Vidéo de la leçon: Limites d’une différence de puissances Mathématiques

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Limites d’une différence de puissances

Dans cette vidéo, nous allons présenter et démontrer plusieurs résultats permettant de calculer la limite d’une différence de puissances. Nous verrons également plusieurs exemples et applications de ces résultats. Avant de passer aux résultats de cette vidéo, commençons par un cas que nous avons déjà vu auparavant, la limite d’une fonction rationnelle. On rappelle que si 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥 est une fonction rationnelle – c’est-à-dire que 𝑃 et 𝑄 sont des fonctions polynômes - alors on peut calculer sa limite par substitution directe. La limite de 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑃 de 𝑎 sur 𝑄 de 𝑎. Et cela, bien sûr, à condition que le dénominateur 𝑄 de 𝑎 soit différent de zéro.

On peut le démontrer directement à partir des propriétés des limites. On utilise simplement la formule de la limite d’un quotient et le fait que l’on peut calculer la limite d’une fonction polynôme par substitution directe. Et une fonction rationnelle est un exemple de quotient de puissances. Par exemple, 𝑥 puissance n sur 𝑥 puissance m est égal à 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑚. Nous souhaitons alors généraliser cela davantage. Mais concentrons-nous pour l’instant sur le cas des fonctions rationnelles. Plus précisément sur la condition selon laquelle 𝑄 de 𝑎 doit être différent de zéro.

Pour voir comment nous pourrions contourner cette condition, commençons par rappeler la définition d’une limite. On dit que la limite d’une fonction 𝑓 de x lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à une valeur finie 𝐿 si les valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent vers 𝐿 quand les valeurs de 𝑥 tendent vers 𝑎 des deux côtés. On ne s’intéresse donc qu’aux valeurs de 𝑓 de 𝑥 lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers 𝑎. En d’autres termes, nous souhaitons savoir ce qui se passe lorsque les valeurs de 𝑥 sont de plus en plus proches de 𝑎. Mais nous ne nous intéressons pas vraiment à ce qui se passe lorsque 𝑥 est égal à 𝑎.

Nous pouvons utiliser ce principe pour construire un théorème très utile. Et si nous avions une fonction 𝑔 égale à la fonction 𝑓 en tout point sauf lorsque 𝑥 est égal à 𝑎? On commence donc par une fonction 𝑔 de 𝑥, qui est égale à la fonction 𝑓 de 𝑥 en tout point sauf lorsque 𝑥 est égal à 𝑎. Et on souhaite l’utiliser pour déterminer la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Il se trouve que l’on peut la calculer. On sait que 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥 partout sauf lorsque 𝑥 est égal à 𝑎. Le fait que 𝑔 de 𝑥 soit différente de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale 𝑎 n’affectera pas sa limite car on ne s’intéresse pas vraiment ce qui se passe lorsque 𝑥 est égal à 𝑎.

Leurs limites lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 doivent donc être égales. La limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 sera égale à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Et cela nous donne un résultat vraiment utile. Si on a deux fonctions 𝑓 et 𝑔 égales en tout point sauf lorsque 𝑥 est égal à 𝑎, telles que la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à une valeur finie 𝐿, alors la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑎 doit aussi être égale à 𝐿.

Nous sommes maintenant prêts à appliquer ce résultat directement au cas des fonctions rationnelles. Commençons par un exemple. Supposons que nous souhaitions évaluer la limite de 𝑥 plus un fois 𝑥 moins un sur 𝑥 plus un lorsque 𝑥 tend vers moins un. Comme il s’agit d’une fonction rationnelle, nous pouvons essayer de la calculer par substitution directe. En faisant cela, on voit cependant que le 𝑥 plus un du numérateur deviendrait égal à zéro. Ainsi que le 𝑥 plus un du dénominateur. La substitution directe nous donne ainsi la forme indéterminée zéro sur zéro, ce qui signifie que l’on ne peut pas évaluer cette limite par substitution directe.

Mais il est important de rappeler que cela ne veut pas dire que nous pouvons conclure que la limite n’existe pas. Cela nous indique seulement que l’on ne peut pas évaluer cette limite en utilisant cette méthode. Nous devons donc essayer une méthode différente. Nous pouvons alors essayer d’annuler le facteur commun 𝑥 plus un au numérateur et au dénominateur. Cela nous donnera la limite de 𝑥 moins un lorsque 𝑥 tend vers moins un, que l’on peut cette fois évaluer par substitution directe. Mais nous devons être prudents. Annuler le facteur commun 𝑥 plus un a modifié la fonction dont nous calculons la limite. Moins un n’appartenait pas à l’ensemble de définition de la fonction initiale. Mais il est dans l’ensemble de définition de la fonction 𝑥 moins un.

