Transcription de la vidéo
Déterminez les valeurs de 𝑚 et 𝑛 qui rendent le vecteur deux 𝑖 plus sept 𝑗 plus 𝑚𝑘 colinéaire au vecteur six 𝑖 plus 𝑛𝑗 moins 21𝑘.
Commençons par rappeler ce que cela signifie pour deux vecteurs d’être colinéaires entre eux. Deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Cela signifie que nous pouvons multiplier un vecteur par un seul scalaire pour obtenir l’autre. Aussi, nous pouvons multiplier le deuxième vecteur par l’inverse de ce scalaire pour obtenir le premier.
Nous voulons alors que notre premier vecteur deux 𝑖 plus sept 𝑗 plus 𝑚𝑘 soit égal à un certain scalaire 𝑐 multiplié par notre deuxième vecteur six 𝑖 plus 𝑛𝑗 moins 21𝑘. Nous pourrions également choisir d’exprimer ces vecteurs comme des vecteurs colonne. Ainsi, alternativement, nous pourrions dire que le vecteur colonne deux, sept, 𝑚 doit être égal au scalaire 𝑐 multiplié par le vecteur colonne six, 𝑛, moins 21.
Maintenant, pour multiplier un vecteur colonne par un scalaire, il suffit de multiplier chaque composante de notre vecteur par ce scalaire. Ainsi, sur le côté droit de notre équation, 𝑐 multiplié par le vecteur colonne six, 𝑛, moins 21 est égal au vecteur colonne six 𝑐, 𝑛𝑐, moins 21𝑐.
Ensuite, nous pouvons assimiler les composantes de nos vecteurs. En assimilant les composantes 𝑖 ou les premières composantes, nous avons l’équation deux égale six 𝑐. Aussi, nous pouvons écrire ceci comme six 𝑐 égale deux. Nous pouvons résoudre cette équation en divisant par six pour donner 𝑐 est égal à deux sixièmes, ce qui simplifie en un tiers. En fait, nous avons trouvé la valeur du scalaire qui rend ces deux vecteurs colinéaires.
Egaliser les composantes 𝑗 de nos deux vecteurs donne l’équation 𝑛 multiplié par 𝑐 égale sept. Nous venons de constater que la valeur de 𝑐 est de un tiers. Ainsi, par substitution, nous avons 𝑛 multiplié par un tiers est égal à sept. Pour résoudre cette équation, nous multiplions les deux côtés par trois pour avoir 𝑛 est égal à 21. Enfin, nous pouvons assimiler les composantes 𝑘 de nos deux facteurs pour donner 𝑚 est égal à moins 21𝑐.
Rappelez-vous, nous savons que 𝑐 est égal à un tiers. Ainsi, par substitution, nous avons 𝑚 est égal à moins 21 multiplié par un tiers, ce qui est moins sept. Nous avons rappelé que si deux vecteurs sont colinéaires, ils doivent être des multiples scalaires l’un de l’autre, puis assimiler les composantes. Ensuite, nous avons trouvé les valeurs de 𝑚 et 𝑛 de sorte que les deux vecteurs donnés sont colinéaires. 𝑚 est égal à moins sept et 𝑛 est égal à 21.
