شارح الدرس: تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل بيانيًّا أيَّ دالة تربيعية باستخدام جدول قيم وفترة مُعطاة، وكيف نحدِّد خواص التمثيل البياني.

تُستخدَم المعادلات التربيعية في الحياة اليومية، وفي العلوم والأعمال التجارية والهندسة. كما يمكنها تحديد مسارات الأجسام المتحرِّكة، من الكرات المرتدة إلى مسار طيران مقذوف. ويمكن أن تستخدمها الشركات أيضًا لتوقُّع الإيرادات، وتصميمات التعبئة والتغليف لتقليل الهدر إلى أدنى حدٍّ ممكن. ويمكننا استخدام المعادلات التربيعية لتحديد القيم العظمى والصغرى للعديد من المُتغيِّرات المختلفة؛ مثل: السرعة والتكلفة والمساحة. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام المعادلات التربيعية لتحليل هذه الحالات. يمكننا، على وجه التحديد، استخدام التمثيلات البيانية للدوال التربيعية لتحديد معلومات حول القيم العظمى والصغرى بسهولة، وحول متى تُساوي المخرجات صفرًا.

لفعل ذلك، هيا نبدأ بتذكُّر ما نعنيه بالدالة التربيعية: الدالة التربيعية دالة كثيرة حدود في متغيِّر واحد من الدرجة الثانية. وهذا يعني أن الدوال التربيعية تكون على الصورة ؛ حيث ، ثوابت، لا يساوي صفرًا. المعادلة التربيعية عبارة عن معادلة على الصورة ؛ حيث دالة تربيعية.

يمكننا فهم المعادلات التربيعية فهمًا أفضل بتناوُل تمثيلاتها البيانية. على سبيل المثال، هيا نتناول التمثيلين البيانيين للمعادلتين التربيعيتين ، .

نلاحظ أن هذين المنحنيين لهما شكل متشابه للغاية يُعرَف باسم القطع المكافئ. في الحقيقة، جميع المعادلات التربيعية لها هذا الشكل، وتوضِّح لنا إشارة الثابت إذا ما كان القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى أو لأسفل. فإذا كان ، فإن القطع المكافئ يكون مفتوحًا لأعلى، وإذا كان ، فإن القطع المكافئ يكون مفتوحًا لأسفل. يمكننا ملاحظة ذلك في التمثيلين البيانيين المُعطيين؛ في التمثيل البياني الأول المعامل الرئيسي للدالة موجب، والمنحنى مفتوح لأعلى، أما في التمثيل البياني الثاني فالمعامل الرئيسي للدالة سالب، والمنحنى مفتوح لأسفل.

هناك أيضًا العديد من النقاط المفيدة التي يمكننا كتابتها لتساعدنا في تحديد المعلومات الخاصة بالتمثيل البياني وتوضيحها.

أولًا، نتذكَّر أن الجزء المقطوع من المحور في التمثيل البياني سيكون هو النقطة الموجودة على المنحنى التي يكون عندها ، وهو الموضع الذي يقطع فيه المنحنى . في التمثيل البياني الأول، هذه النقطة هي ، وفي التمثيل البياني الثاني، هذه النقطة هي . وتخبرنا هاتان النقطتان بمخرجات الدالة التربيعية عندما نضع . ومن الجدير بالملاحظة أنه يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور في التمثيل البياني للدالة بالتعويض بـ . نحصل على . إذن يكون الجزء المقطوع من المحور هو .

ثانيًا، الأجزاء المقطوعة من المحور في التمثيل البياني ستكون هي النقاط الموجودة على المنحنى؛ التي يكون عندها ، وهو الموضع الذي يقطع فيه المنحنى . يمكننا أن نلاحظ أن المنحنى الأول لا توجد به أجزاء مقطوعة من المحور ، وأن المنحنى الثاني يوجد به جزآن مقطوعان عند النقطتين ، . تخبرنا قيمتا الإحداثي لهاتين النقطتين بالقيم المدخلة التي عندها تساوي قيمة الدالة صفرًا.

ومن الجدير بالملاحظة أيضًا أنه نظرًا لأن قيم الإحداثي للأجزاء المقطوعة من المحور تساوي صفرًا، فإننا عادةً ما نتحدث فقط عن قيمتَي الإحداثي لهاتين النقطتين. على سبيل المثال، يمكننا القول إن الجزأين المقطوعين من المحور في التمثيل البياني الثاني يقعان عند ، ٣. بطريقة مماثلة، يمكننا القول إن الجزء المقطوع من المحور في التمثيل البياني الثاني يقع عند ٩.

في المثال الأول، سنحدِّد الأجزاء المقطوعة من المحور لمنحنى دالة تربيعية من تمثيلها البياني.

