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Fiche explicative de la leçon : Impédance des circuits en courant alternatif Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer l’impédance de circuits simples de type résistif, capacitif et inductif, en utilisant les réactances capacitives et inductives.

La réactance a une signification spécifique définie avec précision et est définie pour les circuits qui sont connectés à des sources de différence de potentiel alternatif.

Avant de considérer le sens exact de la réactance, nous pouvons d’abord dire que c’est une propriété qui peut être comparée à la résistance, mais avec des différences importantes par rapport à celle-ci.

La réactance ressemble à la résistance, car elles agissent toutes les deux pour réduire le courant dans un circuit.

Un inducteur avec inductance 𝐿 réagit à une variation de courant Δ𝐼 dans un intervalle de temps Δ𝑡 en générant une f.é.m. opposée, 𝜀, 𝜀=𝐿Δ𝐼Δ𝑡.

La force électromagnétique opposée induite agit pour réduire le courant instantané à travers l’inductance. Le courant instantané réduit produit une force électromagnétique opposée plus petite et donc un courant opposé plus petit. Le courant opposé diminue avec le temps.

Pour montrer comment l’inductance est liée à la réactance, nous devons considérer un circuit contenant une inductance qui est connectée à une source de différence de potentiel à variation continue, comme un générateur qui fournit une intensité électromagnétique alternée à une certaine fréquence 𝑓.

Qu’un tel circuit ait ou non une inductance, le courant dans le circuit varie de manière sinusoïdale.

Pour un tel circuit, nous pouvons définir sa réactance inductive, 𝑋. Nous pouvons appeler la valeur maximale du courant dans le circuit 𝐼max.

Rappelons que 𝜀=𝐿Δ𝐼Δ𝑡.

C’est le cas que Δ𝐼Δ𝑡𝐼.max

Nous pouvons voir cette proportionnalité démontrée dans le graphique suivant de deux courants sinusoïdaux avec la même fréquence.

Plus l’inductance est grande, moins le courant dans l’inductance peut changer vite.

Nous pouvons voir alors que plus la valeur de 𝐿, moins la valeur de Δ𝐼Δ𝑡.

Il s’ensuit que pour une valeur donnée de 𝑓, plus la valeur de 𝐿 est grande, plus la valeur maximale de 𝐼 est faible.

Il est également important de noter que la fréquence d’un courant alternatif sinusoïdal doit déterminer le taux de variation de ce courant.

Il doit donc aussi être vrai que Δ𝐼Δ𝑡𝑓.

Le graphique suivant montre trois courants sinusoïdaux.

Nous pouvons voir que la valeur maximale du courant 𝐼 est la même que la valeur maximale du courant 𝐼.

On voit aussi que la fréquence de 𝐼 est supérieure à la fréquence de 𝐼;par conséquent, la valeur de Δ𝐼Δ𝑡 de 𝐼 à 𝑡=0 est supérieure à la valeur de Δ𝐼Δ𝑡 de 𝐼 à 𝑡=0.

Le courant 𝐼 a la même fréquence que le courant 𝐼 mais une valeur maximale inférieure.

À 𝑡=0, le courant 𝐼 a la même valeur de Δ𝐼Δ𝑡 que le courant 𝐼.

Cette inégalité des valeurs maximales de 𝐼 et de 𝐼 est nécessaire pour que 𝐼 ait la même valeur de Δ𝐼Δ𝑡 que 𝐼 à 𝑡=0 et d’avoir aussi la même fréquence que 𝐼.

On voit alors que plus la valeur de 𝑓 est grande, plus la valeur maximale de 𝐼 est petite.

Considérant la dépendance de 𝜀 sur 𝐼max, 𝐿, et 𝑓, on voit que 𝜀𝐿𝐼𝑓.max

La valeur de 𝑋 est définie comme le rapport de 𝜀 à 𝐼max.

Nous pouvons voir de là que 𝜀𝐼𝐿𝑓𝑋𝐿𝑓.max

La réactance n’a pas de direction, donc le signe négatif n’est pas pertinent, et nous pouvons donc tout aussi bien dire que 𝑋𝐿𝑓.

Une formule pour la réactance inductive peut être dérivée de ces relations.

Formule : Réactance inductive

La réactance inductive, 𝑋, d’un circuit avec une inductance 𝐿 dans lequel circule un courant alternatif avec une fréquence 𝑓 est donnée par 𝑋=2𝜋𝑓𝐿.

L’unité de réactance inductive est l’ohm. Ceci est illustré comme suit:HzVsAVAVAAΩAΩ×==×=.

