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Fiche explicative de la leçon : Limites d’une différence de puissances Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment étudier les limites d’une différence de puissances.

Avant de passer à l’évaluation de la limite d’une différence de puissances de 𝑥, rappelons brièvement la définition d’une limite et certaines propriétés dont nous aurons besoin.

Définition : Limite d’une fonction

Si les valeurs de 𝑓(𝑥) s’approchent d’une valeur 𝐿 quand les valeurs de 𝑥 s’approchent de 𝑎 (des deux côtés) mais pas nécessairement quand 𝑥=𝑎, alors on dit que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝐿 et on la note lim𝑓(𝑥)=𝐿.

À partir de cette définition, il est possible de démontrer les propriétés suivantes des limites de fonctions en un point.

Propriétés : Limites de fonctions

Si lim𝑓(𝑥)=𝐿, lim𝑔(𝑥)=𝐿 et 𝑘 est une constante, alors

  • lim(𝑘𝑓(𝑥))=𝑘𝐿;
  • lim(𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))=𝐿±𝐿;
  • lim(𝑓(𝑥)×𝑔(𝑥))=𝐿×𝐿;
  • lim𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝐿𝐿 si 𝐿0.

Si 𝑛 et (𝐿), alors lim(𝑓(𝑥))=(𝐿).

Si (𝑥) est un polynôme, alors pour tout 𝑎, lim(𝑥)=(𝑎).

En utilisant les propriétés des limites, on peut évaluer toute fonction rationnelle. Comme une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes, par exemple, 𝑃(𝑥)𝑄(𝑥), alors si 𝑄(𝑎)0, on a lim𝑃(𝑥)𝑄(𝑥)=𝑃(𝑎)𝑄(𝑎).

On souhaite étendre cela au cas où 𝑄(𝑎)=0. On commence par étudier un exemple. Soit 𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+1)𝑥+1. Pour déterminer la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 1, on peut tracer sa représentation graphique.

On peut voir sur la représentation graphique que quand les valeurs de 𝑥 se rapprochent de 1 de chaque côté, les images tendent vers 2.

On rappelle que la valeur de 𝑓(1) n’affecte pas sa limite quand 𝑥 tend vers 1. Cela signifie que l’on peut choisir la valeur que l’on souhaite pour 𝑓(1) et toujours évaluer sa limite. En particulier, si on suppose que 𝑓(1)=2, on obtient la représentation graphique suivante.

Il s’agit alors de la droite 𝑦=𝑥1. On peut évaluer la limite de cette fonction par substitution directe et elle est égale à la limite de 𝑓(𝑥):limlim𝑓(𝑥)=𝑥1=11=2.

Nous pouvons formaliser ce résultat directement à partir de la définition d’une limite. Comme 𝑓(𝑎) n’affecte pas la limite de 𝑓 quand 𝑥 tend vers 𝑎, deux fonctions égales en tout point sauf en 𝑥=𝑎 doivent avoir la même limite en 𝑎.

Propriété: Fonctions avec la même limite

Si 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) pour tous 𝑥{𝑎} et si lim𝑔(𝑥)=𝐿, alors lim𝑓(𝑥)=𝐿.

Par conséquent, pour évaluer la limite d’une fonction, on peut la manipuler en changeant sa valeur au point limite. Dans l’exemple ci-dessus, on a utilisé le fait que lorsque 𝑥1, 𝑥+1 n’est pas nul, donc 𝑓(𝑥)=(𝑥+1)(𝑥1)𝑥+1=(𝑥+1)(𝑥1)𝑥+1=𝑥1𝑥1.si

En d’autres termes, si 𝑔(𝑥)=𝑥1 alors 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) pour tous 𝑥{1}. Par conséquent, limlimlim𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)=𝑥1=2.

Nous pouvons évaluer la limite d’une fonction rationnelle en annulant les facteurs communs, cela ne changera en effet pas la valeur de la fonction au voisinage du point limite;cela ne peut que changer la valeur de la fonction en ce point.

Étudions un exemple d’application de cela pour évaluer la limite d’une fonction rationnelle.

Exemple 1: Déterminer la limite d’une fonction en utilisant la différence de puissances

Calculez lim𝑥625𝑥125.

Réponse

Comme on doit déterminer la limite d’une fonction rationnelle, on peut commencer par essayer la substitution directe:56255125=00.

Comme cela donne une forme indéterminée, on ne peut rien conclure sur cette limite par substitution directe. On va donc complètement factoriser le numérateur et le dénominateur de la fonction rationnelle. Comme 5 est une racine des deux polynômes, il peut être utile de noter que l’on sait que les deux ont un facteur commun de 𝑥5 d’après les propriétés de la division euclidienne des polynômes:𝑥625=𝑥25𝑥+25=(𝑥5)(𝑥+5)𝑥+25,𝑥125=(𝑥5)𝑥+5𝑥+25.

