، فإننا نضربه في المعامل 10. و 10 أس واحد يساوي 10. إذن وجود الرقم ثلاثة في خانة العشرات يمثل ثلاثة في 10، أي 30. إحدى طرق التفكير في ذلك هي أننا إذا جمعنا هذا العدد، 30، إلى الرقم الموجود في خانة الآحاد، أي أربعة، فسنحصل على الناتج 34. وبالفعل، إذا نظرنا إلى الرقمين الموجودين في خانتي العشرات والآحاد في العدد بالكامل، فسنرى أن هذه هي القيمة الممثلة، 34.

يمكننا الاستمرار في فعل ذلك بالرقم الموجود في خانة المئات، أي اثنين. تمثل هذه القيمة باثنين، وهو الرقم الموجود في هذه الخانة، مضروبًا في 10 أس اثنين. ويمكننا أن نتذكر هنا أن 10 أس اثنين يساوي 10 في 10، أو 100. إذن اثنان في ذلك يساوي 200. ننتقل بعد ذلك إلى خانة الآلاف حيث يوجد الرقم واحد. يمكن تمثيل هذه القيمة بواحد في 10 أس ثلاثة. ‏10 أس ثلاثة يساوي 10 في 10 في 10، وهو ما يساوي 1000. إذن، هذه القيمة إجمالًا تساوي واحدًا في 1000، أي 1000.

لاحظ النمط العام الذي نراه هنا. بالنسبة للرقم الموجود في خانة الآحاد، وهو في هذه الحالة أربعة، سنضربه في 10 أس صفر. وبعد ذلك، بالنسبة للرقم الموجود في خانة العشرات، نضربه في 10 أس واحد. والرقم الموجود في خانة المئات، نضربه في 10 أس اثنين. والرقم الموجود في خانة الآلاف نضربه في 10 أس ثلاثة. وبالمناسبة، إذا فعلنا الأمر نفسه مع الرقمين خمسة وستة اللذين يقعان بعد العلامة العشرية، فسنرى نمطًا مشابهًا. في هذا الموضع، يمكن كتابة الرقم خمسة في صورة خمسة في 10 أس سالب واحد. بينما يمكننا كتابة الستة في صورة ستة في 10 أس سالب اثنين. عندما نفعل ذلك، نحصل على الناتج 0.06. وخمسة في 10 أس سالب واحد يساوي 0.5.

والآن، بعد كتابة هذا كله على الشاشة، لنركز قليلًا على الأعداد المضروبة في 10 أس رقم ما. إذن سننظر إلى هذا المقدار هنا، وهذا المقدار هنا، وهذا، وهذا، وهذا، وهذا. بالنظر إلى هذه المقادير الستة كلها، ما الذي يمكننا ملاحظته؟ أحد الأشياء التي نلاحظها هو أن جميع هذه الأعداد الستة تبدأ برقم ما يقع بين واحد و10. وعندما نقول الرقم الذي تبدأ به هذه الأعداد، فإننا نشير إلى الرقم واحد هنا، والاثنين هنا، والثلاثة هنا، والأربعة هنا، وهكذا. ويكون دائمًا هذا الرقم الابتدائي أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من 10.

ثمة أمر آخر جدير بالملاحظة، وهو أن كل رقم من هذه الأرقام مضروب في 10 أس عدد صحيح. ‏10 أس واحد، و10 أس اثنين، و10 أس سالب اثنين، و10 أس موجب ثلاثة. رأينا ذلك كله في هذا المثال. الآن تصبح الأمور مثيرة للاهتمام. فقد وصفنا ما سبق بأنه ملاحظات، لكن ماذا لو اعتبرناها قواعد لكتابة الأعداد؟ فنقول إن أي عدد نريد كتابته يجب أن يبدأ بعدد أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من 10. ويجب ضربه بعد ذلك في 10 أس عدد صحيح أو كلي. يمكننا أن نرى أمثلة على كيفية تطبيق ذلك باستخدام العدد الذي لدينا هنا، وهو 1234.56.