Nous voyons que la réactance inductive a la même unité que la résistance. La réactance inductive est en réalité une résistance qui s’applique uniquement aux circuits à courant alternatif contenant des inductances.

Nous pouvons voir que l’augmentation de l’inductance d’un circuit augmente sa réactance inductive. Nous pouvons voir aussi que l’augmentation de la fréquence d’un courant alternatif augmente la réactance inductive du circuit.

Regardons un exemple impliquant la réactance inductive.

Exemple 1: Déterminer une réactance inductive

Une source de tension alternative avec une fréquence de 75 Hz est reliée à une inductance de 35 mH. Quelle est la réactance du circuit?Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

La réactance inductive, 𝑋, d’un circuit avec une inductance 𝐿 dans lequel circule un courant alternatif avec une fréquence 𝑓 est donnée par 𝑋=2𝜋𝑓𝐿.

En substituant les valeurs données dans la question, nous obtenons 𝑋=2𝜋×75×0,035.HzH

Arrondie à deux décimales près, 𝑋 est 16,49 Ω.

En plus des résistances et des inductances, un circuit peut également contenir des condensateurs. Les condensateurs ont également une réactance, appelée réactance capacitive, 𝑋.

Avant de définir la réactance capacitive, examinons comment un condensateur agit pour réduire le courant moyen dans un circuit.

Considérons un circuit contenant une résistance et un condensateur en série.

Un condensateur peut stocker une charge qui est déposée sur le condensateur par le courant dans un circuit qui contient le condensateur. La charge maximale, 𝑄, qui peut être stockée par un condensateur avec comme capacité électrique 𝐶 qui est relié à une différence de potentiel 𝑉 est donnée par 𝑄=𝐶𝑉.

Un condensateur stocke initialement une charge nulle et a donc une différence de potentiel nulle entre ses bornes. Plus la charge stockée par un condensateur est grande, plus la différence de potentiel la traversant est grande.

Plus la charge stockée par le condensateur est importante, plus le courant dans le circuit est réduit. Lorsqu’un condensateur stocke la charge maximale qu’il peut stocker, le courant dans le circuit contenant le condensateur doit être nul.

La relation entre la différence de potentiel aux bornes d’un condensateur et le courant dans un circuit contenant un condensateur peut être exprimée par Δ𝑄Δ𝑡=𝐼=𝐶Δ𝑉Δ𝑡.

Si un condensateur a une capacité nulle, lorsqu’il est connecté à un circuit, il stocke initialement sa charge maximale, donc le courant dans le circuit doit être nul. Plus la capacité du condensateur est grande, plus la charge qui peut être transportée par le courant dans le circuit est grande avant que le courant ne devienne nul.

Nous pouvons en déduire que lorsqu’un circuit contenant un condensateur est connecté à une source de différence de potentiel sur un certain intervalle de temps, le courant dans le circuit est moins réduit si un condensateur de plus petite capacité est utilisé.

Ce que nous voyons de ceci est qu’un condensateur peut également agir pour réduire le courant dans un circuit, de la même manière que le peut un inducteur. Cependant, plus la capacité du condensateur est grande, moins le courant est réduit.

La réactance capacitive a une signification spécifique, définie avec précision.

Pour montrer comment la capacité se rapporte à la réactance capacitive, nous devons considérer un circuit contenant une résistance et un condensateur en série qui est connecté à une source de différence de potentiel à variation continue, comme un générateur qui fournit une intensité électromagnétique alternée à une certaine fréquence 𝑓.

Qu’un tel circuit ait ou non une capacitance, l’intensité du courant dans le circuit varie de manière sinusoïdale.

Pour un tel circuit, on peut définir sa réactance capacitive, 𝑋. Nous pouvons appeler la valeur maximale de la différence de potentiel aux bornes du condensateur 𝑉max.

Rappelons que Δ𝑄Δ𝑡=𝐼=𝐶Δ𝑉Δ𝑡.

Il est vrai que Δ𝑉Δ𝑡𝑉.max

Il est également vrai que Δ𝑉Δ𝑡𝑓.

On voit alors que 𝐼𝐶𝑉𝑓.max

La valeur de 𝑋 est défini comme le rapport de 𝑉max à 𝐼.

Nous pouvons voir de là que 𝐼𝑉𝐶𝑓𝑉𝐼1𝐶𝑓𝑋1𝐶𝑓.maxmax

Une formule pour la réactance capacitive peut être dérivée de ces relations.

