شارح الدرس: الكميات القياسية والمتجهات والقِطَع المستقيمة الموجَّهة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: تحديد القطع المستقيمة المتكافئة في الشكل

في الشكل الآتي، أيُّ القطع المستقيمة تكافئ ؟

الحل

في هذا السؤال، لدينا العديد من القطع المستقيمة. ويمكن تعريف كلٍّ منها بنقطة بدايتها ونقطة نهايتها. مثلًا، القطعة المستقيمة الموجَّهة تبدأ من النقطة وتنتهي عند النقطة . وقد أشرنا إليها بلون مختلف فيما يأتي.

نتذكَّر أن القطعة المستقيمة الموجَّهة تكون مكافئة لقطعة مستقيمة أخرى إذا كان لها المقدار نفسه (الطول) والاتجاه نفسه. هذا يعني أن علينا تحديد أيٌّ من الخيارات له طول نفسه، ويمتد في اتجاهه نفسه (أفقيًّا من اليسار إلى اليمين). هيَّا نتناولها الواحد تلو الآخر.

بالنسبة إلى الخيار أ، يمتد في الاتجاه الصحيح، لكن طوله يساوي ضعف طول ؛ ولذا لا يمكن أن يكافئ القطعة المستقيمة المُعطاة في السؤال.

بالنسبة إلى الخيارين ب، هـ، ، لهما نفس مقدار ، وكلاهما أفقي، لكنهما في الاتجاه المضاد (من اليمين إلى اليسار)؛ ومن ثَمَّ يمكن استبعادهما أيضًا.

في الخيار ج، يبدأ من النقطة نفسها وله المقدار نفسه، لكن اتجاهه مختلف تمامًا؛ ولذا لا يمكن أن يكافئ القطعة المستقيمة المُعطاة في السؤال.

ولكن في الخيار د، نلاحظ أن له نفس مقدار واتجاه بالفعل؛ ممَّا يعني أنه يجب أن يكون مكافئًا له. إذن الإجابة الصحيحة هي د.

مثال ٢: تحديد المعلومات اللازمة لتعريف المتجه

خمسة طلاب قدَّم كلٌّ منهم جملة يَعتقد أنها متطلَّب كافٍ لتعريف المتجه تعريفًا وحيدًا.

أيٌّ من إجاباتهم صحيح؟

1. مقدار واتجاه
2. نقطتا طرفين
3. نقطة بداية ونقطة نهاية
4. نقطة بداية ومقدار
5. اتجاه ونقطة نهاية

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، هيا نتناول الخيارات واحدًا تلو الآخَر.

في الخيار أ، لدينا مقدار واتجاه. تذكَّر أن المقدار بمفرده ليس سوى عدد (كمية قياسية). وبإضافة اتجاه، يمكننا الحصول على متجه كما هو موضَّح.

إذن الخيار أ صحيح.

في الخيار ب، لدينا نقطتا طرفين. نفترض أن لدينا متجهًا نقطتا طرفَيْه هما ، . يمكننا تمثيل هذا المتجه كالآتي.

لكن المشكلة التي تتعلَّق بمعرفة نقطتَي الطرفين للتمثيل البياني للمتجه فقط هي أنها لا تخبرنا بالاتجاه الذي يمتد فيه المتجه: أَمِنَ النقطة إلى النقطة أم من النقطة إلى النقطة ؟ هذا الغموض يعني أن هذا الخيار لا يكفي بمفرده لتعريف المتجه تعريفًا وحيدًا؛ لذا فالخيار ب غير صحيح.

في الخيار ج، لدينا نقطة بداية ونقطة نهاية. وكالخيار ب، لدينا طرفان، لكن هذه المرة نعرف أيُّهما نقطة البداية وأيُّهما نقطة النهاية. هذا يعني أننا نعرف اتجاه المتجه، ويمكننا رسمه على الشكل، كما هو موضَّح.

بعبارةٍ أخرى، بمعلومية نقطة بداية المتجه ونقطة نهايته، يكون اتجاه المتجه من نقطة البداية إلى نقطة النهاية.

إضافةً إلى ذلك، إذا عرفنا نقطة بداية المتجه ونقطة نهايته، ، ، فمن الممكن حساب مقدار المتجه ، ويُكتَب باستخدام نظرية فيثاغورس:

من ثَمَّ، يُتيح لنا هذا الخيار تعريف الاتجاه والمقدار، إذن الخيار ج صحيح.

بالنسبة إلى الخيار د، لدينا نقطة بداية ومقدار. حتى الآن، توصَّلنا إلى أن المقدار والاتجاه يمكن أن يُعرِّفا المتجه تعريفًا وحيدًا، وكذلك نقطة البداية والنهاية، لكن ماذا إن دمجنا المتطلَّبَيْن؟ هيا نستكشف هذا الاحتمال بمثال. نفترض أن لدينا نقطة البداية والمقدار ٥، يتضح أن بإمكاننا رسم عدة نقاط نهاية تحقِّق هذه الشروط، كما هو موضَّح آتيًا.