Par conséquent, limlim𝑥625𝑥125=(𝑥5)(𝑥+5)𝑥+25(𝑥5)(𝑥+5𝑥+25).

On rappelle que si 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) pour tout 𝑥{𝑎} et lim𝑔(𝑥)=𝐿, alors lim𝑓(𝑥)=𝐿. Cela permet d’annuler le facteur commun de 𝑥5 au numérateur et au dénominateur, car cela n’affectera la valeur de la fonction nulle part, sauf lorsque 𝑥=5:limlim(𝑥5)(𝑥+5)𝑥+25(𝑥5)(𝑥+5𝑥+25)=(𝑥+5)𝑥+25(𝑥+5𝑥+25).

On peut alors évaluer cette limite par substitution directe:lim(𝑥+5)𝑥+25(𝑥+5𝑥+25)=(5+5)5+25(5+5(5)+25)=50075=203.

Par conséquent, lim𝑥625𝑥125=203.

Nous pouvons appliquer la méthode ci-dessus pour établir un résultat plus général. Par exemple, si on souhaite évaluer lim𝑥𝑎𝑥𝑎, 𝑛, on sait que le numérateur et le dénominateur partagent un facteur commun de 𝑥𝑎 d’après les propriétés de la division euclidienne de polynômes. On peut factoriser le numérateur pour évaluer la limite:limlimlim𝑥𝑎𝑥𝑎=(𝑥𝑎)𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑥++𝑎𝑥𝑎=𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑥++𝑎=𝑎+𝑎𝑎+𝑎𝑎++𝑎=𝑛𝑎.

Le résultat que nous venons de montrer n’est pas limité aux nombres naturels 𝑛.

Théorème : Limite d’une fonction rationnelle

Pour toutes constantes réelles 𝑛 et 𝑎, lim𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑛𝑎, à condition que 𝑎 et 𝑎 existent.

On peut utiliser cela pour prouver un autre résultat utile. On souhaite évaluer lim𝑥𝑎𝑥𝑎. On peut le faire en réécrivant la limite:limlim𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑥𝑎𝑥𝑎÷𝑥𝑎𝑥𝑎.

On peut maintenant appliquer la formule de la limite d’un quotient:limlimlim𝑥𝑎𝑥𝑎÷𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑥𝑎𝑥𝑎÷𝑥𝑎𝑥𝑎.

À condition que les deux limites existent, on peut alors évaluer ces limites en utilisant le résultat ci-dessus:limlim𝑥𝑎𝑥𝑎÷𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑛𝑎𝑚𝑎=𝑛𝑚𝑎.

Cela nous donne la formule suivante.

Théorème : Limite d’une différence de puissances

Pour tous 𝑛,𝑚,𝑎, lim𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑛𝑚𝑎, à condition que 𝑚0 et que 𝑎, 𝑎 et 𝑎 existent tous.

On peut utiliser cela pour évaluer directement la limite du premier exemple, lim𝑥625𝑥125. Dans ce cas, on réécrit la limite comme suit limlim𝑥625𝑥125=𝑥5𝑥5.

On voit que 𝑛=4, 𝑎=5 et 𝑚=3. Substituer ces valeurs dans la formule de la limite de la différence de puissances donne lim𝑥5𝑥5=43(5)=203.

On peut évaluer un autre type de limite à partir de ce résultat. Si on substitue 𝑦=𝑥𝑎 dans lim𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑛𝑎, on obtient 𝑛𝑎=𝑥𝑎𝑥𝑎=(𝑦+𝑎)𝑎𝑦.limlim

Cela nous donne un autre résultat.

Théorème : Limite d’une fonction rationnelle

Pour toutes constantes réelles 𝑛 et 𝑎, lim(𝑥+𝑎)𝑎𝑥=𝑛𝑎, à condition que 𝑎 et 𝑎 existent.

Étudions quelques exemples d’application de ces résultats de limite pour évaluer les limites de différentes fonctions.

Exemple 2: Déterminer la limite d’une différence de puissances en utilisant la manipulation algébrique

Déterminez lim𝑥+𝑥2𝑥1.

Réponse

Il s’agit de la limite d’une expression radicale, on pourrait donc essayer d’évaluer cette limite par substitution directe:1+1211=00.

Comme cela donne une forme indéterminée, on ne peut pas évaluer cette limite par substitution directe. On rappelle plutôt que pour toutes constantes réelles 𝑛 et 𝑎, lim𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑛𝑎, à condition que 𝑎 et 𝑎 existent.

On peut réécrire la limite sous cette forme en séparant la fraction au numérateur comme suit:limlimlim𝑥+𝑥2𝑥1=𝑥1+𝑥1𝑥1=𝑥1𝑥1+𝑥1𝑥1.

