نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نتعرف على القطع المستقيمة الموجهة، وكيف ننشئها ونعبر عنها. يمكننا البدء بتذكر بعض المصطلحات الرئيسية.
الكمية القياسية كمية يمكن وصفها وصفًا تامًّا بمقدار. على سبيل المثال الطول والزمن والمسافة والسرعة جميعها كميات قياسية. القطعة المستقيمة جزء من خط مستقيم، وتكون محددة بطرفين مختلفين، وتحتوي على جميع النقاط الواقعة على الخط المستقيم بين هذين الطرفين.
نتناول الآن قطعة مستقيمة موجهة؛ حيث إن أحد طرفيها هو نقطة البداية، والطرف الآخر هو نقطة النهاية. إذا كانت ﺃ هي نقطة البداية، ﺏ هي نقطة النهاية؛ فإن القطعة المستقيمة الموجهة تكتب على الصورة ﺃﺏ مع رسم نصف سهم أعلاها، ويمكن تمثيلها بيانيًّا كما هو موضح. نلاحظ أن القطعة المستقيمة الموجهة ﺃﺏ تختلف عن القطعة المستقيمة الموجهة ﺏﺃ؛ حيث إن ﺏ هي نقطة البداية، وﺃ هي نقطة النهاية؛ في القطعة المستقيمة الثانية. نلاحظ أن مقدار القطعة المستقيمة الموجهة ﺃﺏ، الذي يسمى معيارًا أيضًا، ما هو إلا طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ، ويرمز له بأي من الطريقتين الموضحتين.
نلاحظ أنه بما أن ﺏﺃ لها نفس طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ، فيمكننا إذن استنتاج أن لها المقدار نفسه. بالإضافة إلى ذلك يمكن قول إن القطع المستقيمة الموجهة قد تكون متكافئة، ويعرف هذا فيما يأتي. تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان لهما نفس المقدار والاتجاه. على سبيل المثال انظر إلى متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ. بما أن القطعة المستقيمة الموجهة ﺃﺏ لها نفس مقدار واتجاه القطعة المستقيمة الموجهة ﺩﺟ، فإنهما متكافئتان. ينطبق الأمر نفسه على القطعتين المستقيمتين ﺃﺩ، ﺏﺟ. دعونا الآن نتناول مثالًا علينا فيه تطبيق مفهوم القطع المستقيمة الموجهة المتكافئة.
في الشكل الآتي، أي القطع المستقيمة الموجهة تكافئ ﺃﺏ؟ أ: ﻭﺟ، أم ب: ﺩﻫ، أم ج: ﺏﺟ، أم د: ﺯﺟ، أم هـ: ﺯﻭ؟
في هذا السؤال لدينا العديد من القطع المستقيمة الموجهة. يمكن تعريف كل من هذه القطع المستقيمة الموجهة باستخدام نقطتي البداية والنهاية لكل واحدة منها. على سبيل المثال تبدأ القطعة المستقيمة ﺃﺏ من النقطة ﺃ، وتنتهي عند النقطة ﺏ؛ كما هو موضح بلون مختلف في الشكل. لعلنا نتذكر أن القطعة المستقيمة الموجهة تكافئ قطعة مستقيمة موجهة أخرى إذا كان لها المقدار نفسه؛ أي لها الطول نفسه، ولها أيضًا الاتجاه نفسه. هذا يعني أن علينا تحديد أي خيار من الخيارات يشير إلى القطعة المستقيمة الموجهة التي لها طول ﺃﺏ نفسه، ولها الاتجاه نفسه؛ أي الاتجاه أفقيًّا من اليسار إلى اليمين. دعونا نتناول هذه الخيارات واحدًا تلو الآخر.
