تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل أي دالة تربيعية بيانيًّا باستخدام جدول قيم وفترة معطاة، وكيف نحدد خواص التمثيل البياني.

١٥:٤٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل أي دالة تربيعية بيانيًّا باستخدام جدول قيم وفترة معطاة، وكيف نحدد خواص التمثيل البياني.

حسنًا، تستخدم الدوال التربيعية في الحياة اليومية. إنها تستخدم في مجالات العلوم والأعمال التجارية والهندسة. على سبيل المثال، يمكن الاستعانة بها في تمثيل مسارات الأجسام المتحركة، بدءًا من مسارات الكرات المرتدة إلى مسارات طيران المقذوفات. وتستخدمها الشركات في توقع الإيرادات وتصميم عبوات التغليف لتقليل حجم الهدر. بجانب ذلك، يمكن استخدام المعادلات التربيعية لتحديد القيم العظمى والصغرى للعديد من المتغيرات المختلفة، ومن ذلك السرعة والتكلفة والمساحة. وعلى وجه التحديد، يمكننا استخدام التمثيلات البيانية للدوال التربيعية لمعرفة معلومات حول القيم العظمى والصغرى بسهولة، وحول متى تساوي المخرجات صفرًا.

لفعل ذلك، دعونا نبدأ باسترجاع ما نعنيه بالدالة التربيعية. الدالة التربيعية دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية في متغير واحد. هذا يعني أنها تكتب على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وﺃ لا يمكن أن يساوي صفرًا. ولهذه الدالة التربيعية ﺩﺱ، تكون ﺹ يساوي ﺩﺱ معادلة تربيعية.

دعونا الآن نتناول التمثيلات البيانية للمعادلات التربيعية. سنبدأ بتناول المعادلتين التربيعيتين، ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد أربعة، وﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع زائد تسعة. التمثيلان البيانيان للمعادلتين يبدوان هكذا تقريبًا. ولعلنا نلاحظ أن لهما شكلًا متشابهًا للغاية. هذا الشكل يعرف بالقطع المكافئ. في الواقع، جميع الدوال التربيعية يكون لها هذا الشكل. وتوضح لنا إشارة قيمة الثابت ﺃ؛ أي معامل ﺱ تربيع، إذا ما كان القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى أم مفتوحًا لأسفل. وعلى وجه التحديد، إذا ما كان معامل ﺱ تربيع موجبًا؛ أي إذا كان ﺃ أكبر من صفر، فإن القطع المكافئ يكون مفتوحًا لأعلى. وإذا كان ﺃ أقل من صفر، فإن القطع المكافئ يكون مفتوحًا لأسفل.

سنحدد الآن بعض النقاط المفيدة الموجودة على المنحنى، وأول ما لدينا هنا هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ بواسطة المنحنى، أو النقطة حيث يقطع المنحنى المحور ﺹ. في الحالتين اللتين لدينا، الجزآن المقطوعان من المحور ﺹ هما أربعة وتسعة على الترتيب. لكن لعلنا بالطبع نتذكر أنه يمكننا تحديد قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺹ بجعل ﺱ يساوي صفرًا، والتعويض بذلك في المعادلتين اللتين لدينا. دعونا نر ما يحدث عندما نعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الصورة العامة للدالة التربيعية. حسنًا، لقد حصلنا على ﺃ مضروبًا في صفر تربيع زائد ﺏ في صفر زائد ﺟ، وهو ما يساوي ببساطة ﺟ. وبهذا تكون قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺹ للدالة التربيعية المكتوبة على هذه الصورة هي ﺟ. أو بعبارة أخرى: يمكننا قول إنه النقطة التي إحداثياتها صفر، ﺟ.

وبالمثل، يمكننا تحديد قيمتي الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ، إن وجدا، بالتعويض بـ ﺹ يساوي صفرًا، أو ﺩﺱ تساوي صفرًا، والحل لإيجاد قيمة ﺱ. دعونا نوضح ذلك في المثال الأول الذي لدينا.

حدد الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ للدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص واحد.