هنا، يمكننا حساب مقدار كلٍّ من المتجهين بالطريقة نفسها باستخدام نظرية فيثاغورس:

من ثَمَّ، لا يؤدِّي هذا الوصف للمتجه إلى نتيجة وحيدة. في الواقع، يمكن رسم عدد لا نهائي من المتجهات التي تحقِّق هذا المتطلَّب؛ ممَّا ينتج عنه دائرة مركزها . إذن الخيار د غير صحيح.

بالنسبة إلى الخيار هـ، لدينا اتجاه ونقطة نهاية. مجدَّدًا، نتناول مزيجًا من طريقتين صحيحتين لتعريف المتجه. هيَّا نختبر ذلك مرةً أخرى بمثال. افترض أن لدينا نقطة النهاية واتجاهًا يُشير من نقطة الأصل إلى نقطة النهاية. بذلك، يكون من الممكن رسم متجهين على الأقل، كما هو موضَّح آتيًا.

بعبارةٍ أخرى، سواء كانت نقطة البداية عند أو عند ، فإن الاتجاه ونقطة النهاية سيكونان متماثلين. وفي الحقيقة، يمكننا اختيار أي نقطة تقع على هذا المسار لتكون نقطة البداية، وستكون صحيحة. إذن هذا المتطلَّب ليس وحيدًا، والخيار هـ ليس صحيحًا.

خلاصة القول، الخياران أ، ج هما الخياران الصحيحان.

مثال ٣: تحديد المتجهات التي لها الاتجاه نفسه

ما المتجه الذي له نفس اتجاه المتجه ؟

الحل

هيا نبدأ بملاحظة أن هناك متجهين يُشيران إلى الاتجاه نفسه، وأن أحدهما مضاعف للآخَر بكمية قياسية موجبة.

يمكننا كتابة كلِّ المتجهات على الصورة ؛ حيث يمثِّل التغيُّر الأفقي بين قيمتَي إحداثيَّي لنقطتَي الطرفين، ويمثِّل التغيُّر الرأسي بين قيمتَي إحداثيي لنقطتَي الطرفين.

يمكن كتابة المتجه كالآتي:

يمكن كتابة جميع المتجهات التي لها الاتجاه نفسه على الصورة ؛ حيث كمية قياسية موجبة. على سبيل المثال، المتجه ؛ حيث ، سيكون في نفس اتجاه المتجه ؛ حيث .

بالنظر في المتجهات الأخرى الموضَّحة على الشبكة، نجد أن بإمكاننا كتابتها كالآتي:

المتجه الوحيد الذي له نفس اتجاه المتجه هو . في هذه الحالة، المتجه هو المتجه نفسه، على الرغم من أن لهما نقاط بداية ونهاية مختلفة. وهذا يعني أن لهما المقدار نفسه والاتجاه نفسه.

على الرغم من أن ذلك لم يكُن مطلوبًا منَّا في هذا السؤال، فقد بيَّنا أن المتجه هو المتجه نفسه، وأنهما أيضًا متساويان؛ لأن لهما المقدار نفسه والاتجاه نفسه.

وبذلك نكون قد حدَّدنا أن المتجه الذي له نفس اتجاه المتجه هو المتجه .

مثال ٤: تحديد نقطة نهاية متجه

ما نقطة نهاية المتجه ؟

الحل

يمكن تمثيل المتجه كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

يُشير ترتيب النقاط واتجاه السهم، المكتوب على الصورة ، إلى اتجاه المتجه. هذا يعني أننا ننتقل من النقطة إلى النقطة ؛ حيث هي نقطة البداية، نقطة النهاية.

إذن نقطة نهاية المتجه هي .

مثال ٥: إيجاد مقدار متجه

أوجد مقدار المتجه الممثَّل في شبكة مربعات الوحدة الموضَّحة.

الحل

مقدار المتجه الممثَّل بيانيًّا هو طول القطعة المستقيمة. يمكننا حساب مقدار المتجه باستخدام نظرية فيثاغورس التي تنص على أن مربع طول الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعين الآخَرين.

هيَّا نفكِّر في التغيُّر الأفقي والتغيُّر الرأسي بين نقطة البداية ونقطة النهاية، علمًا بأن المربعات في الشبكة طولها الوحدة.

يمكننا كتابة ذلك كالآتي:

إذن مقدار المتجه هو .

مثال ٦: تحديد خواص المتجهات المتكافئة

حدِّد جميع العبارات التي يجب أن تكون صحيحة إذا كان ، متجهين متكافئين.

1. المتجهان ، لهما نفس نقطة البداية.
2. المتجهان ، لهما نفس نقطة النهاية.
4. نقطة البداية للمتجه هي نقطة النهاية للمتجه .
5. نقطة البداية للمتجه هي نقطة النهاية للمتجه .

