Vidéo de la leçon: Vecteurs colinéaires et orthogonaux dans l’espace Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à reconnaître les vecteurs colinéaires et orthogonaux dans l’espace. Commençons par examiner les conditions qui sont nécessaires pour que deux vecteurs soient colinéaires ou orthogonaux.

Deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires si, et seulement si, ils sont des multiples l’un de l’autre. Le vecteur 𝐀 doit être égal à 𝑘 multiplié par le vecteur 𝐁, où 𝑘 est une constante non nulle. Si le vecteur 𝐀 a comme composantes 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑦 et 𝑎 𝑧 et le vecteur 𝐁 a comme composantes 𝑏 𝑥, 𝑏 𝑦, 𝑏 𝑧, alors les vecteurs sont colinéaires si les rapports des composantes sont égaux. 𝑎 𝑥 sur 𝑏 𝑥 doit être égal à 𝑎 𝑦 sur 𝑏 𝑦, qui est doit également être égal à 𝑎 𝑧 sur 𝑏 𝑧. Pour prouver que deux vecteurs sont colinéaires, il faut montrer que ces conditions sont vraies.

Voyons maintenant les conditions pour que deux vecteurs soient orthogonaux. Deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est égal à zéro. Si le vecteur 𝐀 a une fois de plus les composantes 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑦, 𝑎 z et le vecteur 𝐁 a comme composantes 𝑏 𝑥, 𝑏 𝑦, b 𝑧, alors les vecteurs sont orthogonaux si 𝑎 𝑥, 𝑏 𝑥 plus 𝑎 𝑦, 𝑏 𝑦 plus 𝑎 𝑧, 𝑏 𝑧 est égal à zéro. On calcule la somme du produit des composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧, et si cette somme est égale à zéro, alors les vecteurs sont orthogonaux.

Encore une fois, pour prouver que deux vecteurs sont orthogonaux, il faut montrer que les conditions ci-dessus sont vraies. On va maintenant traiter quelques questions où il faut déterminer si les vecteurs sont orthogonaux ou colinéaires.

Déterminer si la propriété suivante est vraie ou fausse: si la composante d’un vecteur dans la direction d’un autre vecteur est nulle, alors les deux sont colinéaires.

On commence par considérer deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 comme indiqué. La composante du vecteur 𝐀 dans la direction du vecteur 𝐁 est représentée sur la figure. On voit que cela forme un triangle rectangle. Appelons 𝜃 l’angle à l’origine. En trigonométrie dans le triangle rectangle, le cosinus est égal au rapport du côté adjacent sur l’hypoténuse. On sait que l’hypoténuse est égale à la norme du vecteur 𝐀. Et si on appelle 𝑥 la composante du vecteur 𝐀 dans la direction -du vecteur 𝐁, alors cos 𝜃 est égal à 𝑥 sur la norme du vecteur 𝐀. En réarrangeant cette équation, on obtient que 𝑥 est égal à la norme du vecteur 𝐀 multiplié par cos 𝜃.

On nous dit dans l’énoncé que 𝑥 est égal à zéro. Par conséquent, zéro est égal à la norme du vecteur 𝐀 multipliée par cos 𝜃. La norme de tout vecteur doit être positive, elle ne peut pas être égale à zéro. Cela signifie que cos 𝜃 doit être égal à zéro. 𝜃 est donc égal à 90 degrés. Cela signifie que les deux vecteurs sont en fait orthogonaux. On peut donc conclure que l’affirmation est fausse. Les vecteurs ne sont pas colinéaires mais orthogonaux.

Dans la prochaine question, on va trouver une valeur manquante en utilisant une paire de vecteurs colinéaires.

Trouvez les valeurs de 𝑚 et 𝑛 telles que le vecteur deux 𝐢 plus sept 𝐣 plus 𝑚𝐤 soit colinéaire au vecteur six 𝐢 plus 𝑛𝐣 moins 21𝐤.

On sait que deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre. Le vecteur 𝐀 doit être égal à c multiplié par le vecteur 𝐁, où c est une constante non nulle. Dans cette question, deux 𝐢 plus sept 𝐣 plus 𝑚𝐤 doivent être égaux à la constante c multipliée par six 𝐢 plus 𝑛 𝐣 moins 21𝐤. En développant les parenthèses dans le membre de droite, puis en identifiant les composantes, on voit que deux est égal à six c. En identifiant les composantes 𝐣, on a sept est égal à 𝑛c. En identifiant les composantes 𝐤, on a 𝑚 est égal à moins 21 multiplié par la constante c.