Et cette opération est en fait possible grâce à la propriété que nous venons de démontrer. Lorsque 𝑥 est différent de moins un, 𝑥 plus un est un nombre non nul. Et un nombre non nul divisé par lui-même est toujours égal à un. Cela signifie en réalité que la fonction rationnelle d’origine et la fonction polynôme 𝑥 moins un sont égales en tout point sauf lorsque 𝑥 est égal à moins un. D’après la propriété précédente, leurs limites doivent donc être égales. Et on peut évaluer la limite de 𝑥 moins un lorsque 𝑥 tend vers moins un par substitution directe. Elle est égale à moins un moins un, ce qui fait bien sûr moins deux.

On peut utiliser exactement le même raisonnement pour évaluer la limite d’autres fonctions rationnelles. Faisons donc un peu de place et penchons-nous sur un autre exemple. Nous souhaitons maintenant déterminer la limite de 𝑥 puissance n moins 𝑎 puissance n sur 𝑥 moins 𝑎 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. On suppose pour le moment que 𝑛 est un entier strictement positif. Comme il s’agit d’une fonction rationnelle, on peut essayer d’évaluer cette limite par substitution directe. On obtient alors 𝑎 puissance n moins 𝑎 puissance n sur 𝑎 moins 𝑎, ce qui se simplifie par zéro sur zéro et qui est bien sûr une forme indéterminée.

Essayons donc plutôt la même astuce que précédemment. Nous souhaitons annuler le facteur commun 𝑥 moins 𝑎 au numérateur et au dénominateur. On appelle pour cela la fonction polynôme du numérateur 𝑃 de 𝑥. Elle est égale à 𝑥 puissance n moins 𝑎 puissance 𝑛. En particulier, comme 𝑃 de 𝑎 est égal à zéro, on sait que 𝑥 moins 𝑎 doit être un facteur de 𝑃 de 𝑥 d’après les propriétés de la division euclidienne de polynômes. Ces dernières permettent d’ailleurs de montrer que 𝑥 puissance n moins 𝑎 puissance n est égal à 𝑥 moins 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins un plus 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins deux plus 𝑎 au carré fois 𝑥 puissance 𝑛 moins trois. Et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 puissance 𝑛 moins un.

On substitue alors cette expression directement dans notre limite. Ce qui nous donne l’expression qui s’affiche. Et on peut à présent annuler le facteur commun 𝑥 moins 𝑎 au numérateur et au dénominateur. On rappelle une nouvelle fois que c’est possible car on calcule la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Annuler le facteur commun 𝑥 moins 𝑎 ne change la valeur de la fonction nulle part sauf lorsque 𝑥 est égal à 𝑎. On a donc maintenant la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un plus 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins deux. Et cætera jusqu’à 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Il s’agit de la limite d’une fonction polynôme, que l’on peut évaluer par substitution directe.

On obtient 𝑎 puissance 𝑛 moins un plus 𝑎 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins deux. Et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 puissance 𝑛 moins un. En simplifiant chaque terme, on remarque quelque chose d’intéressant. Chaque terme de cette expression est en fait égal à 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Et il y a 𝑛 termes dans cette expression : un pour chaque exposant de 𝑥, de 𝑛 moins un à zéro. Cela est donc simplement égal à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un.

Et bien que nous ayons supposé que 𝑛 était un entier strictement positif, ce résultat est vrai pour toute valeur de 𝑛. Pour toutes constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la limite de 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance n sur 𝑥 moins 𝑎 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Et cela à condition que 𝑎 puissance n et 𝑎 puissance 𝑛 moins un existent tous les deux. Voyons maintenant un exemple d’application de cette formule pour évaluer une limite.

Calculez la limite de racine quatrième de un moins un fois racine sixième de 𝑥 puissance sept moins un sur 𝑥 moins un au carré lorsque 𝑥 tend vers un.

Cette question nous demande d’évaluer une limite. Et on peut voir qu’il s’agit de la limite d’une fonction assez compliquée. Cette fonction est cependant une combinaison de différences, quotients, produits et compositions de fonctions puissances et polynômes. On peut donc essayer d’évaluer sa limite par substitution directe. Si on substitue 𝑥 égale un dans cette fonction puis que l’on simplifie, on obtient zéro sur zéro, ce qui est une forme indéterminée; cela signifie que l’on ne peut pas évaluer la limite en utilisant cette méthode. Nous devons essayer une méthode différente pour la calculer. On remarque alors que cette limite a une forme très similaire à une limite que l’on sait calculer.