حسنًا، لدينا تمثيل بياني لهذه الدالة. وفي الواقع، توجد طريقتان لحل هذا السؤال. يمكننا ببساطة النظر إلى قيم إحداثيات النقطتين اللتين يقطع عندهما هذا المنحنى المحور ﺱ. لكننا سنستخدم هذه الطريقة للتحقق من إجابتنا. والآن دعونا نسترجع أنه يمكننا إيجاد الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ بجعل ﺩﺱ أو ﺹ يساوي صفرًا. في هذا المثال، علينا جعل التعبير ﺱ تربيع ناقص واحد يساوي صفرًا، والحل لإيجاد قيمة ﺱ. يمكننا تحليل التعبير على اليمين، أو يمكننا ببساطة إضافة العدد واحد إلى كلا طرفي المعادلة، لنجد بذلك أن ﺱ تربيع يساوي واحدًا. بعد ذلك، يمكننا أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، مع تذكر أن علينا أخذ كل من الجذر الموجب والسالب للعدد واحد. هذا يعطينا ﺱ يساوي موجب أو سالب جذر واحد. والجذر التربيعي لواحد يساوي بالطبع واحدًا. إذن ﺱ يساوي واحدًا أو سالب واحد.

يمكننا الإشارة إلى هاتين القيمتين باستخدام عددين سفليين لتمثيل القيمة الصغرى ثم الكبرى. إذن لدينا ﺱ واحد يساوي سالب واحد، وﺱ اثنان يساوي واحدًا. والآن دعونا نتحقق من هاتين القيمتين على المنحنى. سنبدأ بتحديد النقطتين اللتين يقطع عندهما المنحنى المحور ﺱ، كما هو موضح. وسننظر بعد ذلك إلى مقياس الرسم. في الواقع يمكننا ملاحظة أن أربعة مربعات صغيرة تكافئ وحدتين. وهذا يعني أن المربعين الصغيرين يساويان وحدة واحدة. هاتان النقطتان هما سالب واحد وواحد. إذن الجزآن المقطوعان من المحور ﺱ للدالة التربيعية المعطاة هما ﺱ واحد يساوي سالب واحد، وﺱ اثنان يساوي واحدًا.

قبل أن نتابع، دعونا نتحقق من ذلك أكثر. لعلنا نلاحظ أن نقطة التحول هي في الواقع نقطة القيمة الصغرى. بعبارة أخرى: إنها النقطة التي على المنحنى؛ حيث تكون قيمة الدالة أقل ما يمكن. يمكننا أيضًا ملاحظة أننا إذا رسمنا خطًّا رأسيًّا يمر بهذه النقطة؛ أي نقطة التحول للمنحنى، فإن هذا الخط سيكون هو خط التماثل. ويشار إلى هذه النقطة بالطبع باسم خاص. وهو الرأس. الرأس هي نقطة مفيدة للغاية؛ لأنها توضح لنا القيمة المخرجة الصغرى أو القيمة المخرجة العظمى للدالة، وذلك بناء على إشارة معامل ﺱ تربيع. وبما أن القطوع المكافئة متماثلة حول الخط الرأسي، وهو محور التماثل، فإن هذا الخط لا بد أن يقع في المنتصف تمامًا بين الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ، إن وجدا. إنه في الواقع سيقع في المنتصف بين أي قيمتين لـ ﺱ لهما القيمة المخرجة نفسها، كما هو موضح في التمثيل البياني.

دعونا الآن نلخص جميع خواص الدوال التربيعية وتمثيلاتها البيانية. تذكر أنه للدالة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، إذا كانت قيمة ﺃ موجبة، فإن التمثيل البياني يكون مفتوحًا لأعلى، وإذا كانت قيمته سالبة، فإن التمثيل البياني يكون مفتوحًا لأسفل. للحصول على الجزء المقطوع من المحور ﺹ، يمكننا مساواة ﺱ بصفر، وتذكر أن النقطة هي صفر، ﺟ. ويمكن أن يساوي عدد الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ صفرًا أو واحدًا أو اثنين.

يمكن إيجاد الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ، إن وجدا، بحل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا. تسمى نقطة التحول الواحدة للدالة بالرأس، وهي تمثل قيمة عظمى أو قيمة صغرى. وبالطبع تكون هذه القطوع المكافئة متماثلة حول الخطوط الرأسية المارة برءوسها. عرفنا أيضًا أن محور التماثل يقع في المنتصف بين الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ، إن وجدا.