Formule : Réactance capacitive

La réactance capacitive, 𝑋, d’un circuit avec un condensateur de capacité 𝐶 dans lequel circule un courant alternatif avec une fréquence 𝑓 est donnée par 𝑋=12𝜋𝑓𝐶.

L’unité de réactance capacitive est l’ohm. Ceci est illustré comme suit:1×===××××=××=.HzFsFsFsssAΩCsAΩCsΩCΩCVCVCs

Nous voyons que la réactance capacitive a la même unité que la résistance. La réactance capacitive est en réalité une résistance qui s’applique uniquement aux circuits à courant alternatif contenant des condensateurs.

Nous pouvons voir que l’augmentation de la capacité d’un circuit diminue sa réactance capacitive. Nous pouvons voir aussi que l’augmentation de la fréquence d’un courant alternatif diminue la réactance capacitive du circuit.

Il est utile de noter que la relation entre la capacité et la fréquence d’une part et la réactance capacitive d’autre part est l’inverse de la relation entre l’inductance et la fréquence à la réactance inductive.

Regardons un exemple impliquant la réactance capacitive.

Exemple 2: Déterminer la réactance capacitive

Une source de tension alternative avec une fréquence de 50 Hz est reliée à un condensateur de 125 µF. Quelle est la réactance du condensateur?Donnez votre réponse à l’ohm près.

Réponse

La réactance capacitive, 𝑋, d’un circuit avec un condensateur de capacité 𝐶 qui transporte un courant alternatif avec une fréquence 𝑓 est donnée par 𝑋=12𝜋𝑓𝐶.

En substituant les valeurs données dans la question, nous obtenons 𝑋=12𝜋×50×1,25×10.HzF

À l’ohm près, 𝑋 vaut 25 Ω.

Le courant dans un circuit à courant alternatif à un instant donné dépend de l’effet combiné de la résistance et de la réactance du circuit. C’est ce qu’on appelle l’impédance, 𝑍, du circuit.

Un circuit contenant une résistance (R), une inductance (L) et un condensateur (C) connectés à une source de différence de potentiel alternatif est illustré sur le schéma suivant.

La résistance fournit une valeur de résistance au circuit. L’inductance et le condensateur fournissent au circuit une réactance.

Pour tout circuit à courant alternatif, la différence de potentiel, 𝑉, à travers le circuit varie en fonction du temps. Etiquetons 𝑉 la différence de potentiel à travers le circuit à l’instant 𝑡.

Si un tel circuit a une résistance, 𝑅, mais pas de réactance, le courant à un instant donné, 𝐼, est déterminée comme dans un circuit à courant continu, en utilisant la loi d’Ohm. Nous pouvons exprimer cela sous la forme 𝐼=𝑉𝑅.

Cependant, si un circuit à courant alternatif a une réactance, le courant instantané dans le circuit est influencé par la réactance du circuit. Le courant instantané dans un tel circuit est donné par 𝐼=𝑉𝑍.

Les réactances inductives et capacitives ne sont pas simplement additionnés pour déterminer leur contribution à l’impédance.

Le courant instantané passé par un condensateur n’est pas en phase avec la différence de potentiel instantanée aux bornes du condensateur. Le courant devance la différence de potentiel par un angle de phase de 90.

Le courant instantané passé par une inductance n’est pas en phase avec la différence de potentiel instantanée aux bornes de l’inductance. Le courant suit la différence de potentiel avec un angle de phase de 90.

Ces relations de phase sont illustrées sur le schéma suivant.

La différence de phase entre le courant et la différence de potentiel est de 90 pour les condensateurs comme pour les inductances, mais selon des sens opposés.

On voit alors que la différence de phase entre le courant et la différence de potentiel pour un condensateur par rapport à une inductance est 90+90, ce qui vaut 180.

Cela signifie que l’effet sur le courant instantané d’un condensateur et celui d’une inductance sont opposés.

De là, nous pouvons voir que si les réactances inductives et capacitives d’un circuit sont égales, l’effet sur le courant dû à la réactance totale est nul. Dans ce cas, l’impédance du circuit est simplement la résistance du circuit.

A partir de ces relations, une formule pour l’impédance peut être obtenue.

Formule : Impédance

L’impédance, 𝑍, d’un circuit est donné par 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋),𝑅 est la résistance du circuit, 𝑋 est la réactance inductive du circuit, et 𝑋 est la réactance capacitive du circuit.

La résistance et la réactance ont toutes deux comme unité l’ohm, donc l’unité d’impédance est l’ohm.

Il est important de noter qu’un circuit peut avoir une impédance non nulle malgré la résistance nulle. Pour un circuit à courant alternatif, la réactance du circuit seul peut limiter la valeur du courant. Ce n’est pas le cas pour les circuits alimentés par une différence de potentiel constante.