لنقل، على سبيل المثال، إننا نريد كتابة العدد 1000 باستخدام هذه الطريقة، أي باستخدام هاتين القاعدتين. لقد رأينا كيف يمكننا فعل ذلك. العدد 1000 المكتوب بهذه الطريقة يساوي واحدًا في 10 أس ثلاثة. لقد بدأنا هنا بعدد أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من 10. وبعد ذلك، ضربنا هذا العدد في 10 أس عدد صحيح. إذا دققنا نظرنا في هذه الحالة، فسنرى أننا بدأنا بالعدد واحد. وهذا الواحد موجود هنا. ويمكننا أن نعبر عن هذا الواحد في صورة واحد تليه علامة عشرية. بذلك نكون قد اتبعنا القاعدة الأولى في الطريقة. نطبق بعد ذلك القاعدة الثانية.

فنضرب هذا الواحد في 10 أس ثلاثة. ينتج عن ذلك تحرك العلامة العشرية. فتبدأ في التحرك إلى اليمين. تتحرك خانة، خانتين، ثلاث خانات، أي خانة واحدة لكل قوة من قوى العدد 10 الذي نضربه في واحد. وهكذا نحصل على العدد 1000. نأخذ الرقم الابتدائي الأصلي. نضع علامة عشرية بعده. ونحرك العلامة العشرية بطريقة تتوافق مع عدد قوى العدد 10 المضروب في الرقم الابتدائي.

وبالمناسبة، إذا كان الأس الصحيح سالبًا، كما هو الحال في ستة في 10 أس سالب اثنين، فستنطبق هذه العملية أيضًا. إذ يظل بإمكاننا البدء بكتابة رقم البداية أو الرقم الابتدائي، وهو في هذه الحالة ستة، ثم إتباعه بعلامة عشرية. لكن بما أن العدد الصحيح سالب، فسنحرك العلامة العشرية إلى اليسار عندما نضرب ستة في 10 مرفوعة لهذا الأس، بدلًا من نقلها إلى اليمين. تحديدًا، نحركها بمقدار خانتين. نحصل بذلك على العدد 0.06.

حسنًا، حتى الآن، استخدمنا هذه الطريقة المكونة من خطوتين لكتابة أعداد كبيرة تصل إلى 1000. لكن ماذا لو استطعنا استخدام العملية نفسها لكتابة صيغة مختصرة لأعداد أكبر بكثير؟ لنفكر في العدد الذي يمثل عدد النجوم في الكون المرصود لنرى كيف يمكن أن نفعل ذلك. يمكننا أن نلاحظ أن هذا العدد، بالرغم من كبره، يبدأ بعدد أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من 10. تحديدًا، يبدأ بواحد. ويلي هذا الواحد، كما رأينا من قبل، 21 صفرًا التي أحصيناها. لذا إذا أردنا وضع علامة عشرية في هذا العدد، فسنضعها هنا. وبعد ذلك نكتب الرقم الابتدائي، أي الواحد، في صورة واحد متبوعًا بعلامة عشرية. نلاحظ هنا أنه لكي يمثل هذا العدد العدد الفعلي الذي نريده أن يمثله، سنحتاج إلى تحريك العلامة العشرية 21 خانة جهة اليمين.

وبالطبع، إذا كتبنا ذلك، فكل ما سنحصل عليه هو هذا العدد مكتوبًا مرة أخرى. لكن إذا نظرنا إلى المثال السابق، واحد في 10 أس ثلاثة يساوي 1000، فيمكننا الاعتماد على هذا المثال لكتابة هذا العدد بصيغة مختصرة. بالنظر إلى العدد الابتدائي في المثال السابق، وهو واحد، نجد أننا أردنا إضافة صفر، صفرين، ثلاثة أصفار. وعليه، ضربنا العدد الابتدائي في 10 أس ثلاثة. نطبق ذلك على العدد الكبير جدًّا الذي يمثل عدد النجوم في الكون. وهو ما يعني أنه إذا أردنا كتابة 21 صفرًا، فعلينا ضرب الرقم الابتدائي، وهو الواحد، في 10 أس 21. عندما نفعل ذلك، نحصل على واحد متبوعًا بصفر، صفرين، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، ثمانية، تسعة، وهكذا حتى 21 صفرًا.

