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Fiche explicative de la leçon : Vecteurs parallèles et orthogonaux dans l’espace Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment reconnaître les vecteurs parallèles et orthogonaux dans l’espace.

Un vecteur dans l’espace est défini par deux quantités:sa norme et sa direction (sens). Une relation spéciale se forme entre deux ou plusieurs vecteurs lorsqu’ils ont le même sens ou de sens opposés. Lorsque c’est le cas, on dit que les vecteurs sont parallèles. Cela peut être représenté mathématiquement.

Définition : Vecteurs parallèles dans l’espace

Les vecteurs 𝐴 et 𝐵 sont parallèles si, et seulement si, ce sont des multiples scalaires l’un de l’autre:𝐴=𝑘𝐵,𝑘 est un nombre réel non nul.

Une autre façon de penser à cela est que, si deux vecteurs sont parallèles, alors les rapports de chacune de leurs composantes correspondantes sont égaux. Donc, si nous avons nos deux vecteurs 𝐴=𝑎,𝑎,𝑎 et 𝐵=𝑏,𝑏,𝑏, alors 𝑎𝑏=𝑎𝑏=𝑎𝑏.

La deuxième relation spéciale qui peut se produire entre deux vecteurs est lorsque les directions de ces deux vecteurs forment un angle de 90. Lorsque cela se produit, on dit que les deux vecteurs sont orthogonaux l’un à l’autre. Pour déterminer quand deux vecteurs sont orthogonaux, nous pouvons utiliser le produit scalaire.

Définition : Le produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs, 𝐴 et 𝐵, peut être défini comme 𝐴𝐵=𝐴𝐵𝜃,cos𝜃 est l’angle formé entre 𝐴 et 𝐵.

Dans le cas où les vecteurs 𝐴 et 𝐵 sont orthogonaux, 𝜃=90. Par conséquent, cos𝜃=0, et donc 𝐴𝐵=0.

Note

Lorsque deux vecteurs sont parallèles, l’angle entre eux est soit 0 ou 180.

Une autre façon pour définir le produit scalaire de deux vecteurs 𝐴=𝑎,𝑎,𝑎 et 𝐵=𝑏,𝑏,𝑏 est par la formule 𝐴𝐵=𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑎𝑏.

Bien sûr, si les vecteurs sont orthogonaux, alors la somme des produits des composantes respectives sera égale à zéro:𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑎𝑏=0.

Définition : Vecteurs orthogonaux dans l’espace

Les vecteurs 𝐴 et 𝐵 sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul:𝐴𝐵=0.

Regardons maintenant quelques exemples impliquant des vecteurs parallèles et orthogonaux.

Exemple 1: Utiliser les propriétés des vecteurs parallèles et orthogonaux pour résoudre un problème

Vrai ou faux:si la composante d’un vecteur dans la direction d’un autre vecteur, est nulle, alors les deux vecteurs sont parallèles.

Réponse

Afin de visualiser ce qui se passe ici, commençons par considérer deux vecteurs, 𝐴 et 𝐵. Ils peuvent être deux vecteurs quelconques. Supposons que ces vecteurs ont le même point d’origine. Voici à quoi ils peuvent ressembler.

Maintenant, ajoutons la composante de 𝐴 dans la direction de 𝐵.

En utilisant ce schéma, avec la règle trigonométrique convenable, nous pouvons voir que la norme de la composante de 𝐴 dans la direction de 𝐵 peut être calculé en utilisant 𝐴𝜃cos.

La question indique que cette quantité doit être nulle. Comme 𝐴0, cos𝜃 doit être égal à zéro. En résolvant cela pour 𝜃 on obtient 𝜃=90.

Cela nous indique que lorsque la composante de 𝐴 dans la direction de 𝐵 vaut 0, l’angle entre les vecteurs doit être un angle droit. Par conséquent, 𝐴 et 𝐵 sont orthogonaux.

Notre solution à la question est « faux »:si la composante d’un vecteur dans la direction d’un autre vecteur est nulle, alors les deux ne sont pas parallèles.

Une autre façon d’imaginer ce problème est de représenter deux vecteurs parallèles comme illustré.

Comme les vecteurs 𝐴 et 𝐵 sont parallèles, l’angle entre eux est 𝜃=0. Par conséquent, la composante de 𝐴 dans la direction de 𝐵 est 𝐴(0)cos. Comme cos(0)=1, cette composante représente juste le vecteur 𝐴. 𝐴 est non nul;par conséquent, la réponse à la question doit être « faux ».