في الخيار أ؛ ﻭﺟ لها الاتجاه نفسه، لكن طولها يساوي ضعف طول ﺃﺏ؛ ولذا لا يمكن أن تكونا متكافئتين. في الخيارين ب، هـ نجد أن ﺩﻫ، ﺯﻭ لهما نفس مقدار ﺃﺏ، كما أن هاتين القطعتين المستقيمتين أفقيتان. لكنهما في الاتجاه المضاد؛ ولذا نستبعدهما. في الخيار ج؛ ﺏﺟ لها المقدار نفسه، لكن اتجاهها مختلف تمامًا؛ ولذا لا يمكن أن تكافئ ﺃﺏ. لكن في الخيار د نلاحظ أن ﺯﺟ لها نفس اتجاه ومقدار ﺃﺏ بالفعل. إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار د. القطعة المستقيمة الموجهة ﺯﺟ تكافئ ﺃﺏ.
سنتناول الآن المتجهات. المتجه عنصر له مقدار واتجاه. الإزاحة والسرعة والعجلة جميعها أمثلة على الكميات المتجهة. يمكن تمثيل المتجهات بيانيًّا باستخدام قطعة مستقيمة موجهة. لكن، بخلاف القطع المستقيمة الموجهة، فإن المتجهات ليست لها نقاط بداية ونهاية محددة. يمثل اتجاه القطعة المستقيمة اتجاه المتجه. ويمثل طول القطعة المستقيمة مقدار المتجه. انظر إلى المتجهات الثلاثة الموضحة في الشكل الآتي. بما أن هذه المتجهات الثلاثة لها نفس المقدار والاتجاه، فإنه يمكننا قول إنها متكافئة أو متساوية. قد تكون للمتجهات المتساوية أطراف مختلفة.
سنتناول الآن طريقة ضرب متجه في كمية قياسية. إذا كان المتجه ﺃ يساوي أربعة، سالب اثنين؛ فإنه يمكننا تمثيله بيانيًّا على صورة قطعة مستقيمة موجهة. لدينا متجه آخر، وهو ﺏ يساوي ثمانية، سالب أربعة. المتجهان ﺃ، ﺏ متوازيان ولهما الاتجاه نفسه. لكن مقدار المتجه ﺏ يساوي ضعف مقدار المتجه ﺃ. يمكننا القول إذن إن ﺏ يكافئ أو يساوي اثنين ﺃ. نلاحظ أن قيمة كل من المركبتين ﺱ، ﺹ للمتجه ﺃ تضاعفت حتى تساوي قيمة كل من المركبتين ﺱ، ﺹ للمتجه ﺏ. يمكننا ضرب أي متجه ﻣ في أي كمية قياسية ﻙ لنحصل على المتجه ﻙﻣ الموازي للمتجه ﻣ.
لنفكر الآن فيما يحدث إذا كانت ﻙ تساوي سالب واحد. سالب ﺃ يساوي سالب واحد مضروبًا في أربعة، سالب اثنين؛ وهو ما يساوي سالب واحد مضروبًا في أربعة، سالب واحد مضروبًا في سالب اثنين؛ ومن ثم فإن هذا يساوي سالب أربعة، اثنين. يمكن تمثيل ذلك بيانيًّا كما هو موضح في الشكل الآتي. المتجهان ﺃ وسالب ﺃ متوازيان ومتساويان في المقدار، لكن اتجاهيهما متضادان.
يمكننا تعريف مفهوم المتجهات المتكافئة مثلما عرفنا مفهوم القطع المستقيمة الموجهة. يتكافأ المتجهان إذا كان لهما نفس المقدار والاتجاه، أو إذا كانت جميع مركباتهما المتناظرة متساوية ولها البعد نفسه. يمكننا أيضًا تعريف معكوس المتجه. يكون كل من المتجهين معكوسًا للآخر إذا كان لهما المقدار نفسه، لكن اتجاهيهما متضادان.