باتباع هذه العملية المكونة من خطوتين، عبرنا عن عدد كبير جدًّا بطريقة مختصرة. ولاحظ أن هذا العدد ليس به عدد كبير من الأصفار سنضطر إلى التعامل معها، على عكس العدد الأصلي. كما أنه لا يتطلب مساحة كبيرة كي نكتبه. فهو عدد كبير جدًّا معبر عنه بطريقة قصيرة ومختصرة إلى حد ما. وكتابة الأعداد بهذه الطريقة تعرف باسم التعبير بالصيغة العلمية. عند التعامل مع عدد كبير مثل هذا، يمكننا بسهولة ملاحظة الفرق بين كتابته بالصيغة العشرية والصيغة العلمية.

فكتابة عدد بالصيغة العلمية يتضمن التعبير عنه بهذه الطريقة، أي باستخدام هاتين القاعدتين. وإحدى المزايا الرائعة لهذه الصيغة هي أنه يمكننا تطبيقها على أي عدد. فلسنا بحاجة إلى عدد يبدأ بواحد ثم تليه مجموعة من الأصفار، كما لدينا في هذه الحالة. لكي نرى أنه يمكننا بالفعل كتابة أي عدد بالصيغة العلمية، هيا نستخدم هذه الصيغة مع هذه القيمة الأصلية التي لدينا، 1234.56.

حسنًا، بالنظر إلى القاعدة الأولى في العملية، نلاحظ أن علينا البدء بعدد أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من 10. ووفقًا للطريقة المكتوب بها العدد الآن، لا يستوفي هذا الشرط. إذن علينا تغييره لكي يستوفيه. كيف يمكننا فعل ذلك؟ يمكننا ذلك بتحريك العلامة العشرية في هذا العدد. إذا حركنا هذه العلامة خانة، خانتين، ثلاث خانات إلى اليسار، فسيكون العدد 1.23456. وهذا العدد أكبر من أو يساوي واحدًا، وأقل من 10. إذن فهو يستوفي القاعدة الأولى. لكن بعد ذلك، إذا قارنا العدد الأصلي بالعدد الذي لدينا الآن، فسنجد أنهما مختلفان. لكن يمكننا جعلهما متساويين عن طريق تطبيق القاعدة الثانية في العملية.

بضرب العدد الابتدائي في 10 أس عدد صحيح ما، والذي يمكننا الإشارة إليه بـ ‪𝑏‬‏، نريد أن نجعل هذا العدد الإجمالي مساويًا للعدد الأصلي. ولفعل ذلك، نلاحظ أننا سنحتاج إلى جعل قيمة ‪𝑏‬‏ تسمح بتحرك العلامة العشرية خانة، خانتين، ثلاث خانات جهة اليمين. بعبارة أخرى، تعكس هذه القيمة التغيير الذي أجريناه بتحريك العلامة العشرية نحو اليسار للحصول على العدد الابتدائي. وقيمة ‪𝑏‬‏، أي العدد الصحيح، الذي سيفي بهذا الغرض هو ثلاثة. والآن، يمكننا القول إن هذين العددين متساويان. ويمكننا التأكد من ذلك عن طريق ملاحظة ما سيحدث إذا ضربنا العدد الابتدائي في 10 أس ثلاثة. سيؤدي ذلك إلى تحريك العلامة العشرية بمقدار ثلاث خانات إلى اليمين، ما يعطينا القيمة الأصلية 1234.56.