On peut résoudre la première équation en divisant les deux côtés par six. Par conséquent, c est égal à deux sur six ou deux sixièmes. Cette fraction peut être simplifiée de sorte que c soit égal à un tiers. On peut alors substituer cette valeur dans les deux autres équations. Sept est égal à 𝑛 multiplié par un tiers. En multipliant les deux côtés de cette équation par trois, on obtient 𝑛 égal 21. Dans la troisième équation, 𝑚 est égal à moins 21 multiplié par un tiers. Un tiers de 21 est égal à sept. Par conséquent, un tiers de moins 21 est égal à moins sept. Si les deux vecteurs sont colinéaires, alors 𝑚 est égal à moins sept et 𝑛 est égal à 21.

Une autre méthode consiste à écrire chacune des composantes sous forme d’un rapport. On peut le faire dans les deux sens. En mettant la plus grande composante 𝐢 au numérateur, on a six sur deux est égal à 𝑛 sur sept, ce qui est égal à moins 21 sur 𝑚. Six divisé par deux est égal à trois. On peut donc résoudre trois est égal à 𝑛 sur sept et trois est égal à moins 21 sur 𝑚 pour calculer les valeurs de 𝑚 et 𝑛. Cela nous donne encore une fois les réponses 𝑛 égal à 21 et 𝑚 égal à moins sept.

Dans la prochaine question, on va identifier le vecteur qui n’est pas orthogonal à un vecteur donné.

Lequel des vecteurs suivants n’est pas orthogonal à la droite dont le vecteur directeur est six, moins cinq? Est-ce que c’est (A) 𝐫 est égal à moins cinq, moins six ? (B) 𝐫 est égal à cinq, six. (C) 𝐫 est égal à 10, 12. Ou (D) 𝐫 est égal à 12, moins 10.

On rappelle que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Pour calculer le produit scalaire, on trouve la somme du produit des composantes correspondantes. Pour l’option (A), il faut multiplier six par moins cinq, puis ajouter moins cinq fois moins six. La multiplication d’un nombre positif par un nombre négatif donne un résultat négatif. Et multiplier deux nombres négatifs donne un nombre positif. Cela nous donne moins 30 plus 30. Comme cela est égal à zéro, les deux vecteurs sont orthogonaux. L’option (A) n’est donc pas la bonne réponse.

En répétant ce processus pour l’option (B), on a six multiplié par cinq plus moins cinq multiplié par six. En simplifiant, on trouve 30 plus moins 30. Encore une fois, c’est égal à zéro. Donc l’option (B) n’est pas correcte. Dans l’option (C), on a six multiplié par 10 plus moins cinq multiplié par 12. Six multiplié par 10 est égal à 60, et moins cinq multiplié par 12 est égal à moins 60. L’option (C) n’est pas la bonne réponse car le produit scalaire est égal à zéro.

Dans l’option (D), le calcul est six multiplié par 12 plus moins cinq multiplié par moins 10. Six multiplié par 12 est 72, et moins cinq multiplié par moins 10 est 50. Cela signifie que le produit scalaire est égal à 122. Ce n’est pas égal à zéro. L’option (D) est donc la bonne réponse. Le vecteur 12, moins 10 n’est pas orthogonal à la droite dont la direction est donnée par le vecteur six, moins cinq. En effet, leur produit scalaire n’est pas égal à zéro.

Dans la question suivante, il faut déterminer si deux vecteurs sont colinéaires, orthogonaux ou ni l’un ni l’autre.

Étant donné les deux vecteurs 𝐀 égal à huit 𝐢 moins sept 𝐣 plus 𝐤 et 𝐁 égal à 64𝐢 moins 56𝐣 plus huit 𝐤, déterminer si ces deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux, ou non.

On sait que deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Le vecteur 𝐀 doit être égal à 𝑘 multiplié par le vecteur 𝐁. Deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont orthogonaux, si leur produit scalaire est égal à zéro. Voyons d’abord si nos deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires. Si un vecteur est un multiple scalaire d’un autre vecteur, alors les rapports de leurs composantes correspondantes doivent être égaux. Dans ce cas, 64 sur huit doit être égal à moins 56 sur moins sept, qui doit être égal à huit sur un. 64 divisé par huit est égal à huit, et huit divisé par un est égal à huit.

