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Un circuit à courant alternatif contient une résistance de 25 ohms, un inducteur avec une réactance inductive de 32 ohms et un condensateur avec une réactance capacitive de 12,8 ohms. La tension de crête produite par la source de tension alternative alimentant le circuit est de 120 volts. Quel est le courant de crête dans le circuit ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.
Commençons par faire un croquis de ce circuit de courant alternatif. Ici, nous avons un circuit alternatif avec une résistance, une inductance et un condensateur. On nous dit que la résistance a une valeur de 25 ohms. Et puis, plutôt que d’avoir l’inductance et la capacité du circuit, on nous donne ce qu’on appelle la réactance inductive et la réactance capacitive. La réactance d’un composant dans un circuit indique à quel point ce composant s’oppose au flux de charge électrique. La réactance est similaire à la résistance, mais légèrement différente. Nous voyons cependant que la réactance et la résistance sont assez semblables pour qu’elles partagent les mêmes unités, les ohms. Le symbole représentant la réactance est un 𝑋 majuscule. Pour la réactance de l’inductance, nous écrirons 𝑋 indice 𝐿, et pour la réactance capacitive, 𝑋 indice 𝐶.
On nous dit quelles sont ces deux valeurs, encore une fois en ohms. Maintenant, comme il s’agit d’un circuit à courant alternatif ou circuit AC, cela signifie que la tension, comme le courant, varie dans le circuit. Il suit un modèle sinusoïdal. On nous dit que la valeur la plus élevée de cette tension, nous l’appellerons 𝑉 indice P, est de 120 volts. Sachant tout cela, la première partie de notre question demande : « Quel est le courant de crête dans le circuit ? » Nous connaissons donc la tension de crête et nous voulons déterminer le courant de crête. Le courant de crête, nous le représenterons par 𝐼 indice P, est lié à la tension de crête d’une manière similaire à la loi d’Ohm.
Rappelons que la loi d’Ohm stipule que la différence de potentiel 𝑉 à travers un circuit est égale au courant dans le circuit 𝐼 multiplié par la résistance du circuit 𝑅. En divisant les deux côtés par 𝑅, nous avons 𝐼 est égal à 𝑉 sur 𝑅. L’équation donnant 𝐼 indice P est la suivante. Elle est égale à la tension de crête divisée par ce qu’on appelle l’impédance du circuit. Dans un circuit alternatif, l’impédance est une grandeur qui combine toutes les grandeurs qui s’opposent au flux de charge. Cela inclut toutes les résistances et les réactances. Pour trouver l’impédance 𝑍 de notre circuit, on pourrait penser qu’il faut simplement additionner ces valeurs données en ohms. Mais c’est un peu plus compliqué que cela.
Libérons de l’espace sur l’écran et utilisons cet espace pour rappeler l’équation mathématique de l’impédance 𝑍. Notez qu’elle implique la résistance 𝑅, ainsi que la différence entre la réactance inductive et la réactance capacitive. Heureusement, nous avons toutes ces informations pour notre circuit donné. En substituant ces valeurs, nous avons l’impédance de notre circuit égale à la racine carrée de 25 ohms au carré plus la valeur de 32 ohms moins 12,8 ohms au carré. Maintenant, nous n’avons pas encore besoin de calculer 𝑍 car, rappelez-vous, nous recherchons le courant de crête dans le circuit. Cette grandeur est égale à la tension de crête divisée par l’impédance 𝑍. En substituant 120 volts à 𝑉 indice P, nous sommes maintenant prêts à calculer ce courant de crête. Arrondi à une décimale, nous trouvons que c’est 3,8 ampères.
Donc, en d’autres termes, si nous visualisions comment 𝐼 varie avec le temps dans ce circuit alternatif, la valeur de crête sur cette courbe serait d’environ 3,8 ampères. C’est notre réponse à la première partie de cette question. Passons maintenant à la deuxième partie.
Quel est la moyenne quadratique du courant dans le circuit ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.
Commençons par réfléchir à cette idée de la moyenne quadratique du courant. Nous savons que le courant dans un circuit de courant alternatif varie avec le temps. Donc, si quelqu’un dit : « Quel est le courant dans ce circuit ? » nous ne pouvons pas donner une seule réponse. C’est là que la moyenne quadratique du courant entre en jeu. Il s’agit d’une mesure mathématique du courant qui varie de manière sinusoïdale afin que nous puissions déclarer une seule valeur représentative de courant. Et cette valeur reste constante dans le temps.
Pour voir comment cela fonctionne, imaginez que nous avons ce courant dans un circuit au cours du temps. Si nous voulions une valeur de courant représentative pour ce courant alternatif, nous pourrions indiquer la valeur du courant moyen. Mais alors ce serait juste zéro. Ce n’est pas une bonne représentation de ce courant alternatif. L’idée derrière la moyenne quadratique du courant est que, d’abord, nous mettons au carré toutes les valeurs de courant individuelles de notre courbe. Si nous faisions cela, nous obtiendrions une courbe qui ressemble à celle-ci en rose. Notez qu’aucune des valeurs de cette courbe n’est négative. Elles sont tous positives ou nulles.
Ensuite, nous trouvons la moyenne ou la valeur moyenne de tous ces points de notre courbe rose. Disons que cette valeur moyenne se situe quelque part ici. Enfin, nous prenons la racine carrée de cette moyenne. Cela abaisserait la ligne pour être peut-être ici, disons, où se trouve la ligne bleue. Cette valeur est alors ce que nous appelons la moyenne quadratique du courant dans le circuit. Notez que ce n’est pas zéro, même si zéro est la valeur moyenne du courant.
Maintenant, il s’avère que le courant de crête dans un circuit et sa moyenne quadratique sont liés par cette équation. la moyenne quadratique du courant est égal au courant de crête divisé par la racine carrée de deux. C’est en fait tout ce que nous devons faire pour résoudre la moyenne quadratique du courant à partir du courant de crête. Et puisque nous avons déjà résolu le courant de crête dans la première partie, nous pouvons utiliser cette valeur pour résoudre 𝐼 indice rms. En arrondissant notre réponse à une décimale, nous obtenons un résultat de 2,7 ampères. Il s’agit de la moyenne quadratique du courant dans ce circuit de courant alternatif.