مثال ١: تحديد الأجزاء المقطوعة من المحور س لدالة تربيعية من تمثيلها البياني

حدِّد الأجزاء المقطوعة من المحور للدالة التربيعية .

الحل

نتذكَّر أن الأجزاء المقطوعة لمنحنى هي قيم الإحداثي للنقاط التي يقطع عندها المنحنى . بعبارةٍ أخرى، هي النقاط الواقعة على المنحنى التي تساوي قيمة الإحداثي فيها صفرًا. يمكننا أن نلاحظ أنه توجد نقطتان من هذه النقاط، ويمكننا تحديدهما على الشكل.

ومن ثمَّ، نجد أن الجزأين المقطوعين من المحور هما ، .

يمكننا أن نلاحظ أن النقاط، مثل الأجزاء المقطوعة من المحور والمحور ، يمكن أن تساعدنا على تحديد خواص منحنى دالة تربيعية. تتمثَّل إحدى طرق رسم منحنى دالة تربيعية في استخدام جدول قيم. على سبيل المثال، نفترض أننا نريد رسم ؛ حيث . نُكوِّن جدولًا للقيم المدخلة ، ونحسب المخرجات المناظرة لـ .

يمكننا حساب بالتعويض بـ في الدالة كالآتي (مع الانتباه عند تربيع الأعداد السالبة):

نتبع العملية نفسها مع جميع الأعداد الصحيحة في الفترة المُعطاة لنحصل على الجدول الآتي.

يُعطينا كل عمود في الجدول إحداثيات نقطة على التمثيل البياني لـ . يمكننا رسم هذه النقاط على شبكة إحداثيات، ثم رسم قطع مكافئ يمر بالنقاط لرسم المنحنى .

ثمة خاصية مثيرة للاهتمام يمكننا ملاحظتها في هذا التمثيل البياني، وهي أن المنحنى متماثل حول . يمكننا أن نلاحظ هذه الحقيقة أيضًا بملاحظة أن المخرجات في جدول الدالة متماثلة حول . كل قطع مكافئ له خط تماثل رأسي (يُسمَّى محوره التماثلي)؛ ومع ذلك، فهو لا يكون دائمًا الخط .

لرؤية مثال يوضِّح ذلك، انظر التمثيل البياني الآتي لـ . يمكننا توضيح الأجزاء المقطوعة من المحور ، والجزء المقطوع من المحور ، وخط التماثل كما هو موضَّح.

في هذه الحالة، يكون القطع المكافئ متماثلًا حول الخط . ويمكننا أن نلاحظ أن خط التماثل هذا يمر عبر النقطة التي يتحوَّل عندها القطع المكافئ. تُسمَّى هذه النقطة الرأس، وستُعطينا القيمة المخرجة العظمى أو الصغرى للدالة حسب إشارة . يمكننا أن نلاحظ أنه نظرًا لأن القطوع المكافئة متماثلة حول الخط الرأسي، وهو محور التماثل، فإن هذا الخط يجب أن يقع في المنتصف بين الأجزاء المقطوعة من المحور (إذا كان القطع المكافئ له أجزاء مقطوعة من المحور ). في الواقع، سيقع في المنتصف بين أيِّ قيمتين لـ لهما القيمة المخرجة نفسها.

يمكننا تلخيص جميع هذه الخواص للدوال التربيعية وتمثيلاتها البيانية كالآتي.

في المثال التالي، سنحدِّد محور التماثل لمنحنى دالة تربيعية مُعطى.

مثال ٢: تحديد محور التماثل لدالة تربيعية مُعطاة

حدِّد محور تماثل الدالة التربيعية .

الحل

نبدأ بتذكُّر أن محور التماثل لجميع منحنيات الدوال التربيعية هو الخط المستقيم الرأسي الذي يمر عبر رءوسها. ونتذكَّر أيضًا أن رأس المنحنى التربيعي يُشار إليه عادةً باسم نقطة تحوُّله.

يمكننا إيجاد إحداثيات هذه النقطة من التمثيل البياني المُعطى، أو بتذكُّر أن محور التماثل يقع في المنتصف بين الأجزاء المقطوعة من المحور .

نلاحظ من الشكل أن الجزأين المقطوعين من المحور يقعان عند ، ١. نقطة منتصف هاتين القيمتين هي:

ومن ثمَّ، فإن محور التماثل هو المستقيم . يمكننا أيضًا ملاحظة أن الرأس يمثِّل نقطة التقاطع بين المنحنى ومحور التماثل، وتكون إحداثياتها هي .