سنتناول الآن المتجه ﻣ؛ حيث يوضح طول القطعة المستقيمة مقدار المتجه، ويوضح السهم اتجاهه. يمكننا تمثيل هذا المتجه بدلالة التغير الأفقي والرأسي. التغير الأفقي للمتجه ﻣ يساوي ست وحدات، والتغير الرأسي له يساوي سالب ثلاث وحدات. ومن ثم يمكن كتابة المتجه ﻣ على الصورة ستة، سالب ثلاثة، كما هو موضح. يمكننا استخدام إحداثيات طرفي أي متجه لإيجاد المركبتين الأفقية والرأسية لهذا المتجه. إذا كان إحداثيا النقطة ﺃ: ﺱﺃ، ﺹﺃ، وإحداثيا النقطة ﺏ: ﺱﺏ، ﺹﺏ؛ فإن المتجه ﺃﺏ يساوي ﺱﺏ ناقص ﺱﺃ، ﺹﺏ ناقص ﺹﺃ.
لاحظ أننا نستخدم الترميز المعطى لتمثيل المتجه الواصل بين ﺃ، ﺏ على الرغم من أن ﺃﺏ يعد في الحقيقة قطعة مستقيمة موجهة. يعني هذا أننا نشير إلى المتجه الذي يمكن تعريفه بالقطعة المستقيمة الموجهة ﺃﺏ. عادة ما نقول إن المتجه له نقطة بداية ونقطة نهاية. لكن، كما هي الحال في المثال الموضح هنا، نعرف المتجه باستخدام هاتين النقطتين. يمكننا في الواقع استخدام متجه واحد لتمثيل مجموعة تضم جميع القطع المستقيمة الموجهة المتكافئة التي لها نفس المقدار والاتجاه. لاحظ أننا سنستمر في استخدام ترميز المتجهات هذا خلال الفيديو لكونه طريقة مألوفة جدًّا لكتابتها.
إذا عدنا إلى المثال السابق الذي تناولنا فيه الشكل السداسي وافترضنا أن المتجه ﻣ يكافئ القطعة المستقيمة الموجهة ﺃﺏ، فإنه يمكننا استخدام هذا المتجه نفسه لتمثيل القطع المستقيمة الموجهة ﻫﺩ، ﻭﺯ، ﺯﺟ؛ لأن جميعها له نفس المقدار والاتجاه. يمكننا تعريف أي متجه ﻣ دون تحديد نقطة بدايته ونقطة نهايته؛ لأن كل ما نحتاج إليه لتعريفه هو المقدار والاتجاه. سنتناول الآن مثالًا نستخدم فيه بعض خواص المتجهات التي تناولناها حتى الآن.
ما المتجه الذي له نفس اتجاه المتجه ﺃ؟
نبدأ بتذكر أن المتجهين يشيران إلى الاتجاه نفسه إذا كان أحدهما مضاعفًا قياسيًّا موجبًا للآخر. يمكننا كتابة جميع المتجهات على الصورة ﺱ، ﺹ؛ حيث ﺱ التغير الأفقي بين قيمتي إحداثيي ﺱ للطرفين، ﺹ التغير الرأسي بين قيمتي إحداثيي ﺹ للطرفين. يمكن كتابة المتجه ﺃ على الصورة ﺃ يساوي أربعة، اثنين. يمكن كتابة جميع المتجهات التي لها الاتجاه نفسه على الصورة ﻙ مضروبًا في أربعة، اثنين؛ حيث ﻙ كمية قياسية موجبة.
بالنظر إلى المتجهات الثلاثة الأخرى على الشبكة، نجد أن ﺏ يساوي واحدًا، سالب واحد، ﺟ يساوي واحدًا، ثلاثة، ﺩ يساوي أربعة، اثنين. المتجه الوحيد الذي له نفس اتجاه المتجه ﺃ هو المتجه ﺩ. في هذه الحالة، المتجه ﺃ هو نفسه المتجه ﺩ على الرغم من أن لهما نقاط بداية ونهاية مختلفة. هذا يعني أن المتجهين لهما نفس المقدار والاتجاه. وعلى الرغم من أن ذلك لم يكن مطلوبًا منا في هذا السؤال، فإنه يمكننا ملاحظة أن ﺃ، ﺩ متجهان متساويان أيضًا؛ لأن لهما نفس المقدار والاتجاه. وبذلك نكون قد حددنا أن المتجه الذي له نفس اتجاه المتجه ﺃ هو المتجه ﺩ.