إذن، يمكن كتابة أي عدد بأي مستوى من الدقة بالصيغة العلمية. وتعد هذه الطريقة شائعة في المجتمع العلمي لكتابة القيم الكبيرة جدًّا أو الصغيرة جدًّا. إذا نظرنا إلى هذه الأعداد، تلك الكبيرة جدًّا أو الصغيرة جدًّا، فسنجد أن إحدى طرق وصفها هي استخدام ما يسمى البادئات. حتى إذا لم يكن الاسم مألوفًا لك، فإن البادئات هي شيء رأيناه وتعاملنا معه من قبل. افترض أننا نقيس كتلة جسم ما. يمكننا كتابة كتلة الجسم بوحدة الجرام. لكن ثمة طريقة أخرى صحيحة تمامًا لفعل ذلك، وهي كتابة كتلة الجسم بالكيلوجرام. والكيلو هنا بادئة للجرام. فهو يخبرنا أننا لا نتحدث عن جرامات مفردة، بل عن مجموعات من آلاف الجرامات.

وبالمثل، يمكن للمللي أن يكون بادئة للجرام، حيث يخبرنا أننا نتعامل مع أجزاء من الألف من الجرام بدلًا من الجرام. والكيلو والمللي مثالان على البادئات التي نستخدمها لوصف الأعداد الكبيرة والصغيرة. وبالطبع توجد بادئات أخرى. لننظر إلى هذه القائمة الأكبر. في هذا الجدول، لدينا هذان العمودان. في العمود الأول، لدينا البادئات مع الاختصارات الخاصة بها. وفي العمود الثاني، لدينا قوى العدد 10 التي تعادل كل بادئة. فإذا استخدمنا التيرا كبادئة، ويرمز لها بالحرف ‪T‬‏، فهذا يعني ضمنًا ضرب قيمة ما في 10 أس 12. وهو ما يساوي واحدًا متبوعًا بـ 12 صفرًا.

بالانتقال إلى أسفل هذين العمودين، نتعرف أيضًا على قيم صغيرة يشار إليها ببادئة مثل الميكرو. باستخدام هذه البادئة لوصف كمية ما، نأخذ هذه الكمية الأصلية ونضربها في 10 أس سالب ستة. بعبارة أخرى، نقسمها على مليون. من الأمور المهمة التي يجب تذكرها عن البادئات هو أنه علينا تطبيقها على وحدة ما. إذ لا يمكن استخدامها بمفردها. فإذا قلنا جيجا أو سنتي أو نانو ولم نحدد ما تنطبق عليه هذه البادئات، فلن يكون لها معنى. لنفترض أن لدينا كمية وأن هذه الكمية هي الفولت. في هذه الحالة، سيكون من المنطقي أن نتحدث عن الجيجا فولت أو السنتي فولت أو النانو فولت. يمكن أن تتغير البادئة، وهي تتغير بناء على مقدار العدد الذي نريد وصفه.

لكي نعرف كيف تعمل هذه البادئات، لنتخيل أن لدينا عددًا من النانو فولت. وبالمناسبة، يمكننا اختصار هذه الوحدة في صورة حرف ‪n‬‏ صغير وحرف ‪V‬‏ كبير. لنفترض أن لدينا 17 نانو فولت. والسؤال هنا هو: كم فولت في هذه الكمية؟ لمعرفة ذلك، نلاحظ أن البادئة نانو تعني أخذ الوحدة الأصلية أيًّا كانت، وهي في هذه الحالة الفولت، وضربها في 10 أس سالب تسعة. وهذا يماثل قولنا إن النانو فولت الواحد أو النانو الواحد من أي وحدة أيًّا كانت يساوي 10 أس سالب تسعة في الوحدة الأصلية. إذن لمعرفة عدد الفولتات الموجودة في 17 نانو فولت، يمكننا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في 17. عندما نفعل ذلك، نلاحظ أن 17 نانو فولت يساوي 17 في 10 أس سالب تسعة فولت. هذا يوضح لنا كيف يساعدنا استخدام البادئات، مثل النانو في هذه الحالة، في كتابة الأعداد في صورة أقصر قليلًا.