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver des paramètres manquants dans le cas où les deux vecteurs donnés sont parallèles.

Exemple 2: Trouver une valeur manquante en utilisant une paire de vecteur parallèle

Déterminez les valeurs de 𝑚 et 𝑛 sachant que le vecteur 2𝑖+7𝑗+𝑚𝑘 est parallèle au vecteur 6𝑖+𝑛𝑗21𝑘.

Réponse

Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser le fait que lorsque deux vecteurs sont parallèles, ce sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Par conséquent, 2𝑖+7𝑗+𝑚𝑘=𝑐6𝑖+𝑛𝑗+21𝑘,𝑐 est une constante qu’on peut trouver.

En égalisant les coefficients de chaque composante de ces vecteurs, on obtient trois équations:2=6𝑐,7=𝑐𝑛,𝑚=21𝑐.

Nous pouvons résoudre la première de ces équations pour trouver 𝑐. En faisant cela, on obtient𝑐=13.

Maintenant, nous devons simplement remplacer cette valeur dans les deux autres équations et les résoudre pour trouver les valeurs manquantes. Pour trouver 𝑛, nous avons7=𝑛3𝑛=21.

Pour trouver 𝑚, nous avons𝑚=213𝑚=7.

Nous avons maintenant trouvé notre solution, qui est que les valeurs de 𝑚 et 𝑛 tel que les vecteurs soient parallèles, sont 𝑚=7 et 𝑛=21.

Nous pouvons vérifier notre solution en vérifiant que les rapports des composantes respectives des deux vecteurs sont égaux.

Pour deux vecteurs parallèles, il devrait être vrai que26=7𝑛=𝑚21.

Si nous remplaçons par les valeurs obtenues, on a 26=721=721, qui toute, peuvent se simplifier à 13. Cela confirme que notre solution est correcte.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment identifier des vecteurs orthogonaux.

Exemple 3: Déterminer le vecteur qui n’est pas perpendiculaire à la droite donnée

Lequel des vecteurs suivants n’est pas perpendiculaire à la droite dont le vecteur directeur 𝑟 est (2;3;5)?

  1. (10;10;2)
  2. (10;5;1)
  3. (2;2;2)
  4. (1;2;3)
  5. (2;3;1)

Réponse

Pour que deux vecteurs soient orthogonaux, leur produit scalaire doit être nul. Afin de trouver la solution, il suffit de trouver lequel de ces vecteurs ne donne pas un produit scalaire nul lorsqu’il est multiplié avec (2;3;5).

Commençons par le vecteur en A. Nous trouvons que le produit scalaire nous donne (10,10,2)(2,3,5)=10×2+10×(3)+2×5=2030+10=0.

Par conséquent, (10;10;2) est orthogonal à (2;3;5).

Ensuite, nous pouvons vérifier le vecteur en B. On obtient (10,5,1)(2,3,5)=(10)×2+(5)×(3)+1×5=20+15+5=0.

Comme il vaut zéro, la réponse n’est pas, non plus, B.

En faisant le produit scalaire du vecteur en C avec (2;3;5), on obtient (2,2,2)(2,3,5)=2×2+(2)×(3)+(2)×5=4+610=0.

Ainsi, la solution ne peut pas être C non plus.

Ensuite, nous devons vérifier le vecteur D:(1,2,3)(2,3,5)=1×2+(2)×(3)+3×5=2+6+15=23.

Comme ce produit scalaire est non nul, (1;2;3) et (2;3;5) ne sont pas orthogonaux. Donc, notre solution à la question est que le vecteur qui n’est pas perpendiculaire à la droite, est D, (1;2;3).

Nous pouvons vérifier rapidement le vecteur E, juste pour nous assurer que ce vecteur est perpendiculaire à la droite:(2,3,1)(2,3,5)=2×2+3×(3)+1×5=49+5=0.

Comme ce résultat est nul, cela aide à confirmer notre solution D.

Dans le prochain exemple, nous allons déterminer si deux vecteurs sont parallèles, orthogonaux ou aucun des deux.

Exemple 4: Identifier si deux vecteurs sont parallèles, orthogonaux ou non

Soient les deux vecteurs 𝐴=(8𝑖7𝑗+𝑘) et 𝐵=(64𝑖56𝑗+8𝑘), déterminez si ces deux vecteurs sont parallèles, orthogonaux ou non.

Réponse

Commençons par rappeler les conditions pour lesquelles ces vecteurs seraient parallèles ou orthogonaux. Les vecteurs sont parallèles si 𝐴=𝑘𝐵 , où 𝑘 est une constante réelle non nulle. Les vecteurs sont orthogonaux si 𝐴𝐵=0. Si aucune de ces conditions n’est vérifié, alors les vecteurs ne sont ni parallèles ni orthogonaux entre eux.