لقد أوضحنا سابقًا كيف يمكننا استخدام جدول قيم (جدول الدالة) ليساعدنا في رسم منحنى دالة تربيعية متماثل حول . ويمكننا، في الواقع، استخدام طريقة مشابهة مع أي دالة تربيعية. نريد، على وجه التحديد، إيجاد إحداثيات الرأس وأي أجزاء مقطوعة (إن أمكن).

على سبيل المثال، إذا أردنا رسم منحنى الدالة ، يمكننا إيجاد قيمة الدالة عند مجموعة من قيم لتحديد إحداثيات النقاط الواقعة على المنحنى. هيا نجرِّب الأعداد الصحيحة من إلى ٢.

نلاحظ أن:

يمكننا حساب ذلك عند بقية الأعداد الصحيحة بطريقة مشابهة لنحصل على الجدول الآتي.

نريد رسم المنحنى باستخدام هذا الجدول، ولفعل ذلك، علينا إيجاد إحداثيات رأس المنحنى. وبالنظر إلى الجدول، يمكننا أن نلاحظ أن هناك قيمة مخرجة متكرِّرة، وهي :

وهذا يعني أن رأس المنحنى يقع في المنتصف بين هاتين النقطتين على الخط المستقيم .

يمكننا إيجاد إحداثيات رأس المنحنى عن طريق إيجاد قيمة عند . نحصل على:

ومن ثمَّ، فإن إحداثيات رأس المنحنى هي .

يمكننا بعد ذلك رسم هذه النقاط الخمس على المستوى الإحداثي، وتوصيل النقاط باستخدام قطع مكافئ. ومن ثمَّ، نحصل على الشكل الآتي.

هيا نرَ الآن بعض الأمثلة لرسم منحنيات الدوال التربيعية باستخدام جدول قيم.

مثال ٣: رسم منحنى دالة تربيعية وإيجاد الأجزاء المقطوعة له ورأسه

1. بإكمال جدول القيم للدالة ، حدِّد التمثيل البياني الصحيح للدالة التربيعية على المجال .

   					٠

2. 

   

   

   حدِّد الأجزاء المقطوعة من المحور للدالة التربيعية الموضَّحة.
3. حدِّد الجزء المقطوع من المحور للدالة التربيعية الموضَّحة.
4. حدِّد محور تماثل منحنى الدالة التربيعية الموضَّحة.
5. حدِّد رأس منحنى الدالة التربيعية الموضَّحة.

الحل

الجزء الأول

نبدأ بإكمال جدول القيم. لفعل ذلك، علينا إيجاد قيمة الدالة عند القيم المُعطاة لـ ؛ لدينا:

يمكننا بعد ذلك إكمال جدول القيم.

					٠
	٠				٠

كل عمود يُعطينا قيمتَي الإحداثيين ، لنقطة تقع على التمثيل البياني. يمكننا أن نلاحظ أن ، وأن ؛ لذا، سيكون محور التماثل بين قيم هذه.

يمكننا رسم هذه النقاط على المستوى الإحداثي وتوصيلها باستخدام قطع مكافئ لرسم المنحنى؛ حيث نلاحظ أن مجال الدالة هو ؛ لذا، لا نرسم منحنى الدالة لقيم خارج هذا النطاق.

وهذا هو التمثيل البياني الموضَّح في الخيار (هـ).

الجزء الثاني

هناك طريقتان يمكننا استخدامهما لتحديد الأجزاء المقطوعة من المحور . أولًا، يمكننا أن نلاحظ أن الجزأين المقطوعين من المحور في التمثيل البياني هما ، . ثانيًا، يمكننا استخدام الجدول لمعرفة أن ، .

وباستخدام أيٍّ من الطريقتين، يمكننا ملاحظة أن الجزأين المقطوعين من المحور هما ، .

الجزء الثالث

يمكننا أن نلاحظ أن الجزء المقطوع من المحور هو أيضًا من التمثيل البياني. وبدلًا من ذلك، يمكننا تذكُّر أن الجزء المقطوع من المحور هو .

وفي كلتا الحالتين، يكون الجزء المقطوع من المحور هو .

الجزء الرابع

نحن نتذكَّر أن محور التماثل عبارة عن الخط المستقيم الرأسي لتماثل القطع المكافئ. ويمكننا تحديد محور التماثل من التمثيل البياني.

القطع المكافئ متماثل حول الخط . ومن الجدير بالملاحظة أيضًا أنه يمكننا ملاحظة ذلك في الجدول.

نلاحظ أن ، ؛ وهذه القيم لها القيمة المخرجة نفسها؛ لذا يجب أن يكون خط التماثل عند منتصف المدخلات هذه. ونظرًا لأن ، فإن محور التماثل هو .