سنتناول الآن كيفية حساب مقدار متجه قبل تناول مثال أخير لكيفية إيجاد مقدار متجه ممثل بيانيًّا. لإيجاد مقدار المتجه ﻣ، الذي يكتب على الصورة الموضحة كما رأينا سابقًا، فإننا نستخدم نظرية فيثاغورس. تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع طول الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. يعطى مقدار المتجه ﺃ، ﺏ من خلال الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. في هذا المثال مقدار المتجه ﻣ يساوي الجذر التربيعي لستة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع. يمكن تبسيط ذلك إلى الجذر التربيعي لـ ٣٦ زائد تسعة، وهو ما يساوي جذر ٤٥، أو ثلاثة جذر خمسة.
نلاحظ أنه لأي نقطتي بداية ونهاية: ﺃ: ﺱﺃ، ﺹﺃ، ﺏ: ﺱﺏ، ﺹﺏ؛ فإن مقدار المتجه ﺃﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱﺏ ناقص ﺱﺃ الكل تربيع زائد ﺹﺏ ناقص ﺹﺃ الكل تربيع. دعونا الآن نتناول هذا المثال الأخير.
أوجد مقدار المتجه ﻣ الممثل في شبكة مربعات الوحدة الموضحة.
مقدار المتجه الممثل بيانيًّا هو طول القطعة المستقيمة. يمكننا حساب مقدار المتجه ﻣ باستخدام نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع طول الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. لنفكر في التغير الأفقي والتغير الرأسي بين نقطة البداية ونقطة النهاية؛ علمًا بأن كلًّا من المربعات الموجودة في الشبكة يمثل وحدة طول. مقدار المتجه ﻣ يساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد اثنين تربيع. يمكن تبسيط ذلك إلى الجذر التربيعي لواحد زائد أربعة، وهو ما يساوي جذر خمسة. إذن مقدار المتجه ﻣ هو جذر خمسة.
لنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. القطعة المستقيمة الموجهة عنصر له نقطة بداية ونقطة نهاية واتجاه. المتجه عنصر له مقدار واتجاه. يمكننا تمثيل المتجه بقطعة مستقيمة موجهة. لوصف متجه ما نحتاج إلى نقطة بداية ونقطة نهاية، أو إلى مقداره واتجاهه. يصف المتجه ﺃﺏ الحركة من نقطة البداية ﺃ إلى نقطة النهاية ﺏ. لأي نقطتين ﺃ: ﺱﺃ، ﺹﺃ، ﺏ: ﺱﺏ، ﺹﺏ؛ المتجه ﺃﺏ يساوي ﺱﺏ ناقص ﺱﺃ، ﺹﺏ ناقص ﺹﺃ. يكون لأي متجهين الاتجاه نفسه إذا كان أحدهما مضاعفًا قياسيًّا موجبًا للآخر.
يتكافأ المتجهان إذا كان لهما نفس المقدار والاتجاه، أو إذا كانت جميع مركباتهما المتناظرة متساوية ولها نفس البعد. لأي متجه غير صفري ﺃ، يكون معكوسه هو المتجه سالب ﺃ، الذي له نفس مقدار المتجه ﺃ لكنه يشير إلى الاتجاه المضاد. يمكن إيجاد مقدار المتجه ﺃ، ﺏ من خلال حساب الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. وأخيرًا بمعلومية الطرفين ﺃ: ﺱﺃ، ﺹﺃ، ﺏ: ﺱﺏ، ﺹﺏ؛ لأي متجه ﺃﺏ، يمكننا حساب مقداره من خلال الجذر التربيعي لـ ﺱﺏ ناقص ﺱﺃ الكل تربيع زائد ﺹﺏ ناقص ﺹﺃ الكل تربيع.
