Transcription de la vidéo
Calculez la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 puissance moins cinq moins 32 puissance moins un, le tout divisé par 𝑥 moins deux.
Dans cette question, on nous demande de calculer la limite de la différence entre une fonction puissance et une constante, divisée par une fonction linéaire. Rappelons que nous pouvons essayer de calculer la limite de cette fonction en remplaçant directement par la valeur en laquelle nous cherchons la limite. En remplaçant 𝑥 par deux dans la fonction, nous obtenons deux puissance moins cinq moins 32 puissance moins un le tout divisé par deux moins deux. Si nous calculons cette expression, nous obtenons zéro divisé par zéro. Il s’agit d’une forme indéterminée, nous ne pouvons donc pas calculer cette limite simplement par substitution directe.
Au lieu de cela, il faut remarquer que cette limite est très similaire à la forme de la limite d’une différence de puissances. Pour cela, il peut être plus facile de remarquer que 32 puissance moins un est égal à deux puissance moins cinq. En effet, 32 est égal à deux puissance cinq. Ainsi, nous pouvons réécrire la limite comme la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 puissance moins cinq moins deux puissance moins cinq, le tout divisé par 𝑥 moins deux.
Maintenant, nous avons exactement la forme de la limite d’une différence de puissances. Nous pouvons donc calculer cette limite en rappelant que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance 𝑛 divisée par 𝑥 moins 𝑎 est égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Cela est vrai pour toutes les constantes réelles 𝑎 et 𝑛 à condition que 𝑎 puissance 𝑛 et 𝑎 puissance 𝑛 moins un existent.
Nous voyons que la valeur de 𝑛 est moins cinq et que la valeur de 𝑎 est deux. Nous remplaçons ensuite ces valeurs dans la formule. Cela nous donne moins cinq multiplié par deux puissance moins cinq moins un. Nous pouvons alors simplifier cette expression. Moins cinq moins un est égal à moins six. Puis, en utilisant les propriétés des exposants, nous pouvons écrire cela au dénominateur d’une fraction. Multiplier par deux puissance moins six équivaut à diviser par deux puissance six. Nous obtenons donc moins cinq sur deux puissance six. Enfin, deux puissance six est égal à 64. Le résultat final est donc moins cinq divisé par 64.
Nous avons donc montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 puissance moins cinq moins 32 puissance moins un, le tout divisé par 𝑥 moins deux est égale à moins cinq sur 64.