On sait en effet que pour toutes constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la limite de 𝑥 puissance n moins 𝑎 puissance n sur 𝑥 moins 𝑎 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Et cela à condition que a puissance n et 𝑎 puissance 𝑛 moins un existent tous les deux. Nous devons donc reformuler notre limite sous cette forme. On commence par séparer l’expression en un produit de chaque terme du numérateur sur un facteur du dénominateur. On obtient ainsi la limite de racine quatrième de 𝑥 moins un sur 𝑥 moins un multiplié par racine sixième de 𝑥 puissance sept moins un sur 𝑥 moins un lorsque 𝑥 tend vers un.

Chacun de ces deux termes est maintenant sous la forme permettant d’appliquer la formule ci-dessus. D’après la formule de la limite d’un produit, la limite d’un produit de deux fonctions est égale au produit des limites de ces fonctions. Et on précise à nouveau que cela n’est possible que si les limites des deux fonctions existent. Nous pourrons montrer qu’elles existent bien grâce au résultat obtenu précédemment. Avant de pouvoir l’appliquer, nous devons reformuler les numérateurs. D’après les lois des puissances, racine quatrième de 𝑥 égale 𝑥 puissance un sur quatre et racine sixième de 𝑥 puissance sept égale 𝑥 puissance sept sur six.

Nous sommes maintenant prêts à utiliser la formule ci-dessus pour évaluer notre limite. Commençons par la première limite. Dans ce cas, 𝑛 est égal à un sur quatre et 𝑎 est égal à un. Il convient de remarquer ici que un est égal à un puissance un sur quatre. Donc cette expression est bien sous la forme attendue. D’après la formule ci-dessus, cette limite est donc égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un, c’est-à-dire un sur quatre fois un puissance un sur quatre moins un.

Et on peut faire exactement la même chose pour la deuxième limite. La valeur de 𝑛 est sept sur six et la valeur de 𝑎 est à nouveau un. Et on peut utiliser la même formule pour calculer cette limite. Elle est égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un, soit sept sur six fois un puissance sept sur six moins un. Et on doit bien sûr calculer le produit de ces valeurs. On peut maintenant calculer directement cette expression. Tout d’abord, un élevé à n’importe quelle puissance est juste égal à un. L’expression se simplifie donc par un sur quatre fois sept sur six, soit sept sur 24.

Nous avons ainsi montré que la limite de racine quatrième de 𝑥 moins un fois racine sixième de 𝑥 puissance sept moins un sur 𝑥 moins un au carré lorsque 𝑥 tend vers un est égale à sept sur 24.

On peut en fait démontrer deux autres formules de limites vraiment utiles grâce à cette formule. Imaginons tout d’abord que nous devions évaluer la limite de 𝑥 puissance n moins 𝑎 puissance n sur 𝑥 puissance m moins 𝑎 puissance m lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. On peut en fait reformuler cela en fonction de la formule ci-dessus. On commence par introduire un facteur 𝑥 moins 𝑎 au numérateur et au dénominateur. Ensuite, au lieu de multiplier les termes, nous allons diviser le premier terme par l’inverse du second. Cela nous donne l’expression suivante. Et on voit alors que ces deux termes sont sous la forme nécessaire pour appliquer la formule. Nous devons ensuite utiliser la formule de la limite d’un quotient pour calculer cette limite.

Cette formule stipule que la limite d’un quotient de deux fonctions est égale au quotient des limites de ces deux fonctions. Et cela à condition que les deux limites existent et que la limite du dénominateur soit différente de zéro. On peut à présent évaluer ces deux limites à l’aide de la formule ci-dessus. La première limite est égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Et la deuxième limite est égale à 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑚 moins un. Et on doit calculer le quotient de ces valeurs. En les divisant et en simplifiant, on obtient 𝑛 sur 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚.

Et cela nous donne une formule vraiment utile. Pour toutes constantes réelles 𝑎, 𝑛 et 𝑚, la limite de 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance n sur 𝑥 puissance m moins 𝑎 puissance m lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑛 sur 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. Et cela à condition que 𝑚 soit différent de zéro et que 𝑎 puissance n, 𝑎 puissance m et 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚 existent tous.

On peut démontrer un autre résultat utile à partir cette formule. Nous allons pour cela effectuer le changement de variable 𝑦 égale 𝑥 moins 𝑎 dans cette formule. Faisons d’abord un peu de place. On peut trouver une expression de 𝑥 en ajoutant 𝑎 aux deux membres. Et on obtient 𝑥 égale 𝑦 plus 𝑎. On note également que quand les valeurs de 𝑥 tendent vers 𝑎, 𝑥 moins 𝑎 tend vers zéro. Donc les valeurs de 𝑦 tendent vers zéro. En effectuant le changement de variable 𝑦 égale 𝑥 moins 𝑎 dans la limite, on obtient la limite de y plus 𝑎 puissance n moins 𝑎 puissance n sur 𝑦 lorsque 𝑦 tend vers zéro. Et cela est égal à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. On peut alors généraliser ce résultat avec la variable 𝑥.