الحل

نتذكَّر أنه إذا كان المتجهان متكافئين، فإن لهما المقدار نفسه والاتجاه نفسه.

العبارة الواردة في الخيار ج، ، تعني أن مقدارَي المتجهين ، متساويان؛ ومن ثَمَّ فهذه العبارة صحيحة.

يمكننا أيضًا التحقُّق إذا ما كانت هناك عبارة أخرى صحيحة. ولفعل ذلك، يمكننا التفكير في تمثيل المتجهين ، بيانيًّا. سنجعل المتجه الذي مقداره ١ في الاتجاه الموجب للمحور . وسنرسم المتجه بنفس المقدار وموازيًا للمتجه في نفس الاتجاه.

المتجهان ، متكافئان؛ لأن لهما المقدار نفسه والاتجاه نفسه. لكن يمكننا ملاحظة أن هذين المتجهين ليس لهما نقطة البداية نفسها أو نقطة النهاية نفسها، كما نلاحظ أن نقطة النهاية لأحد المتجهين ليست هي نقطة البداية للمتجه الآخَر. لذا، فإن العبارات الواردة في الخيارات أ، ب، د، هـ، على الرغم من أنها قد تكون صحيحة في بعض الحالات، لا تنطبق على جميع المتجهات المتكافئة.

إذن يمكننا القول إن العبارة التي تنطبق على المتجهات المتكافئة هي:

مثال ٧: إيجاد نقطة البداية بمعلومية متجه ونقطة نهايته

املأ الفراغ: إذا كان ، ، فإن إحداثيات هي .

الحل

في هذا السؤال، لدينا معلومات عن المتجه ، وهو متجه له نقطة بداية عند ونقطة نهاية عند . لدينا أيضًا إحداثيات .

يمكننا البدء بتمثيل المتجه بيانيًّا. التغيُّر الأفقي لهذا المتجه يساوي ٢، والتغيُّر الرأسي له يساوي . يمكننا أيضًا كتابة المتجه على الصورة .

نظرًا لأن نقطة النهاية تقع عند ، يمكننا تمثيل هذه النقطة والمتجه كالآتي.

من ذلك، يمكننا ملاحظة أن إحداثيات النقطة هي .

بطريقة أخرى، وبدون تمثيل بياني، نحن نعرف أن بإمكاننا إيجاد المركِّبتين الأفقية والرأسية لأيِّ متجه بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية.

لأيِّ نقطتين ، فإن:

يمكننا التعويض بـ ، في هذه المعادلة، فنحصل على:

يكون المتجهان متساويين إذا كانت المركِّبتان الأفقيتان متساويتين، وكذلك المركِّبتان الرأسيتان. ومن ثَمَّ، نساوي بين المركِّبتين الأفقيتين ليصبح لدينا:

وبالمثل، نوجد قيمة المركِّبة ، فنحصل على:

إذن النقطة تساوي .

مثال ٨: تحديد خواص معكوس المتجه

املأ الفراغ: إذا كان متجهًا غير صفري، فإن .

1. ، لهما نفس الاتجاه
2. ، لهما اتجاهان متضادان

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، هيا نفكِّر في المتجهين غير الصفريين ، . المتجه له نفس مقدار المتجه ، ولكنه يُشير في الاتجاه المضاد.

إذن يمكننا إكمال عبارة السؤال كالآتي:

يمكننا توضيح أن الخيار ج، ( عمودي على )، لا يمكن أن يكون صحيحًا؛ وذلك لأن المتجهين ، متوازيان. وبالمثل، الخيار د، ، غير صحيح. سبب ذلك أن المتجهين المعكوسين لهما المقدار نفسه؛ لذا يمكننا التعبير عن ذلك بكتابة .

مثال ٩: إيجاد الشكل الذي تكوِّنه أربعة متجهات مُعطاة

ما الشكل المُكوَّن من تلك المتجهات؟

الحل

في الشكل، نلاحظ أن لدينا متجهين مكرَّرين، هما ، . نجد هنا أن كلًّا من المتجهين ، مُشارٌ إليه بالمتجه . وبالمثل، المتجهان ، كلاهما مُشارٌ إليه بالمتجه . عندما يكون المتجهان متساويين، يكون لهما نفس المقدار والاتجاه.

وهذا يوضِّح لنا أن الضلعين المتقابلين ، في الشكل متوازيان ولهما نفس الطول.

كما أن الضلعين المتقابلين الآخَرين ، متوازيان ولهما نفس الطول.

الشكل الرباعي الأضلاع الذي تكون أضلاعه المتقابلة متوازية يُعرَّف بأنه متوازي أضلاع.

إذن الإجابة هي أن الشكل المكوَّن من هذه المتجهات متوازي أضلاع.