Comme la limite d’une somme est égale à la somme des limites à condition que les deux limites existent, on a limlimlim𝑥1𝑥1+𝑥1𝑥1=𝑥1𝑥1+𝑥1𝑥1=16(1)+122(1)=16+122=733.

Par conséquent, lim𝑥+𝑥2𝑥1=733.

Exemple 3: Déterminer la limite d’une fonction impliquant des racines

Déterminez lim𝑥1𝑥1(𝑥1).

Réponse

Il s’agit de la limite d’une expression radicale, on pourrait donc essayer d’évaluer cette limite par substitution directe:11(1)1(11)=00.

Comme cela donne une forme indéterminée, on ne peut pas évaluer cette limite par substitution directe. On rappelle plutôt que pour toutes constantes réelles 𝑛 et 𝑎,

lim𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑛𝑎,à condition que 𝑎 et 𝑎 existent.

On peut réécrire la limite sous cette forme en utilisant la formule de la limite d’un produit:limlimlimlimlimlim𝑥1𝑥1(𝑥1)=𝑥1𝑥1×𝑥1𝑥1=𝑥1𝑥1×𝑥1𝑥1=𝑥1𝑥1×𝑥1𝑥1=14[1]×76[1]=14×76=724.

Par conséquent, lim𝑥1𝑥1(𝑥1)=724.

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser un changement de variable pour réécrire une limite sous une forme que nous pouvons évaluer.

Exemple 4: Déterminer la limite d’une fonction rationnelle

Déterminez lim(𝑥4)+8𝑥2.

Réponse

Puisqu’il s’agit de la limite d’une fonction rationnelle, on peut essayer d’évaluer la limite par substitution directe:(24)+822=00.

C’est une forme indéterminée, on ne peut donc pas évaluer la limite par substitution directe. Pour évaluer cette limite, on remarque que sa forme est similaire à la formule de la limite d’une différence de puissances. On rappelle que pour toutes constantes réelles 𝑛 et 𝑎, lim(𝑥+𝑎)𝑎𝑥=𝑛𝑎, à condition que 𝑎 et 𝑎 existent.

Pour écrire la limite sous cette forme, on utilise le changement de variable 𝑦=𝑥2:limlim(𝑥4)+8𝑥2=(𝑦2)+8𝑦.

Elle est maintenant sous la forme requise avec 𝑥=𝑦, 𝑎=2 et 𝑛=3 donc, lim(𝑦2)+8𝑦=3(2)=12.

Par conséquent, lim(𝑥4)+8𝑥2=12.

Dans le dernier exemple, nous allons utiliser plusieurs techniques de manipulation algébrique et les propriétés des limites pour évaluer la limite d’une fonction rationnelle.

Exemple 5: Déterminer la limite d’une fonction rationnelle

Déterminez lim𝑥1(𝑥1)×1𝑥1.

Réponse

Puisqu’il s’agit de la limite d’une fonction rationnelle, on peut essayer d’évaluer la limite par substitution directe:11(11)×111=00.

C’est une forme indéterminée, on ne peut donc pas évaluer la limite par substitution directe.

Pour évaluer cette limite, on commence par réarranger la fonction rationnelle en utilisant l’identité remarquable:limlimlim𝑥1(𝑥1)×1𝑥1=𝑥1(𝑥1)×1(𝑥1)(𝑥+1)=𝑥1(𝑥1)×1𝑥+1.

On peut ensuite évaluer cette limite en utilisant la formule de la limite d’un produit, la formule de la limite d’une puissance, et le fait que pour tous 𝑛,𝑚,𝑎, lim𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑛𝑚𝑎, à condition que 𝑚0 et que 𝑎, 𝑎 et 𝑎 existent tous:limlimlimlim𝑥1(𝑥1)×1𝑥+1=𝑥1(𝑥1)×1𝑥+1=𝑥1(𝑥1)×11+1=43(1)×12=12881.

Par conséquent, lim𝑥1(𝑥1)×1𝑥1=12881.

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Si 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) pour tous 𝑥{𝑎} et lim𝑔(𝑥)=𝐿, alors lim𝑓(𝑥)=𝐿.
  • Pour toutes constantes réelles 𝑛 et 𝑎, limàconditionqueetexistent𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑛𝑎,𝑎𝑎.
  • Pour tous 𝑛,𝑚,𝑎, limàconditionqueetetexistenttous𝑥𝑎𝑥𝑎=𝑛𝑚𝑎,𝑚0𝑎,𝑎,𝑎.
  • Pour toutes constantes réelles 𝑛 et 𝑎 , limàconditionqueetexistent(𝑥+𝑎)𝑎𝑥=𝑛𝑎,𝑎𝑎.

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