Commençons par vérifier si elles sont parallèles. S’ils sont parallèles, alors (8𝑖7𝑗+𝑘)=𝑘(64𝑖56𝑗+8𝑘).

Nous pouvons vérifier si cela est vrai en essayant de trouver une valeur de 𝑘. On peut établir trois équations en égalisant les composantes de ces vecteurs. On obtient 8=64𝑘,7=56𝑘,1=8𝑘.

En résolvant l’une de ces équations, nous obtiendrons la même valeur de 𝑘=18. Ceci nous indique que nos vecteurs sont en fait parallèles.

Nous avons déjà trouvé notre solution, mais, pour illustrer la méthode, on continue à prouver qu’ils ne sont pas orthogonaux. On trouve le produit scalaire de 𝐴 et 𝐵 est (8𝑖7𝑗+𝑘)(64𝑖56𝑗+8𝑘)=8×64+(7)×(56)+1×8=512+392+8=912.

Comme cela n’est pas nul, les vecteurs ne sont pas orthogonaux, ce qui ne contredit pas notre solution que les vecteurs sont parallèles.

Maintenant, nous savons comment déterminer si deux vecteurs sont parallèles ou orthogonaux. Nous pouvons l’utiliser pour déterminer si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires. Dans l’exemple suivant, nous verrons comment on peut trouver une constante manquante dans l’équation d’une droite donnée à l’aide d’une autre droite qui lui est perpendiculaire.

Exemple 5: Résoudre un problème impliquant deux droites perpendiculaires

Si la droite 𝑥+810=𝑦+8𝑚=𝑧+108 est perpendiculaire à la droite 𝑥+54=𝑦+810 et 𝑧=8, trouvez 𝑚.

Réponse

Ainsi, on nous a donné les équations de deux droites dans l’espace et on nous a dit qu’elles sont perpendiculaires. Nous pouvons utiliser cette information pour déterminer la constante manquante.

Premièrement, nous devons trouver le vecteur directeur de chaque droite. On sait qu’une droite de la forme 𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐 passe par le point (𝑥;𝑦;𝑧) et a un vecteur directeur de (𝑎,𝑏,𝑐).

En utilisant cela, on peut voir que la droite 𝑥+810=𝑦+8𝑚=𝑧+108 a un vecteur directeur de (10,𝑚,8).

L’autre droite n’est pas tout à fait de cette forme, car nous avons 𝑧=8. Cependant, cela signifie simplement que la coordonnée 𝑧 de cette droite est constante comme notre droite existe dans le plan d’équation 𝑧=8. Ainsi, dans le vecteur directeur, la composante 𝑧 sera nulle. Par conséquent, le vecteur directeur de la droite 𝑥+514=𝑦+810, avec 𝑧=8, est (4,10,0).

Maintenant que nous avons les vecteurs directeurs des deux droites, nous devons faire le produit scalaire de ces vecteurs et le rendre égal à zéro car les deux droites sont perpendiculaires. Cela nous donne (10,𝑚,8)(4,10,0)=0.

Tout ce que nous avons à faire est de résoudre ce problème pour trouver 𝑚. On obtient (10)×(4)+𝑚×10+(8)×0=040+10𝑚=010𝑚=40𝑚=4.

Ici, nous avons trouvé notre solution:pour que ces deux droites soient perpendiculaires, 𝑚=4.

Nous avons maintenant vu des exemples divers pour trouver et utiliser des vecteurs parallèles et orthogonaux. Récapitulons quelques points clés de cette fiche explicative.

Points Clés

  • Lorsque deux vecteurs sont parallèles, l’angle entre eux est 0 ou 180. Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux, l’angle entre eux est 90.
  • Deux vecteurs, 𝐴=𝑎,𝑎,𝑎 et 𝐵=𝑏,𝑏,𝑏, sont parallèles si 𝐴=𝑘𝐵. Cela équivaut à des rapports égaux de composantes correspondantes de chacun des vecteurs:𝑎𝑏=𝑎𝑏=𝑎𝑏.
  • Deux vecteurs, 𝐴=𝑎,𝑎,𝑎 et 𝐵=𝑏,𝑏,𝑏, sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, 𝐴𝐵=0, ou si 𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑎𝑏=0.
  • Nous pouvons utiliser les relations ci-dessus entre des vecteurs parallèles et orthogonaux pour déterminer si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires.

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