في المثال الآتي، سنحدد محور التماثل لمنحنى دالة تربيعية معطاة.

حدد محور تماثل الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص واحد.

تذكر أنه عندما نتحدث عن محور التماثل لمنحنى دالة تربيعية، فإننا نتحدث عن الخط الرأسي الذي يمر عبر رأس هذا المنحنى أو نقطة تحوله. وعلى الرغم من أنه يمكننا استخدام الشكل المعطى لفعل ذلك، فإننا سنستعين بحقيقة أخرى في هذا المثال. هذه الحقيقة هي أن محور التماثل سيقع في المنتصف تمامًا بين الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ للمنحنى. في الواقع، سيقع في المنتصف بين أي قيمتين لـ ﺱ لهما القيمة المخرجة نفسها.

والآن سنجعل ﺩﺱ تساوي صفرًا؛ حتى نتمكن من إيجاد قيمتي الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ، ثم نتأكد من صحة ما توصلنا إليه بالنظر إلى التمثيل البياني. وبفعل ذلك، يصبح لدينا المعادلة ﺱ تربيع ناقص واحد يساوي صفرًا. سنضيف واحدًا إلى كلا طرفي المعادلة، ثم سنأخذ الجذر التربيعي الموجب والسالب للعدد الواحد. وهذا يعطينا ﺱ يساوي موجب أو سالب جذر واحد، لنجد بذلك أن الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ هما سالب واحد وواحد. ويمكننا ملاحظة أن هاتين القيمتين تتوافقان بالفعل مع القيمتين اللتين على المنحنى الموجود لدينا.

لقد أوضحنا من قبل أن محور التماثل سيقع في المنتصف تمامًا بين هاتين القيمتين. ويمكننا بالطبع إيجاد نقطة المنتصف لهما بحساب متوسطهما الحسابي. سنجمع القيمتين معًا، ثم سنقسم على اثنين. وهذا يعطينا سالب واحد زائد واحد؛ أي صفرًا، مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي صفرًا أيضًا. هذا يعني أن محور التماثل سيمر عبر النقطة ﺱ يساوي صفرًا، وأنه خط رأسي. ومن ثم، يمكننا التعبير عن محور التماثل بالمعادلة ﺱ يساوي صفرًا.

بالنظر إلى التمثيل البياني الذي لدينا، نجد أن هذا بالفعل يبدو صحيحًا. لكن دعونا نتأكد من ذلك باختيار أي قيمتين لـ ﺱ لهما نفس القيمة المخرجة. القيمة التي تقع في المنتصف تمامًا بين سالب أربعة وأربعة هي الصفر، وهذا يؤكد لنا أن محور التماثل للدالة التربيعية هو ﺱ يساوي صفرًا.

حسنًا، لقد استخدمنا حتى الآن التمثيلات البيانية والمعادلات لتحديد الخواص المختلفة. في المثال الآتي، سنوضح كيف يمكننا استخدام جدول قيم لمساعدتنا في رسم تمثيل بياني لدالة تربيعية.

أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل المعادلة ﺩﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ ناقص سبعة؟

حسنًا، توجد طريقتان يمكننا بهما الإجابة عن هذا السؤال. لكن دعونا في البداية نحدد إذا ما كان التمثيل البياني للدالة المعطاة مفتوحًا لأعلى أم لأسفل. نحن نعلم أنه إذا كانت لدينا المعادلة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، وكانت قيمة ﺃ موجبة، فإن التمثيل البياني يكون مفتوحًا لأعلى. وإذا كانت قيمة ﺃ سالبة، فإنه يكون مفتوحًا لأسفل.

في معادلة الدالة التي لدينا، نلاحظ أن ﺃ يساوي سالب اثنين. إذن القيمة هنا سالبة. وعليه فإن التمثيل البياني للدالة سيكون مفتوحًا لأسفل. ويمكننا إذن استبعاد أي تمثيلات بيانية مفتوحة لأعلى. هذا يعني أننا سنستبعد الدالة الممثلة بالتمثيل البياني 𝐵، والدالة الممثلة بالتمثيل البياني 𝐸.