Diviser un nombre négatif par un nombre négatif donne une valeur positive. Par conséquent, moins 56 divisé par moins sept est également égal à huit. On peut donc conclure que le vecteur 𝐁 est égal à huit multiplié par le vecteur 𝐀 ou encore que le vecteur 𝐀 est égal à un huitième du vecteur 𝐁. Les deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont donc colinéaires. Bien qu’ils ne puissent pas être colinéaires et orthogonaux, vérifions simplement que le produit scalaire n’est pas égal à zéro. Les composantes 𝐢 de notre vecteur sont huit et 64. Les composantes 𝐣 sont moins sept et moins 56. Les composantes 𝐤 sont un et huit. Huit multiplié par 64 est 512. Moins sept multiplié par moins 56 est 392. Un multiplié par huit est égal à huit. Le produit scalaire des vecteurs 𝐀 et 𝐁 est donc égal à 912. Comme ce n’est pas égal à zéro, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 ne sont pas orthogonaux.

Dans la dernière question, on va résoudre un problème contenant une paire de droites perpendiculaires.

Si la droite d’équation 𝑥 plus huit sur moins 10 est égale à 𝑦 plus huit sur 𝑚 qui est égale à 𝑧 plus 10 sur moins huit est perpendiculaire à la droite d’équation 𝑥 plus cinq sur moins quatre qui est égale à 𝑦 plus huit sur 10 et 𝑧 est égal à huit, trouvez 𝑚.

On remarque que les deux droites dans cette question sont données sous forme cartésienne. 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝑎 est égal à 𝑦 moins 𝑦 zéro sur 𝑏 qui est égal à 𝑧 moins 𝑧 zéro sur 𝑐. Toute droite sous cette forme peut être réécrite sous la forme vectorielle 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro plus 𝑡 multiplié par 𝑎, 𝑏, 𝑐. 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro est la position initiale et 𝑎, 𝑏, 𝑐 est la direction de la droite.

L’équation vectorielle de notre première droite est donc égale à moins huit, moins huit, moins 10 plus 𝑡 multiplié par moins 10, 𝑚, moins huit. La deuxième équation ne semble pas avoir de composante 𝑧. Cependant, d’après l’énoncé, 𝑧 est égal à huit. Par conséquent, le vecteur position est moins cinq, moins huit, huit. Comme la composante 𝑧 reste constante, la direction de la droite est moins quatre, 10, zéro. On sait que lorsque deux droites sont perpendiculaires, le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est égal à zéro. Pour calculer les produits scalaires, on cherche la somme des produits des composantes correspondantes.

Cela donne moins 10 multiplié par moins quatre plus 𝑚 multiplié par 10 plus moins huit multiplié par zéro. Ce qui doit être égal à zéro. Moins 10 multiplié par moins quatre est égal à 40, 𝑚 multiplié par 10 est 10𝑚, et moins huit multiplié par zéro est égal à zéro. La soustraction de 40 des deux côtés de cette équation nous donne 10𝑚 est égal à moins 40. On peut alors diviser les deux côtés de cette équation par 10, ce qui donne 𝑚 est égal à moins quatre. Si les deux droites sont perpendiculaires, alors la valeur de 𝑚 est égale à moins quatre.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Deux vecteurs sont colinéaires si le vecteur 𝐀 est égal à 𝑘 multiplié par le vecteur 𝐁, où 𝑘 est une constante non nulle. Deux vecteurs quelconques ne sont colinéaires que s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Cela signifie également que les rapports de leurs composantes correspondantes sont égaux. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Pour calculer le produit scalaire, on effectue la somme des produits des composantes correspondantes. En considérant ces deux propriétés, on peut identifier si deux vecteurs sont colinéaires, orthogonaux, ou ni l’un ni l’autre.

Lorsque l’on traite des droites sous forme vectorielle, on tient compte des vecteurs directeurs pour identifier si elles sont parallèles ou perpendiculaires. Si une droite a comme équation vectorielle 𝐫 égale à 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro plus 𝑡 multiplié par 𝑎, 𝑏, 𝑐. C’est a, b, c qui représente le vecteur directeur de la droite et c’est l’élément clé.