Regardons un exemple impliquant l’impédance.

Exemple 3: Déterminer l’impédance

Un circuit à courant alternatif contient une résistance de 125 Ω, une inductance avec une réactance inductive de 450 Ω, et un condensateur avec une réactance capacitive de 28 Ω. Quelle est l’impédance du circuit?Donnez votre réponse à l'ohmprès.

Réponse

L’impédance, 𝑍, d’un circuit est donné par 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋),𝑅 est la résistance du circuit, 𝑋 est la réactance inductive du circuit, et 𝑋 est la réactance capacitive du circuit.

En substituant les valeurs données dans la question, nous obtenons 𝑍=(125)+(45028).ΩΩΩ

À l’ohm près, 𝑍 vaut 440 Ω.

Regardons un autre exemple.

Exemple 4: Déterminer la résistance requise pour une impédance spécifique

Un circuit à courant alternatif a une impédance de 750 Ω. Le circuit contient une résistance, une inductance avec une réactance inductive de 250 Ω, et un condensateur avec une réactance capacitive de 45,0 Ω. Quelle est la valeur de la résistance?Donnez votre réponse à l’ohm près.

Réponse

L’impédance, 𝑍, d’un circuit est donnée par 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋),𝑅 est la résistance du circuit, 𝑋 est la réactance inductive du circuit, et 𝑋 est la réactance capacitive du circuit.

En substituant les valeurs données dans la question, nous obtenons 750=𝑅+(25045,0).ΩΩΩ

Cette équation doit être réarrangée pour en faire 𝑅 le sujet, comme suit:(750)=𝑅+(25045,0)(750)=𝑅+(205)𝑅=(750)(205)𝑅=(750)(205)𝑅=(750)(205).ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

À l’ohm près, 𝑅 vaut 721 Ω.

Regardons un exemple dans lequel on détermine des courants.

Exemple 5: Déterminer des courants instantanés dans un circuit avec résistance, capacitance et inductance

Un circuit de courant alternatif contient une résistance avec une résistance de 25 Ω, une inductance avec une capacitance inductive de 32 Ω, et un condensateur avec une réactance capacitive de 12,8 Ω. La tension maximale produite par la source de tension alternative alimentant le circuit est de 120 V.

  1. Quelle est l’intensité maximale du circuit?Donnez votre réponse au dixième près.
  2. Quelle est la moyenne quadratique du courant dans le circuit?Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.

Réponse

Partie 1

Le courant maximal, 𝐼max, est donné par 𝐼=𝑉𝑍.maxmax

La valeur de la tension maximale de la source d’alimentation alternative du circuit est égale à 120 V, alors on voit que 𝐼=120𝑍.maxV

L’impédance, 𝑍, d’un circuit est donnée par 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋),𝑅 est la résistance du circuit, 𝑋 est la réactance inductive du circuit, et 𝑋 est la réactance capacitive du circuit.

En substituant les valeurs données dans la question, nous obtenons 𝑍=(25)+(3212,8).ΩΩΩ

Ainsi, l'impédance 𝑍 vaut à peu près 31,522 Ω.

Nous avons alors que 𝐼12031,522.maxV

Au dixième près, le courant maximal est égal à 3,8 A.

Partie 2

La moyenne quadratique du courant est donnée par 𝐼=𝐼2.MQmax

En utilisant la valeur de 𝐼max obtenue, arrondie à une décimale près, 𝐼MQ vaut 2,7 A.

Résumons maintenant ce qui nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • La réactance inductive, 𝑋, d’un circuit avec une inductance 𝐿 dans lequel circule un courant alternatif avec une fréquence 𝑓 est donnée par 𝑋=2𝜋𝑓𝐿. L’unité de réactance inductive est l’ohm.
  • La réactance capacitive, 𝑋, d’un circuit avec un condensateur de capacité 𝐶 dans lequel circule un courant alternatif avec une fréquence 𝑓 est donnée par 𝑋=12𝜋𝑓𝐶. L’unité de la réactance capacitive est l’ohm.
  • L’impédance, 𝑍, d’un circuit est donné par 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋),𝑅 est la résistance du circuit, 𝑋 est la réactance inductive du circuit, et 𝑋 est la réactance capacitive du circuit.
    L’unité de l’impédance est l’ohm.
  • Le courant instantané, 𝐼, dans un circuit à courant alternatif est donné par 𝐼=𝑉𝑍,𝑉 est la différence de potentiel instantanée à travers le circuit.

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