بالحديث عن كتابة الأعداد في صورة معينة، إليك سؤال. هل هذا العدد مكتوب بصيغة علمية؟ يمكننا ملاحظة أنه يتضمن ضرب عدد معين في 10 أس عدد صحيح. ومن ثم، فإنه يستوفي شرطًا واحدًا من الشرطين الخاصين بكتابة الأعداد بالصيغة العلمية. لكن لاحظ أن العدد الابتدائي هنا، وهو 17، لا يقع بين الواحد والـ 10. وهذا كان الشرط الآخر للقاعدة. إذن فهذا العدد بوحدة الفولت كما هو مكتوب هنا ليس مكتوبًا بالصيغة العلمية، ولكن يمكننا كتابته بهذه الصيغة. يمكننا فعل ذلك عن طريق ملاحظة أن العلامة العشرية موجودة الآن هنا. ونود تحريكها خانة واحدة نحو اليسار. وللتعويض عن هذه الحركة في العلامة العشرية، سنحتاج إلى تعديل الأس. فعلينا تغيير هذا العدد.

لكن السؤال هنا هو: هل نغيره إلى عدد أكبر أم عدد أصغر؟ هل يصبح سالب 10 أم سالب ثمانية؟ حسنًا، بغض النظر عما سنفعله في الأس، نريده أن يعكس التغيير الذي طرأ بسبب تحريك العلامة العشرية خانة واحدة إلى اليسار. يمكننا القول إذن إن مهمة الأس هي تحريك العلامة العشرية مرة أخرى إلى مكانها السابق. ولفعل ذلك، أي لتحريك العلامة العشرية إلى اليمين، يجب أن يزيد الأس.

في هذه الحالة، قد يكون فهم المعنى المقصود بزيادة الأس مخادعًا قليلًا؛ وذلك لأن الأس الذي لدينا سالب. فعلينا أن نتذكر أن 10 أس سالب ثمانية هو في الحقيقة عدد أكبر من 10 أس سالب تسعة. وإذا كانت هذه الحقيقة مفاجئة لك، فهي ترجع إلى حقيقة أن الأس الذي يهمنا سالب. إذن، نحرك العلامة العشرية بحيث يصبح العدد الابتدائي بين واحد و10. وللتعويض عن هذه العملية، نغير الأس ليصبح سالب ثمانية. وبفعل ذلك، يصبح لدينا مقدار مكتوب بالصيغة العلمية لعدد بوحدة الفولت يساوي 17 نانو فولت.

لنتوقف الآن قليلًا لتلخيص ما تعلمناه عن تمثيل القيم الكبيرة للكميات الفيزيائية. في البداية، عرفنا أن الأعداد الكبيرة تشغل مساحة كبيرة عندما تكتب بالصيغة العشرية. كما يسهل ارتكاب الأخطاء عند كتابتها. على الجانب الآخر، عند كتابة الأعداد الكبيرة بالصيغة العلمية، تكون مختصرة بدرجة أكبر ويسهل كتابتها بشكل صحيح. فلا تتطلب كتابة أصفار كثيرة والانتباه إلى كتابة كل صفر منها.

لكتابة عدد بالصيغة العلمية، نتبع قاعدتين. أولًا، يجب أن يبدأ العدد بقيمة أكبر من أو تساوي واحدًا وأقل من 10. وثانيًا، يجب أن تكون القيمة مضروبة في 10 أس عدد صحيح. في النهاية، نحصل على عدد يبدو هكذا، حيث ‪a‬‏ العدد الابتدائي و‪b‬‏ الأس الصحيح. وأخيرًا، عرفنا في هذا الدرس أن البادئات تساعدنا على التعبير بصورة مختصرة عن الأعداد الكبيرة والصغيرة، سواء نطقًا أو كتابة.