والآن سنرسم جدول قيم لتحديد النقاط التي يمر بها هذا المنحنى. وسنفعل ذلك لقيم متعددة لـ ﺱ. سنبدأ بـ ﺱ يساوي صفرًا. هذا يعطينا ﺩ لصفر تساوي سالب اثنين في صفر تربيع زائد تسعة في صفر ناقص سبعة. وهذا يساوي سالب سبعة. إذن عندما يكون ﺱ يساوي صفرًا، فإن قيمة الدالة تساوي سالب سبعة. وهذا يعني أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ للدالة يساوي في الحقيقة سالب سبعة.

وبالطبع كان بإمكاننا استخدام الطريقة الأخرى، وهي الاستعانة بحقيقة أنه لأي دالة على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، يكون الجزء المقطوع من المحور ﺹ له الإحداثيات صفر، ﺟ. في كلتا الحالتين، سواء اخترنا التعويض أم الاستعانة بخاصية المنحنى سنحصل على النتيجة نفسها.

والآن سنختار عددًا من القيم الموجبة والقيم السالبة لـ ﺱ، ونرى أي منها يتوافق مع التمثيلات البيانية المعطاة. سنعوض أولًا بـ ﺱ يساوي سالب ثلاثة في معادلة الدالة. ونحصل عندئذ على سالب اثنين في سالب ثلاثة تربيع زائد تسعة في سالب ثلاثة ناقص سبعة. وهذا يساوي سالب ٥٢. وسنعوض أيضًا بـ ﺱ يساوي سالب اثنين. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﺩ لسالب اثنين تساوي سالب ٣٣. وهذا يعني أن منحنى الدالة المعطاة لا بد أن يمر بالنقطة سالب اثنين، سالب ٣٣. بالتعويض بالقيم المتبقية، نجد أن ﺩ لسالب واحد تساوي سالب ١٨، وﺩ لواحد تساوي صفرًا، وﺩ لاثنين تساوي ثلاثة، وﺩ لثلاثة تساوي اثنين. بتحديد مواضع القيم التي يمكن رسمها على التمثيلين البيانيين المتبقيين لدينا، نجد أنه يمكننا استبعاد الخيار 𝐶 تمامًا. وذلك لأنه، كما نلاحظ، على الجانب الخطأ من المحور ﺹ. وفي الواقع، المنحنى الذي يمر بهذه النقاط بالفعل هو المنحنى 𝐴.

ثمة طريقة أخرى كان بإمكاننا استخدامها هنا. لقد بدأنا بتحديد شكل المنحنى. وعرفنا أنه سيكون مفتوحًا لأسفل. وأوجدنا بعد ذلك قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺹ. لكن كان بإمكاننا أيضًا جعل ﺩﺱ تساوي صفرًا لإيجاد قيمتي الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ. وبفعل ذلك كنا سنجد أن ﺱ يساوي واحدًا، وﺱ يساوي ٣٫٥، وهو ما يتوافق مرة أخرى مع الدالة في التمثيل البياني 𝐴. إذن التمثيل البياني الذي يمثل المعادلة المعطاة هو التمثيل البياني 𝐴.

دعونا الآن نختتم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. في هذا الدرس، تعلمنا أن الدالة التربيعية تكتب على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ لا يساوي صفرًا. وعلمنا أن جميع الدوال التربيعية تكون على شكل قطع مكافئ، وأنها تكون مفتوحة لأعلى عندما يكون ﺃ موجبًا، وتكون مفتوحة لأسفل عندما يكون ﺃ سالبًا. تعلمنا أيضًا أنه على الرغم من أنه يمكننا جعل ﺱ يساوي صفرًا لإيجاد قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺹ للمعادلة ﺹ يساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، فإن الجزء المقطوع من المحور ﺹ له في الحقيقة الإحداثيات صفر، ﺟ.

عرفنا أيضًا أن قيمتي الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ، إن وجدا، يمكن الحصول عليهما بحل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا. كما عرفنا أن التمثيلات البيانية للدوال التربيعية لها نقطة واحدة تسمى الرأس، وتوضح لنا إشارة ﺃ إذا ما كانت نقطة الرأس هذه تمثل قيمة عظمى أم قيمة صغرى. تقع نقطة الرأس في المنتصف بين الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ. وبالطبع منحنيات الدوال التربيعية متماثلة حول الخط الرأسي المار برأسها، ويسمى هذا الخط بمحور التماثل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.