وبدلًا من ذلك، كان بإمكاننا استخدام حقيقة أن خط التماثل سيكون في المنتصف بين الجزأين المقطوعين من المحور :

ومن ثمَّ، فإن محور التماثل هو الخط المستقيم:

الجزء الخامس

يمثِّل رأس القطع المكافئ نقطة التحوُّل. يمكننا أن نلاحظ ذلك في التمثيل البياني، أو يمكننا، بدلًا من ذلك، استخدام حقيقة أن رأس المنحنى يقع على محور التماثل.

ومن ثمَّ، نجد أن إحداثيي رأس المنحنى هما .

في المثالين الأخيرين، سنحدِّد الشكل الصحيح لمنحنى تربيعي عن طريق تكوين جدول قيم.

مثال ٤: تحديد التمثيل البياني لمنحنى دالة تربيعية

أيٌّ من التمثيلات البيانية التالية يمثِّل المعادلة المرسومة على الفترة ؟

الحل

يمكننا رسم منحنى دالة تربيعية بتذكُّر أن إحداثيات أي نقطة على التمثيل البياني لدالة ما تكون على الصورة . وهذا يعني أنه يمكننا رسم التمثيل البياني لدالة بإيجاد قيم الدالة عند قيم مدخلة مختلفة. نفعل ذلك بكتابة القيم في جدول.

نقول إن ، ويكون لدينا:

وهذا يُعطينا الجدول الآتي.

	٠	١	٢	٣	٤	٥

يمكننا أن نلاحظ أن . لذا، سيقع خط تماثل المنحنى في المنتصف بين قيمتَي عند ٢٫٥.

ومن ثَمَّ، فإن خط تماثل القطع مكافئ هو . ويمكننا إيجاد إحداثيات الرأس بالتعويض بـ في الدالة لنحصل على:

ومن ثمَّ، فإن رأس القطع المكافئ هو .

يمكننا الآن رسم قطع مكافئ يصل بين هذه النقاط؛ حيث من المهم أن نلاحظ أننا نرسم الدالة خلال قيم التي تقع بين ٠ و٥. وهذا يُعطينا التمثيل البياني الآتي.

وهذا هو المنحنى المُعطى في الخيار (ج).

من الجدير بالملاحظة أنه يمكننا التحقُّق من إجابتنا (أو استبعاد الخيارات الأخرى) باستخدام خواص منحنيات الدوال التربيعية. على سبيل المثال، نلاحظ أن المعامل الرئيسي للمعادلة التربيعية المُعطاة هو ١. وبما أنه موجب، فإننا نعلم أن القطع المكافئ يجب أن يكون مفتوحًا لأعلى.

هيا نرَ مثالًا آخر لتحديد المنحنى الصحيح لدالة تربيعية.

مثال ٥: تحديد التمثيل البياني لمنحنى دالة تربيعية

أيٌّ من المنحنيات الآتية يمثِّل المعادلة المرسومة على الفترة ؟

الحل

هناك عدة طرق مختلفة للإجابة عن هذا السؤال. على سبيل المثال، يمكننا استبعاد الخيارات باستخدام خواص منحنيات الدوال التربيعية والمعادلة المُعطاة. لكننا سنرسم منحنى للدالة التربيعية المذكورة، ثم نحدِّد الخيار الذي يُطابِق هذا الرسم.

لفعل ذلك، نتذكَّر أن إحداثيات أي نقطة على التمثيل البياني لدالة ما تكون على الصورة . وهذا يعني أنه يمكننا رسم التمثيل البياني لدالة بإيجاد قيم الدالة عند قيم مدخلة مختلفة. نفعل ذلك بكتابة القيم في جدول. نقول إن ، ويكون لدينا:

وهذا يُعطينا الجدول الآتي.

	٠	١	٢	٣	٤
		٠	٢	٠

يمكننا ملاحظة أن مخرجات الدالة متماثلة حول ؛ لذا، فإن رأس القطع المكافئ هو النقطة حيث .

يمكننا بعد ذلك رسم قطع مكافئ يصل بين هذه النقاط الخمس؛ حيث من المهم أن نلاحظ أننا نرسم الدالة خلال قيم التي تقع بين ٠ و٤. وهذا يُعطينا التمثيل البياني الآتي.

وهذا هو المنحنى المُعطى في الخيار (أ).

من الجدير بالملاحظة أنه يمكننا التحقُّق من إجابتنا (أو استبعاد الخيارات الأخرى) باستخدام خواص منحنيات الدوال التربيعية. على سبيل المثال، نلاحظ أن المعامل الرئيسي للمعادلة التربيعية المُعطاة هو . وبما أنه سالب، فإننا نعرف أن القطع المكافئ يجب أن يكون مفتوحًا لأسفل.

هيا نختم بمراجعة بعض النقاط المهمة في هذا الشارح.