Cela nous donne la formule suivante. Pour toutes constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la limite de 𝑥 plus 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance 𝑛 sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro est égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Et cela à condition que a puissance n et 𝑎 puissance 𝑛 moins un existent.

Voyons maintenant un exemple d’application d’une de ces formules.

Calculez la limite de 𝑥 moins quatre au cube plus huit sur 𝑥 moins deux lorsque 𝑥 tend vers deux.

Cette question nous demande d’évaluer la limite d’une fonction. On peut voir que le numérateur et le dénominateur de la fonction sont tous les deux des polynômes. Donc, il s’agit d’une fonction rationnelle. Et on peut essayer d’évaluer la limite d’une fonction rationnelle par substitution directe. En substituant 𝑥 égale deux dans la fonction, on obtient deux moins quatre au cube plus huit sur deux moins deux, ce qui donne la forme indéterminée zéro sur zéro. Nous ne pouvons donc pas évaluer cette limite par substitution directe et allons devoir utiliser une méthode différente.

On remarque que la limite de cette question est très similaire à une des formules que nous venons de démontrer. Qui stipule la limite de 𝑥 plus 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance 𝑛 sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro est égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Et cela à condition que 𝑎 puissance n et 𝑎 puissance 𝑛 moins un existent tous les deux. Mais ce résultat suppose que 𝑥 tend vers zéro alors que 𝑥 tend vers deux pour notre limite. Nous allons donc effectuer le changement de variable 𝑦 égale 𝑥 moins deux. Lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers deux, 𝑥 moins deux tend vers zéro. Donc les valeurs de 𝑦 tendent vers zéro.

Au dénominateur, on a 𝑥 moins deux, ce qui sera égal à 𝑦. Mais au numérateur, on a 𝑥 moins quatre. Nous devons donc trouver une expression de 𝑥 moins quatre. Et on peut la trouver en soustrayant deux aux deux membres de l’expression de 𝑦. On obtient ainsi 𝑦 moins deux égale 𝑥 moins quatre. Par conséquent, en utilisant le changement de variable 𝑦 égale 𝑥 moins deux, on peut réécrire notre limite par la limite de 𝑦 moins deux au cube plus huit sur 𝑦 lorsque 𝑦 tend vers zéro.

Et cela est maintenant presque sous la forme nécessaire. On peut l’écrire sous la forme exacte de la formule ci-dessus en notant que 𝑦 plus moins deux est la même chose que 𝑦 moins deux et que huit est la même chose que moins un fois moins deux au cube. Donc, la valeur de 𝑎 est moins deux et la valeur de 𝑛 est trois. On en déduit que cette limite est égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. En substituant 𝑎 égale moins deux et 𝑛 égale trois, on obtient trois fois moins deux puissance trois moins un, ce qui est égal à 12. Par conséquent, nous avons montré que la limite de 𝑥 moins quatre au cube plus huit sur 𝑥 moins deux lorsque 𝑥 tend vers deux est égale à 12.

Passons maintenant en revue certains des points clés que nous avons présentés dans cette leçon. Tout d’abord, si deux fonctions 𝑓 et 𝑔 sont égales en tout point sauf lorsque 𝑥 est égal à 𝑎 et si la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝐿, alors la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 doit aussi être égale à 𝐿. Il s’agit d’une propriété vraiment utile. Elle nous permet notamment d’annuler les facteurs communs du type 𝑥 moins 𝑎 lorsque l’on évalue la limite de fonctions rationnelles.

Nous avons également montré trois formules de limites utiles pour toutes constantes réelles 𝑎, 𝑛 et 𝑚. D’abord, la limite de 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance n sur 𝑥 moins 𝑎 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Et cela à condition que 𝑎 puissance n et 𝑎 puissance 𝑛 moins un existent tous les deux. Ensuite, la limite de 𝑥 puissance n moins 𝑎 puissance n sur 𝑥 puissance 𝑚 moins 𝑎 puissance m lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑛 sur 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. Et cela à condition que 𝑚 soit différent de zéro et que 𝑎 puissance n, 𝑎 puissance m et 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚 existent tous. Enfin, la limite de 𝑥 plus 𝑎 puissance n moins 𝑎 puissance n sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro est égale à 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un. Et cela à condition que 𝑎 puissance n et 𝑎 puissance 𝑛 moins un existent tous les deux.